Ecuaciones irracionales
Desde un puente sobre el río Biobío, en Concepción, Sofía deja caer una piedra y cuenta 3 segundos hasta el chapuzón. ¿Qué altura tiene el puente? La fórmula del tiempo de caída tiene la incógnita dentro de una raíz. Para despejarla necesitas una herramienta nueva, y también un cuidado especial: elevar al cuadrado puede regalarte soluciones que no existen.
El método: aislar, elevar y comprobar siempre
¿Por qué hay que comprobar? Si $a = b$, entonces $a^2 = b^2$. Pero la vuelta no vale: $(-3)^2 = 3^2$ y sin embargo $-3 \neq 3$. Al elevar al cuadrado se pueden «colar» soluciones de la ecuación $a = -b$.
Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución: $\sqrt{4x + 9} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución:
$\sqrt{4x + 9} = 5$
Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas: $\sqrt{2x + 15} = x$
Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas:
$\sqrt{2x + 15} = x$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas: $x - \sqrt{2x - 1} = 2$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas:
$x - \sqrt{2x - 1} = 2$
Radicandos cuadráticos y fraccionarios
El radicando puede ser cualquier expresión. El método no cambia: se aísla el radical y se eleva al cuadrado.
En el gráfico, la curva $y=\sqrt{x^2-x+3}$ corta a la recta $y=3$ en los valores de $x$ que resuelven la ecuación.
Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical: $\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$
Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical:
$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$
Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando: $\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando:
$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Índice impar e igualación de radicandos
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica: $\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica:
$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación: $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$
Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación:
$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$
Dos radicales: elevar dos veces
Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado: $\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:…
Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
Tres radicales y radicales anidados
La estrategia es la misma. Elige qué radical aislar para que las cuentas sean lo más cortas posible.
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Tres radicales: deja en un miembro dos radicales y en el otro uno, o al revés. Eleva, aísla el radical que quedó y eleva otra vez.
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Radicales anidados: aísla primero el radical más externo; eso deja la raíz interior sola para el paso siguiente.
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:…
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados: $\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados:
$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$
Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final: $\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$
Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final:
$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$
Cociente de radicales
Cuando la incógnita está en una fracción con raíces, hay dos caminos: racionalizar el denominador, o multiplicar cruzado y agrupar los radicales del mismo tipo para simplificar.
Resuelve la siguiente ecuación irracional. Puedes racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar cruzado y agrupar términos inteligentemente para facilitar…
Resuelve la siguiente ecuación irracional. Puedes racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar cruzado y agrupar términos inteligentemente para facilitar el cálculo:
$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$
Cambio de variable
Si la incógnita aparece solo como $x$ y como $\sqrt{x}$, llama $t=\sqrt{x}$. Como $x=t^2$, la ecuación se vuelve una cuadrática en $t$.
Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$): $x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$):
$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Dominio y parámetro: razonar sin resolver
Lo que hay dentro de cada raíz cuadrada tiene que ser $\ge0$. A veces eso solo ya alcanza para decidir si la ecuación tiene solución.
Con un parámetro, el procedimiento es el mismo: elevas, resuelves la cuadrática (mirando el discriminante) y filtras las candidatas con la condición de signo de la ecuación original.
Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.
Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.
Aplicaciones: fórmulas de la física
En muchas fórmulas la magnitud que buscas está bajo una raíz. Para despejarla: aísla la raíz y eleva. Después, el contexto decide qué soluciones valen (una altura o una longitud no pueden ser negativas).
Volvamos al puente sobre el Biobío. El tiempo de caída es $t=\sqrt{\dfrac{2h}{9{,}8}}$.
En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$.…
En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $4$ segundos en llegar al suelo.
El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es…
El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo en una exposición científica tiene un periodo exacto de $2,5$ segundos, averigua la longitud de su péndulo. Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$.
La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma…
La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma simplificada mediante la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un vigía en la cofa de un barco pirata avista tierra a una distancia de $15$ km, ¿a qué altura se encuentra aproximadamente?
Aplicaciones: geometría
El teorema de Pitágoras y la distancia entre dos puntos producen raíces cuadradas de forma natural.
La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal…
La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal mide $13$ cm y uno de sus lados mide $5$ cm, plantea la ecuación irracional correspondiente y calcula la longitud del otro lado.
La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia…
La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia entre dos puntos y calcula las posibles coordenadas $x$ del punto $B$.
Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la…
Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la rampa (la hipotenusa) viene dada por la expresión $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ y se requiere que mida exactamente $\sqrt{34}$ metros, plantea la ecuación irracional y determina las dimensiones reales de la rampa.
Aplicaciones: modelos de costos y de física moderna
Cuando la fórmula tiene fracciones dentro de la raíz o la raíz en un denominador (como el factor de Lorentz), primero elimina el denominador y después aísla el radical. Cuando el costo mezcla un término con raíz y otro lineal, aísla la raíz y recuerda que el miembro sin raíz tiene que ser $\ge0$.
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción diario $C(x)$ en pesos en función de $x$ unidades fabricadas se modela mediante la función…
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción diario $C(x)$ en pesos en función de $x$ unidades fabricadas se modela mediante la función $C(x) = 250\,000 + 15\,000\sqrt{x - 50}$. Si en un día determinado el costo de producción fue exactamente de $850\,000$ pesos, ¿cuántas unidades se fabricaron?
Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como…
Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad de la nave y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Si en una misión espacial se observa que el tiempo pasa al $50\%$ del ritmo terrestre (es decir, $\gamma = 2$), resuelve la ecuación irracional para hallar a qué fracción de la velocidad de la luz viaja la nave.
Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río…
Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es de $5\,000$ millones de pesos por km, y por tierra es de $3\,000$ millones de pesos por km. Si el cable cruza el río en línea recta hasta un punto $P$ situado a $x$ km río abajo y luego va por tierra hasta $B$, el costo total en millones de pesos es $C(x) = 5\,000\sqrt{x^2 + 16} + 3\,000(10 - x)$. Encuentra el valor de $x$ que hace que el costo total sea exactamente de $46\,000$ millones de pesos resolviendo la ecuación irracional correspondiente.