Notación científica
La masa de un electrón, la distancia del Sol a la Tierra, la cantidad de bytes de un disco de tu computador, las señales que capta el observatorio ALMA en el desierto de Atacama: la ciencia y la tecnología manejan números que no conviene escribir con todos sus ceros. ¿Cómo se escribe, sin perderse, la masa de un electrón, $0{,}000…911$ kg con treinta ceros? La notación científica es el lenguaje común para esto, y en este apartado la vas a dominar.
Mantisa y orden de magnitud
Escribe en notación científica los siguientes números, ajustando la mantisa para que esté comprendida entre $1$ y $10$: a) $0,000000456$ b) $34500000000$ c)…
Escribe en notación científica los siguientes números, ajustando la mantisa para que esté comprendida entre $1$ y $10$:
- a) $0,000000456$
- b) $34500000000$
- c) $0,0023 \cdot 10^5$
- d) $456 \cdot 10^{-4}$
Justifica si las siguientes expresiones están correctamente escritas en notación científica estandarizada. En caso negativo, corrígelas para que la mantisa $N$ cumpla…
Justifica si las siguientes expresiones están correctamente escritas en notación científica estandarizada. En caso negativo, corrígelas para que la mantisa $N$ cumpla $1 \le |N| < 10$:
- a) $12,4 \cdot 10^3$
- b) $0,85 \cdot 10^{-2}$
- c) $1 \cdot 10^6$
- d) $-45,2 \cdot 10^{-8}$
Convertir entre forma decimal y científica
El diámetro de un glóbulo rojo humano es de aproximadamente $0,0075$ mm. Expresa esta cantidad en metros utilizando la notación científica.
El diámetro de un glóbulo rojo humano es de aproximadamente $0,0075$ mm. Expresa esta cantidad en metros utilizando la notación científica.
La fortuna estimada de una de las personas más ricas del sector tecnológico asciende a $185000$ millones de dólares. Escribe esta cifra en notación científica.
La fortuna estimada de una de las personas más ricas del sector tecnológico asciende a $185000$ millones de dólares. Escribe esta cifra en notación científica.
Redondea los siguientes números para que tengan exactamente tres cifras significativas y, a continuación, exprésalos en notación científica: a) $4567892$ b) $0,00034091$…
Redondea los siguientes números para que tengan exactamente tres cifras significativas y, a continuación, exprésalos en notación científica:
- a) $4567892$
- b) $0,00034091$
- c) $98,99$
Orden de magnitud, cifras significativas y comparación
Las cifras significativas son las de la mantisa: $1{,}200\cdot10^{-5}$ tiene cuatro (los ceros finales de la mantisa cuentan, porque indican la precisión de la medida), y $9\cdot10^{12}$ tiene una. El orden de magnitud es el exponente $n$.
Para redondear a $k$ cifras significativas, se pasa a notación científica y se redondea la mantisa a $k$ cifras. Si el redondeo da $10$, la mantisa pasa a $1$ y el exponente sube una unidad.
En la figura, la escala es logarítmica: cada potencia de $10$ está a la misma distancia de la anterior. Por eso $1{,}5\cdot10^4$ queda un poco después de $10^4$ y $3{,}2\cdot10^5$ un poco más allá de la mitad del tramo entre $10^5$ y $10^6$.
Indica el orden de magnitud y el número de cifras significativas de las siguientes medidas experimentales: a) $4,05 \cdot 10^8$ m b) $1,200 \cdot 10^{-5}$ kg c)…
Indica el orden de magnitud y el número de cifras significativas de las siguientes medidas experimentales:
- a) $4,05 \cdot 10^8$ m
- b) $1,200 \cdot 10^{-5}$ kg
- c) $9 \cdot 10^{12}$ s
Ordena de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a notación científica normalizada y comparando sus órdenes de magnitud: $A = 0,0045 \cdot 10^{-3}$…
Ordena de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a notación científica normalizada y comparando sus órdenes de magnitud:
$A = 0,0045 \cdot 10^{-3}$
$B = 450 \cdot 10^{-8}$
$C = 0,45 \cdot 10^{-5}$
$D = 45000 \cdot 10^{-11}$
La masa de la Tierra es de aproximadamente $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la del planeta Júpiter es de $1,90 \cdot 10^{27}$ kg. ¿Cuántas veces es más masivo Júpiter que la…
La masa de la Tierra es de aproximadamente $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la del planeta Júpiter es de $1,90 \cdot 10^{27}$ kg. ¿Cuántas veces es más masivo Júpiter que la Tierra? Expresa el resultado en notación científica y también en formato decimal estándar.
Operar en notación científica
Multiplicar y dividir: se operan por separado las mantisas y las potencias de $10$ (los exponentes se suman o se restan, por las propiedades de las potencias); al final se ajusta la mantisa si se sale de $[1, 10)$.
Sumar y restar: primero se igualan los exponentes, y después se saca factor común la potencia de $10$.
