Representação na reta

Observe a seguinte reta numérica e identifique qual número inteiro corresponde a cada uma das letras marcadas com um ponto:

Desenhe no seu caderno uma reta numérica e represente nela os seguintes números inteiros: $+4$, $-3$, $0$, $+1$ e $-5$. Utilize uma distância de $1$ cm entre cada número.

Observe a reta e escreva os números inteiros que faltam nos quadros vazios, sabendo que a distância entre cada marcação é de $1$ unidade.

Indique qual é o número inteiro oposto ao que está representado pelo ponto laranja na reta. Represente também esse oposto na mesma reta.

Lembre-se de que, na reta numérica, quanto mais à direita está um número, maior ele é. Com base nisso, utilize os símbolos $>$ (maior que) ou $<$ (menor que) para comparar estes pares de números:

1. a) $-4$ _____ $+2$
2. b) $-1$ _____ $-5$
3. c) $+3$ _____ $0$
4. d) $-2$ _____ $+1$

Escreva os números inteiros cujo valor absoluto seja igual a $3$. Depois, represente-os em uma reta numérica como a da figura e explique o que você observa em relação à posição deles com relação ao zero.

Em um termômetro, as temperaturas acima de zero são consideradas positivas e abaixo de zero, negativas. Represente na reta vertical do termômetro as seguintes temperaturas de uma semana de inverno: $-2 ^\circ C$, $+5 ^\circ C$ e $0 ^\circ C$.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Observe a seguinte reta numérica na qual foram marcados três pontos, $A$, $B$ e $C$. Levando em consideração a posição do número $0$ e do $+2$, identifique que número inteiro cada letra representa.

Um mergulhador se encontra a $-10$ metros de profundidade (abaixo do nível do mar). Se subir $4$ metros, em que posição ele se encontra agora? Represente-o em uma reta numérica vertical em que o $0$ é o nível do mar.

Em uma prova, a Marta precisava calcular a distância na reta numérica entre o número $-6$ e o número $+3$. Na folha de respostas, ela escreveu:

«Como a distância é a diferença entre os números, faço $+3 - 6 = -3$. Portanto, a distância entre os dois é de $-3$ unidades».

1. a) Identifique os dois erros que a Marta cometeu (um conceitual sobre o resultado de uma distância e outro sobre como montar a subtração com números negativos).
2. b) Explique com suas palavras por que uma distância nunca pode ser negativa na reta numérica.
3. c) Escreva a operação correta e calcule a distância real entre $-6$ e $+3$.

Um drone de inspeção térmica realiza os seguintes movimentos sobre o eixo vertical de uma chaminé industrial. Se considerarmos que a boca da chaminé está no ponto $0$ metros:

• Começa a $+12$ m de altura.

• Desce $15$ metros para revisar uma fissura.

• Volta a subir $6$ metros para fazer uma leitura.

Represente o percurso em uma reta vertical e marque com um ponto em destaque a posição final do drone. A que altura ele se encontra em relação à boca da chaminé?

Três cientistas estão estudando um vulcão submarino. Suas posições em relação ao nível do mar ($0$ m) são:

• Pesquisador A: Encontra-se em um submarino a $-450$ metros.

• Pesquisador B: Está no cume do vulcão, a $+150$ metros acima do nível do mar.

• Pesquisador C: Está em um barco a $0$ metros.

Represente estas três posições em uma reta vertical. Se o pesquisador A quer subir até a posição do pesquisador B, quantos metros deve subir no total? Explique como observa isso na reta.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registra, em uma estação de montanha de Campos do Jordão, uma temperatura mínima de $-7\text{ }^\circ\text{C}$ às 7:00 h e uma máxima de $+3\text{ }^\circ\text{C}$ às 15:00 h.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo, situe mentalmente os dois números na reta numérica e estime se a temperatura do ponto médio entre a mínima e a máxima será positiva, negativa ou exatamente zero. Justifique sua previsão explicando qual das duas temperaturas está mais afastada do $0$.
2. b) Calcule a distância térmica total (variação de graus) entre a mínima e a máxima usando o valor absoluto.
3. c) Calcule de forma exata o ponto médio térmico aplicando a fórmula $\dfrac{a+b}{2}$ e verifique se a sua estimativa do item a) estava correta.

