Razão e proporção

Em uma turma do 7º ano, há $12$ alunos que jogam basquete e $18$ alunos que jogam futebol. Escreva a razão entre o número de jogadores de basquete e o de futebol. Explique com as suas palavras o que significa o resultado obtido após simplificar a fração.

Observe o seguinte desenho que representa as frutas em uma fruteira. Calcule a razão entre o número de maçãs (laranja) e o número de peras (branco suave).

Em um videogame de aventura, o seu personagem conseguiu $24$ poções de vida após abrir $6$ baús mágicos. Calcule a razão entre o número de poções e o número de baús. Quantas poções de vida há, em média, em cada baú?

Um carro de controle remoto percorre uma distância de $45$ metros em $15$ segundos. Calcule a razão entre a distância e o tempo. Que grandeza física representa esse resultado?

Um pacote de $500$ gramas de cereais custa $3,50$ reais. Expresse a razão entre o preço e o peso em gramas. Depois, calcule o valor decimal dessa razão para saber quanto custa $1$ único grama de cereais.

Em um videogame de estratégia, para fabricar uma poção de "Supervelocidade", o alquimista utiliza $150\text{ mg}$ de pó de estrela para cada $250\text{ ml}$ de água mágica.

1. a) Expresse a razão entre o pó de estrela e a água mágica. Simplifique o resultado e interprete o que significa esse valor.
2. b) Calcule a razão inversa (água mágica em relação ao pó de estrela) e explique que informação ela nos dá.

Marta leu $60$ páginas de um romance em $2$ horas, enquanto o irmão dela, Lucas, leu $45$ páginas em $1,5$ horas.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Marta.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Lucas.

• Os dois leem na mesma velocidade? Justifique a sua resposta.

Em um treino de basquete, Júlia acertou $18$ arremessos de três pontos em $30$ lançamentos realizados, enquanto o seu colega Marcos acertou $14$ arremessos de três pontos em $20$ lançamentos.

1. a) Expresse a razão de acerto de cada jogador como um número decimal.
2. b) Qual dos dois tem uma melhor razão de acerto? Justifique a sua resposta comparando ambos os valores.

Uma loja de doces oferece dois tipos de pacotes de balas de goma:

• Pacote A: contém $250\text{ g}$ e custa $\text{R\$}\ 3,50$.

• Pacote B: contém $400\text{ g}$ e custa $\text{R\$}\ 5,20$.

1. a) Calcule a razão preço/peso para cada pacote.
2. b) Qual dos dois pacotes é mais econômico? Justifique a sua resposta utilizando os valores obtidos.

No mundo dos videogames competitivos, o desempenho de um servidor é medido pela razão entre o número de jogadores conectados e a largura de banda consumida (em Mbps). O servidor de "BattleArena" tem $120$ jogadores e consome $450$ Mbps. Por outro lado, o servidor de "GalaxyQuest" tem $85$ jogadores e consome $320$ Mbps. Calcule a razão de consumo por jogador em ambos os servidores e determine qual dos dois é mais eficiente (o que consome menos Mbps por cada jogador). Expresse as razões como números decimais.

Para preparar uma mistura de tinta de cor rosa, um artista utiliza $3$ latas de tinta branca para cada $2$ latas de tinta vermelha.

• Escreva a razão entre a tinta branca e a vermelha.

• Se o artista decidisse usar $6$ latas de tinta vermelha, quantas latas de tinta branca deveria usar para manter o mesmo tom de rosa?

Observe estas duas misturas de água com xarope de morango. A mistura $A$ tem $2$ copos de xarope para cada $5$ copos de água. A mistura $B$ tem $4$ copos de xarope para cada $10$ copos de água.

• Escreva a razão de cada mistura.

• Essas misturas são proporcionais? Ou seja, terão o mesmo sabor?

Para preparar uma cor laranja muito especial, um grafiteiro mistura $1,2\text{ litros}$ de tinta vermelha com $0,8\text{ litros}$ de tinta amarela.

1. a) Escreva a razão entre a quantidade de tinta vermelha e amarela. Expresse-a como uma fração irredutível.
2. b) Se quiser manter o mesmo tom, mas só tiver $0,5\text{ litros}$ de tinta amarela, que quantidade de tinta vermelha deverá utilizar? (Utilize a razão obtida no item anterior).

Uma artista de arte urbana está criando uma nova cor "Verde Ciber" misturando tinta azul e tinta amarela. Na sua primeira lata, misturou $0,75$ litros de azul com $1,2$ litros de amarelo. Ao ficar sem tinta, decide preparar uma segunda mistura em uma lata maior usando $2,5$ litros de azul. Quantos litros de amarelo deve adicionar para que a razão entre o azul e o amarelo seja exatamente a mesma da primeira mistura? Expresse a razão inicial como uma fração irredutível.