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones mentalmente (sin uso de calculadora), aplicando las propiedades de las potencias, y expresa el resultado en notación…
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones mentalmente (sin uso de calculadora), aplicando las propiedades de las potencias, y expresa el resultado en notación científica:
- a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
- b) $\frac{8 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-7}}$
- c) $(1,5 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^{-2})$
Efectúa las siguientes sumas y restas de números en notación científica que tienen el mismo exponente. Extrae factor común y da el resultado final: a)…
Efectúa las siguientes sumas y restas de números en notación científica que tienen el mismo exponente. Extrae factor común y da el resultado final:
- a) $3,2 \cdot 10^5 + 4,5 \cdot 10^5$
- b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 3,2 \cdot 10^{-4}$
- c) $5,15 \cdot 10^{12} + 2,03 \cdot 10^{12}$
Efectúa las siguientes sumas y restas ajustando previamente los exponentes para poder extraer factor común. Expresa el resultado final en notación científica: a)…
Efectúa las siguientes sumas y restas ajustando previamente los exponentes para poder extraer factor común. Expresa el resultado final en notación científica:
- a) $4,5 \cdot 10^7 + 3,8 \cdot 10^8$
- b) $9,2 \cdot 10^{-5} - 6,1 \cdot 10^{-6}$
Errores y aproximaciones
Cuando se usa una aproximación, interesa saber cuánto se equivoca.
Intervalos y cotas de error
A veces una medida no es un valor, sino un intervalo: sabemos que la arista está entre dos cotas. Como la potencia de una cantidad positiva crece cuando la cantidad crece, el menor volumen sale de la cota inferior y el mayor de la cota superior. Si se toma como estimación el punto medio del intervalo, la cota de error absoluto es la mitad de la longitud del intervalo: el valor real nunca se aleja del punto medio más que eso.
Al medir la distancia entre dos ciudades mediante un sistema GPS se obtiene un valor real de $456321$ m. Un mapa turístico aproxima esta distancia dando un valor de…
Al medir la distancia entre dos ciudades mediante un sistema GPS se obtiene un valor real de $456321$ m. Un mapa turístico aproxima esta distancia dando un valor de $4,56 \cdot 10^5$ m. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos al usar la aproximación del mapa. Expresa ambos errores en notación científica.
Se ha medido la arista de un cubo perfecto con un instrumento de precisión y se sabe que su longitud está comprendida en el intervalo…
Se ha medido la arista de un cubo perfecto con un instrumento de precisión y se sabe que su longitud está comprendida en el intervalo $[1,25 \cdot 10^{-2}, 1,26 \cdot 10^{-2}]$ m. Determina el intervalo en el que se encuentra el volumen del cubo expresado en $\text{mm}^3$, dando los extremos en notación científica. Calcula la cota de error absoluto si tomamos como volumen estimado el punto medio de dicho intervalo.
Aplicaciones en ciencia y tecnología
En las aplicaciones hay que convertir unidades antes de operar (por ejemplo, km a m) y recordar dos cosas: las raíces se escriben como potencias de exponente $\frac12$, y las potencias de potencias multiplican exponentes. Para verificar tus resultados puedes usar la calculadora científica o una planilla de cálculo, que muestran los números en forma científica (por ejemplo, 4,5E7).
Para pasar volúmenes de km³ a cm³: $1$ km $=10^5$ cm, así que $1$ km³ $=10^{15}$ cm³.
Sabiendo que $18$ gramos de agua contienen $6,022 \cdot 10^{23}$ moléculas (número de Avogadro), calcula la masa en gramos de una única molécula de agua. Da el resultado…
Sabiendo que $18$ gramos de agua contienen $6,022 \cdot 10^{23}$ moléculas (número de Avogadro), calcula la masa en gramos de una única molécula de agua. Da el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.
Dadas las magnitudes físicas $A = 3,2 \cdot 10^5$ y $B = 5,1 \cdot 10^{-4}$, calcula el valor de la expresión algebraica $\frac{A^3}{\sqrt{B}}$. Expresa el resultado…
Dadas las magnitudes físicas $A = 3,2 \cdot 10^5$ y $B = 5,1 \cdot 10^{-4}$, calcula el valor de la expresión algebraica $\frac{A^3}{\sqrt{B}}$. Expresa el resultado final en notación científica con tres cifras significativas e indica claramente cuál es su orden de magnitud.
La ley de gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Sabiendo que la constante…
La ley de gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Sabiendo que la constante $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^5$ km. Calcula la fuerza de atracción $F$ en Newtons, utilizando notación científica en todos los cálculos intermedios.
Escalas de la ciencia
La astronomía de Atacama y la informática trabajan con cantidades enormes: aquí practicas cómo se combinan potencias de $10$ de distinto tamaño.
