Múltiplos, divisores e critérios de divisibilidade

Um gafanhoto está treinando para uma competição. Em cada salto, avança exatamente $6$ decímetros.

Escreva a distância total que ele percorreu após dar $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$ saltos. Como esses números são chamados em relação ao $6$?

Sabendo que a igualdade $15 \cdot 4 = 60$ é verdadeira, complete as seguintes frases usando corretamente as palavras múltiplo ou divisor:

1. a) O número $60$ é ____ de $15$.
2. b) O número $4$ é ____ de $60$.
3. c) O número $60$ é ____ de $4$.
4. d) O número $15$ é ____ de $60$.

Marta quer dividir $28$ adesivos entre seus $4$ amigos em partes iguais.

1. a) Quantos adesivos cada um receberá? Sobra algum?
2. b) $28$ é divisível por $4$?
3. c) $4$ é um divisor de $28$?

Observe o seguinte esquema de "salto de números" e complete as frases usando as palavras múltiplo, divisor ou divisível:

1. a) $60$ é .................... de $12$.
2. b) $12$ é .................... de $180$.
3. c) $180$ é .................... por $60$.
4. d) Se adicionarmos o número $5$ ao esquema, que relação ele teria com o $60$?

Identifique quais dos seguintes números são divisores de $24$ realizando as divisões necessárias:

Lembre-se: Um número é divisor de outro se, ao dividi-los, o resto for igual a $0$.

Um designer gráfico está organizando uma galeria de $30$ ícones quadrados idênticos para uma página da web. Ele quer dispô-los formando um retângulo completo (sem que sobrem ícones).

1. a) Encontre todas as formas possíveis de organizar os ícones (por exemplo: $1$ fileira de $30$).
2. b) Que relação matemática as dimensões desses retângulos têm com o número $30$?
3. c) Se o design só permite que o lado mais curto do retângulo tenha pelo menos $3$ ícones, quantas opções ele tem agora?

Em um abrigo de animais, receberam uma doação de $48$ latas de comida para gatos. Querem armazená-las em caixas pequenas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de latas e não sobre nenhuma.

1. a) Escreva todos os divisores de $48$.
2. b) Se o encarregado quer que em cada caixa haja mais de $5$ latas, mas menos de $15$, quais opções de embalagem ele tem? Indique o número de latas por caixa e quantas caixas seriam necessárias em cada caso.

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou um contraexemplo em cada caso:

1. a) Se um número é divisor de $10$, também é divisor de todos os múltiplos de $10$ (como $20, 30, 40...$).
2. b) O conjunto dos divisores de um número é infinito.
3. c) Se um número $a$ é múltiplo de $b$, então $b$ é divisor de $a$.
4. d) Qualquer número natural é, no mínimo, divisível por si mesmo e pela unidade.

Um bibliotecário precisa colocar livros em prateleiras onde cabem exatamente $3$ livros em cada espaço. Para saber rapidamente se consegue completar as prateleiras sem que sobrem livros, ele utiliza o critério de divisibilidade do $3$.

Calcule a soma dos algarismos dos seguintes números e diga quais são divisíveis por $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Complete em seu caderno a seguinte tabela escrevendo SIM ou NÃO em cada célula, aplicando os critérios de divisibilidade que você aprendeu:

Substitua a letra $A$ por um algarismo para que o número resultante seja múltiplo de $9$. Lembre-se de que a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

Para abrir o cadeado digital do armário da academia, a Sara deve digitar um código de quatro algarismos da forma $5\text{.}2A4$, em que $A$ é um algarismo desconhecido (de $0$ a $9$). A Sara se lembra de duas condições que o seu código cumpre:

• O número é divisível por $3$.

• O número não é divisível por $9$.

1. a) Escreva a soma dos algarismos do número em função de $A$ e encontre todos os valores possíveis que o algarismo $A$ pode assumir para que o número seja múltiplo de $3$.
2. b) Dos valores que você obteve, descarte justificadamente aqueles que façam com que o número seja divisível por $9$. Que números de quatro algarismos válidos restam?
3. c) Verifique se algum dos números válidos resultantes também é divisível por $4$ aplicando o critério dos dois últimos algarismos, sem fazer a divisão completa.

Um número é divisível por $4$ se os seus dois últimos algarismos são zeros ou formam um múltiplo de $4$.

Observe os seguintes anos e diga quais seriam "anos especiais" por serem divisíveis por $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Aplique o critério de divisibilidade do $11$ para determinar quais dos seguintes números são múltiplos de $11$. Para aqueles que não forem, indique quanto você deveria somar a eles para que fossem:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Determine, sem realizar a divisão longa, se o número $N = 10^5 + 8$ é divisível por $2, 3, 4, 9$ e $11$. Justifique cada resposta enunciando a propriedade ou o critério de divisibilidade correspondente. (Dica: escreva primeiro o número com todos os seus algarismos).

Encontre o valor do algarismo ausente, representado pela letra $A$, em cada um destes números para que a condição indicada seja cumprida:

1. a) $24A$ é divisível por $4$ e por $3$ ao mesmo tempo.
2. b) $51A$ é divisível por $11$.
3. c) $A72$ é divisível por $9$, mas não por $10$.

Um confeiteiro assou uma bandeja de biscoitos. Ele sabe que tem mais de $70$ biscoitos, mas menos de $85$. Se os distribuir em caixas de $6$ unidades, não sobra nenhum. Se os distribuir em caixas de $9$, também não sobra nenhum.

1. a) Quantos biscoitos ele assou exatamente?
2. b) Justifique sua resposta utilizando os critérios de divisibilidade do $2$ e do $3$ para explicar por que o número é divisível por $6$.

O departamento de Educação Física de uma escola organiza um dia de caminhada para os $198$ estudantes do 1.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (1.º de ESO). Querem distribuí-los em grupos iguais, com um mínimo de $10$ e um máximo de $25$ alunos por grupo, de modo que nenhum aluno fique sem grupo e todos os grupos tenham exatamente o mesmo tamanho.

1. a) Estime: Antes de procurar divisores, arredonde $198$ para $200$ e calcule mentalmente quantos grupos resultariam aproximadamente se fossem feitos grupos de $10$, $15$ ou $20$ alunos. A partir dessa estimativa e utilizando os critérios de divisibilidade, justifique por que é impossível que os grupos sejam exatamente de $10$ ou de $20$ alunos.
2. b) Calcule: Utilizando os critérios de divisibilidade (do $2$, do $3$, do $5$, do $9$ e do $11$) e a decomposição em fatores primos de $198$ que deles se deduz, analise quais são os números compreendidos entre $10$ e $25$ que são divisores exatos de $198$. Deduza todas as formas possíveis de organizar a atividade (indicando quantos grupos se formam e quantos alunos vão em cada um).
3. c) Verifique: Reflita sobre os seus resultados: por que não é possível formar grupos de $15$ alunos, apesar de $198$ ser divisível por $3$?

Um hacker deixou uma pista para decifrar a senha de um servidor. A senha é o menor número de quatro algarismos, $2A3B$, que cumpre simultaneamente estas três condições:

• É divisível por $2$, mas não por $4$.

• É divisível por $9$.

• É divisível por $5$.

Qual é a senha do servidor? Justifique sua resposta aplicando os critérios passo a passo.

Procure todos os valores possíveis para os algarismos $X$ e $Y$ de modo que o número de cinco algarismos $4X12Y$ seja divisível por $4$ e por $9$ ao mesmo tempo. Considere que pode haver mais de uma combinação correta.