Você precisa verificar se as razões $\dfrac{18}{24}$ e $\dfrac{27}{36}$ formam uma proporção. Na aula, são propostos três caminhos distintos:

• Método 1 (Camila): Verificar se o produto dos extremos é igual ao produto dos meios ($18 \cdot 36$ em comparação com $24 \cdot 27$).

• Método 2 (Bruno): Simplificar ambas as frações até a sua fração irredutível e observar se coincidem.

• Método 3 (Daniel): Dividir o numerador pelo denominador em ambas as razões e comparar os números decimais obtidos.

1. a) Aplique o Método 1 e o Método 2 para determinar se formam ou não uma proporção.
2. b) Analise as vantagens e desvantagens de cada um dos três métodos. Se os números fossem de quatro algarismos (por exemplo, $\dfrac{3216}{4824}$ e $\dfrac{2144}{3216}$) e você não tivesse calculadora, qual dos três métodos descartaria primeiro e qual escolheria como mais eficiente e seguro? Justifique a sua escolha.

Na sua turma do 7º ano há um total de $32$ alunos. Sabe-se que para cada $3$ alunos que preferem as aulas de Educação Física, há $5$ alunos que preferem as de Artes Visuais.

1. a) Escreva a razão entre os que preferem Educação Física e os que preferem Artes Visuais.
2. b) Se essas são as duas únicas opções e todos escolheram uma, quantos alunos preferem cada disciplina? (Dica: observe que a soma dos termos da razão simplificada é $3 + 5 = 8$).

Na aula de Artes, vocês preparam uma tonalidade personalizada de tinta verde misturando latas de tinta azul e amarela. No começo, a razão entre latas de azul e latas de amarelo é $\dfrac{2}{3}$, tendo sido utilizadas $6$ latas de tinta azul.

1. a) Determine quantas latas de tinta amarela foram utilizadas nessa mistura inicial.
2. b) Para clarear o tom, a professora indica que a nova razão (azul em relação ao amarelo) deve ser exatamente $\dfrac{1}{2}$. Se vocês só dispuserem de latas adicionais de tinta amarela (a quantidade de azul não se altera), quantas latas amarelas vocês devem adicionar à mistura original?
3. c) Um colega afirma: 'Para passar da razão $\dfrac{2}{3}$ para a razão $\dfrac{1}{2}$, a diferença entre ambas é $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, por isso basta adicionar a sexta parte das latas que já havia'. Explique detalhadamente por que esse raciocínio é falso e que erro conceitual ele comete ao tratar uma razão como se fosse uma quantidade aditiva.

Na horta de uma escola, a razão simplificada entre o número de pés de tomate e o número de pés de alface plantados é $\dfrac{3}{5}$. Além disso, o professor de Biologia informa a vocês que o número total de plantas (tomates mais alfaces) é maior do que $30$ e menor do que $50$.

1. a) Quantos pés de tomate e quantos de alface pode haver exatamente? Escreva todos os pares de soluções possíveis que cumpram essas condições.
2. b) Justifique por que seria impossível haver nessa horta um total de $35$ plantas mantendo essa mesma razão.

Em um mapa de uma ilha do tesouro de um filme, a distância entre o "Porto do Pirata" e a "Montanha do Crânio" é de $15\text{ cm}$. Na realidade, essa distância é de $4,5\text{ km}$.

1. a) Calcule a razão entre a medida no mapa e a medida real (lembre-se de converter ambas para a mesma unidade, por exemplo, centímetros).
2. b) Que nome recebe essa razão especial utilizada nos mapas?

O Lucas está construindo uma maquete de um ônibus urbano da empresa municipal de transporte de São Paulo. O ônibus real mede $12\text{ m}$ de comprimento e a sua maquete mede $15\text{ cm}$. Para indicar a escala na ficha técnica do projeto, o Lucas escreve o seguinte:

'A escala é $\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$, o que significa que a maquete é $1,25$ vezes maior do que o ônibus'.

1. a) Explique qual é o duplo erro que o Lucas cometeu (um relativo às unidades de medida e outro à interpretação da razão resultante).
2. b) Corrija o raciocínio e calcule a escala numérica correta da maquete, expressando-a no formato habitual $1:n$.

A razão entre o comprimento da base e a altura das telas dos cinemas antigos era de $4:3$ (formato quase quadrado), enquanto nos cinemas modernos a razão costuma ser de $21:9$ (formato panorâmico).

Se a tela de um cinema moderno tem uma altura de $6,3$ metros, quanto mede a sua base? Qual seria a base de uma tela antiga com essa mesma altura de $6,3$ metros? Compare ambos os resultados e explique qual das duas telas é mais "alongada".