Un disco duro de servidor tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ TB (Terabytes). Sabiendo que $1\text{ TB} = 1024\text{ GB}$, $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$,…
Un disco duro de servidor tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ TB (Terabytes). Sabiendo que $1\text{ TB} = 1024\text{ GB}$, $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$, $1\text{ MB} = 1024\text{ KB}$ y $1\text{ KB} = 1024\text{ B}$ (Bytes). Calcula cuántos bytes exactos puede almacenar el disco duro y expresa el resultado en notación científica.
La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente $3 \cdot 10^5$ km/s. Un "año luz" es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un año terrestre…
La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente $3 \cdot 10^5$ km/s. Un "año luz" es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un año terrestre ($365,25$ días). Calcula a cuántos kilómetros equivale un año luz y expresa el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.
El volumen total de agua de todos los océanos de la Tierra se estima en $1,332 \cdot 10^9\text{ km}^3$. Si suponemos que una gota de agua estándar tiene un volumen…
El volumen total de agua de todos los océanos de la Tierra se estima en $1,332 \cdot 10^9\text{ km}^3$. Si suponemos que una gota de agua estándar tiene un volumen promedio de $0,05$ ml, determina el número total de gotas de agua que hay en los océanos. Expresa el resultado en notación científica. (Recuerda que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$).
Con logaritmos y crecimientos
Algunas situaciones mezclan la notación científica con logaritmos decimales o con porcentajes anuales.
Si $\log_{10} E = c$, entonces $E = 10^{c}$. Escribe $c = n + d$ con $n$ entero y $0\le d<1$, y queda $E = 10^{d}\cdot10^{n}$: la mantisa es $10^d$ y el orden de magnitud es $n$.
Para un crecimiento anual del $r\,\%$ durante $t$ años, la cantidad se multiplica por $(1 + r/100)^t$. Por ejemplo, con $2{,}5\,\%$ anual durante $10$ años: factor $1{,}025^{10}$.
El Producto Interno Bruto (PIB) mundial en un año determinado fue de aproximadamente $8,5 \cdot 10^{13}$ pesos. Si la población mundial en ese momento era de…
El Producto Interno Bruto (PIB) mundial en un año determinado fue de aproximadamente $8,5 \cdot 10^{13}$ pesos. Si la población mundial en ese momento era de $7,8 \cdot 10^9$ habitantes, calcula el PIB per cápita promedio. Si se proyecta que la población crecerá un $1,2\%$ anual y el PIB crecerá un $2,5\%$ anual, estima el PIB per cápita al cabo de $10$ años. Expresa todos los resultados en notación científica.
Un algoritmo de cifrado de máxima seguridad utiliza claves de $256$ bits, lo que significa que el número total de claves posibles es $2^{256}$. Utilizando las…
Un algoritmo de cifrado de máxima seguridad utiliza claves de $256$ bits, lo que significa que el número total de claves posibles es $2^{256}$. Utilizando las propiedades de los logaritmos decimales y sabiendo que $\log_{10} 2 \approx 0,30103$, expresa el número total de combinaciones en notación científica estándar $N \cdot 10^n$, donde $1 \le N < 10$.
La energía liberada por un terremoto se relaciona empíricamente con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la fórmula $\log_{10} E = 11,8 + 1,5M$, donde $E$ se…
La energía liberada por un terremoto se relaciona empíricamente con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la fórmula $\log_{10} E = 11,8 + 1,5M$, donde $E$ se mide en ergios. Calcula la energía liberada por un terremoto de magnitud $7,5$ y por otro de magnitud $8,5$. ¿Cuántas veces es mayor la energía del segundo respecto al primero? Expresa los resultados de energía en notación científica.
Ampliación: decaimiento exponencial
Hay fenómenos, como la desintegración de un material radiactivo, en los que la cantidad disminuye en una fracción constante en cada intervalo de tiempo. Para describirlos se usa una fórmula con el número $e \approx 2{,}71828$ (un número irracional, que en la calculadora aparece como la tecla $e^x$ o $\exp$). Funciona igual que una potencia de base $10$, solo que con otra base: $e^{-0{,}6}$ se calcula tecleando $-0{,}6$ y luego $e^x$.
Una muestra de material radiactivo utilizada en la datación de fósiles contiene inicialmente $N_0 = 4,5 \cdot 10^{20}$ núcleos. La cantidad de núcleos decae…
Una muestra de material radiactivo utilizada en la datación de fósiles contiene inicialmente $N_0 = 4,5 \cdot 10^{20}$ núcleos. La cantidad de núcleos decae exponencialmente según la ley $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-4}\text{ años}^{-1}$. Calcula el número de núcleos que quedarán sin desintegrar al cabo de $5000$ años. Expresa el resultado final en notación científica con dos cifras significativas.
Vuelve al principio: con los datos que capta ALMA en Atacama, la masa del electrón es $9{,}11\cdot10^{-31}$ kg y la distancia a Próxima Centauri es de unos $4{,}02\cdot10^{16}$ m. Con notación científica ambos caben en una línea, se comparan mirando los exponentes y se operan sin contar ceros.