La recta real
En el laboratorio de un liceo de Concepción, la incubadora de cultivos nunca marca "el" valor exacto: marca un rango. Si el termómetro dice 25 °C con una incertidumbre de 0,2 °C, ¿cómo lo escribes sin ambigüedad? Intervalos, entornos y desigualdades son tres maneras de decir lo mismo, y las vas a usar todo el año.
Intervalos y desigualdades
Corchete significa que el extremo pertenece al intervalo; paréntesis, que no pertenece. Los símbolos $+\infty$ y $-\infty$ no son números reales: siempre van con paréntesis.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$: $-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:
$-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Entornos: E(a, r)
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango…
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.
Distancia y valor absoluto
El valor absoluto (o módulo) de un número es su distancia al $0$: $|u| = u$ si $u \ge 0$ y $|u| = -u$ si $u < 0$.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$.…
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.
Unión, intersección y complemento
Como los intervalos son conjuntos, se pueden operar:
-
Unión $A \cup B$: los números que están en $A$ o en $B$.
-
Intersección $A \cap B$: los que están en $A$ y en $B$.
-
Complemento $\mathbb{R} \setminus I$: los reales que no están en $I$.
La mejor estrategia es dibujar cada intervalo en una recta, uno debajo del otro, y mirar qué zonas se solapan o se cubren.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de…
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.
Inecuaciones con valor absoluto
Una inecuación con valor absoluto se resuelve pasándola a una desigualdad doble (o a dos desigualdades) y escribiendo la solución como intervalo.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$.…
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple…
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2,5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".
Valores absolutos sumados o anidados
Cuando hay dos valores absolutos sumados, no se puede pasar a una sola desigualdad doble. Se usa la definición por casos, $|u| = u$ si $u \ge 0$ y $|u| = -u$ si $u < 0$, y se divide la recta en tramos con los puntos donde cada expresión de adentro vale $0$.
Cuando los valores absolutos están anidados, se resuelve de afuera hacia adentro, usando la propiedad de la sección anterior en cada nivel.
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo. La figura muestra la…
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.
La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ y la recta $y = 7$, para que puedas contrastar tu resultado.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté…
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.
Inecuaciones cuadráticas
Es un repaso de II medio: las inecuaciones cuadráticas sirven para hallar dominios y estudiar el signo de funciones.
Para resolver $ax^2+bx+c > 0$ (o $<0$), primero se hallan las raíces con la fórmula general y después se estudia el signo en cada tramo.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Acotar un resultado: operar con desigualdades
Una medición como $r = 5{,}0 \pm 0{,}1$ cm es un intervalo: $4{,}9 < r < 5{,}1$. Si con ese dato calculas otra cosa (un volumen, un área), el resultado también queda en un intervalo. Para hallarlo hay que saber qué operaciones conservan una desigualdad.
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el…
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.
Los irracionales en la recta
Todo número real tiene un lugar en la recta, y los irracionales también. Algunos se pueden marcar exactamente con regla y compás usando el teorema de Pitágoras.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por…
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.
Un irracional entre dos racionales
Se puede encontrar un irracional entre dos racionales dados: basta construir un decimal que no sea periódico y que quede en el medio.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Vuelve al principio: el termómetro que marca $25{,}0$ °C con incertidumbre $0{,}2$ °C se describe con el entorno $E(25; 0{,}2)$, con la desigualdad $|T - 25| < 0{,}2$ o con el intervalo $(24{,}8; 25{,}2)$. Las tres escrituras dicen lo mismo.