Na reta numérica, o ponto médio entre dois números inteiros é o lugar que está exatamente à mesma distância de ambos.

• Represente os números $-6$ e $+2$.

• Encontre visualmente o ponto médio entre eles e diga que número representa.

• Qual é a distância (em unidades) desse ponto médio a qualquer um dos dois extremos?

Numa reta numérica foram marcados dois números inteiros, $A$ e $B$. Sabemos que o ponto médio exato entre ambos é o número $-2$. Além disso, é dado que o ponto $A$ é o número $+4$.

1. a) Calcule a que distância o ponto $A$ está do ponto médio $-2$.
2. b) Sabendo que o ponto médio equidista de ambos os extremos, deduza, justificando, em que número inteiro deve estar o ponto $B$.
3. c) Aplique a fórmula do ponto médio, $\dfrac{A+B}{2}$, substituindo os valores de $A$ e $B$ para verificar que o seu resultado dá exatamente $-2$.

Numa estação intermodal de transporte em São Paulo, tomamos o nível da rua como cota $0\text{ m}$. A estação subterrânea de trem metropolitano está situada a uma cota de $-12\text{ m}$, enquanto a passarela superior de acesso aos ônibus se localiza a uma cota de $+8\text{ m}$.

1. a) Modele esta situação sobre uma reta numérica e calcule quantos metros de distância percorre um elevador panorâmico que vai diretamente da estação de trem metropolitano até a passarela dos ônibus.
2. b) A direção da estação quer colocar um painel informativo no ponto médio exato do percurso vertical do elevador. A que cota (em metros) ele deve ser instalado? Estará acima ou abaixo do nível da rua?
3. c) Um técnico de manutenção está trabalhando em um ponto que fica a exatamente $5\text{ m}$ da estação de trem metropolitano (cota $-12\text{ m}$). Em quais duas cotas distintas esse técnico poderia se encontrar? Justifique ambas as opções.

Desenhe uma reta numérica e represente nela todos os números inteiros $x$ que satisfaçam simultaneamente estas duas condições:

1. Seu valor absoluto é menor que $5$, isto é: $|x| < 5$.

2. São números estritamente menores que $-1$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Represente em uma reta numérica os seguintes números inteiros. Escolha uma escala adequada (onde cada marcação da reta possa valer mais de 1 unidade) para que todos caibam no seu desenho:

$S = \{ -15, +5, -20, +25, 0, -5 \}$

Identifique quais números inteiros estão representados pelos pontos $M$ e $N$ nesta reta, sabendo que a distância entre duas marcações consecutivas é sempre a mesma.

Desenhe uma reta numérica e posicione nela o número $-3$. Em seguida, represente:

• O ponto $A$, que é o oposto de $-3$.

• O ponto $B$, que está $5$ unidades à esquerda de $-3$.

• O ponto $C$, que está $2$ unidades à direita de $A$.

Que número representa o ponto $C$? Qual é o menor número dos quatro marcados na reta?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um explorador está procurando um tesouro enterrado em um caminho reto que representamos como uma reta numérica. O mapa dá a ele as seguintes pistas:

1. O tesouro está em uma posição representada por um número inteiro $x$.

2. A distância entre $x$ e o número $-2$ é exatamente de $5$ unidades.

3. O valor absoluto de $x$ é maior que $4$.

Represente na reta numérica as possíveis localizações do tesouro e determine em que número ou números exatos ele poderia estar. Você pode copiar esta reta numérica para trabalhar sobre ela:

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Estamos desenhando um termômetro especial para um experimento de física. Precisamos marcar quatro pontos críticos: $A$, $B$, $C$ e $D$, que cumprem estas condições:

• $A$ é o simétrico de $+3$.

• $B$ tem valor absoluto $5$ e está à esquerda de $A$.

• $C$ é um número inteiro tal que $-1 < C < 4$ e a sua distância a $A$ é igual à sua distância a $D$.

• $D$ é o maior número inteiro possível que seja menor que $+6$.

Represente os quatro pontos na mesma reta numérica (você pode usar a reta da figura como modelo) e ordene-os do menor para o maior valor absoluto. Se dois pontos tiverem o mesmo valor absoluto, indique isso.

Em um videogame, um personagem se move por uma linha de casas numeradas com números inteiros. O jogador deve colocar "armadilhas" em todos os números inteiros $n$ que cumpram simultaneamente estas duas condições:

• O valor absoluto do número é menor ou igual a $6$: $|n| \le 6$.

• A distância entre o número $n$ e o número $-3$ é maior que $4$ unidades.

Desenhe uma reta numérica e marque com um "X" laranja todas as posições onde o jogador deve colocar uma armadilha. Quantas armadilhas há no total?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um drone de vigilância se desloca ao longo de um eixo horizontal. Sua base de carga está no ponto $0$. Realiza os seguintes movimentos de forma consecutiva:

• Começa na base e se desloca até o ponto $+7$.

• A partir daí, recua $12$ unidades.

• Finalmente, move-se para uma posição $P$ tal que a distância total percorrida desde o início é de $25$ unidades.

Se o drone sempre se move em linha reta, em que número inteiro da reta se encontra o ponto $P$? Existe mais de uma solução possível? Represente graficamente.

Duas cidades, Villafría e Villacalor, estão conectadas por uma estrada reta que imaginamos como uma reta numérica. Villafría está no ponto $-15$ e Villacalor no ponto $+21$.

Deseja-se instalar uma antena de telefonia em um ponto $M$ que esteja exatamente à mesma distância de ambas as cidades.

1. Que número inteiro representa a posição da antena $M$?

2. Se um carro sai de Villafría em direção à antena e quebra quando percorreu $\frac{1}{3}$ da distância total entre a cidade e a antena, em que número da reta ele parou?

Um historiador está criando uma linha do tempo digital. Defina o ano $0$ como o momento de uma grande descoberta.

• A civilização Alfa surgiu no ano $-450$ e durou $300$ anos.

• A civilização Beta começou logo quando terminou a Alfa e durou o dobro do tempo.

• A civilização Gamma se situa na reta de modo que seu ano de início é o ponto médio entre o início de Alfa e o fim de Beta.

Represente em uma reta numérica (usando uma escala adequada, por exemplo, 1 unidade = 100 anos) os pontos de início e fim de cada civilização. Em que ano começou a civilização Gamma?

Considere três números inteiros $a, b$ e $c$ situados na reta numérica dos quais sabemos o seguinte:

• $a$ é o oposto do valor absoluto de $-8$.

• $c$ é um número tal que sua distância até $0$ é a metade da distância de $a$ a $0$, e $c$ é positivo.

• $b$ é um número que está à mesma distância de $a$ que de $c$.

Desenhe a reta, posicione os três pontos e calcule o valor da seguinte expressão usando suas posições:

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Imagine que a reta numérica é uma corda esticada. Amarramos um peso no número $0$ e outro no número $-12$.

1. Encontre a posição de um ponto $P$ (um número inteiro) que esteja a uma distância de $4$ unidades do ponto $-6$. Quantas soluções existem?

2. Se agora procuramos um ponto $Q$ tal que sua distância até o $+2$ seja o dobro de sua distância até o $-1$, quais números inteiros poderiam ser $Q$? Identifique-os e marque-os na reta numérica.

Queremos encontrar todos os números inteiros que se encontram a uma distância de exatamente $6$ unidades do número $-2$ na reta numérica.

Dois estudantes do 1.º de ESO propõem dois caminhos distintos:

• Método de Alba: Desenha uma reta graduada de $1$ em $1$, localiza a posição do $-2$ e conta visualmente $6$ divisões para a direita e depois $6$ divisões para a esquerda para ver em que marcas cai.

• Método de Sergio: Traduz o problema em operações aritméticas diretas: como deslocar-se para a direita é somar e para a esquerda é subtrair, calcula $(-2) + 6$ e $(-2) - 6$.

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo e verifique que com os dois se obtêm os mesmos números.
2. b) Imagine agora que o enunciado muda para: «Determine os números inteiros situados a uma distância de $235$ unidades do número $-148$». Compare ambos os métodos e justifique qual dos dois você escolheria por ser mais eficiente e evitar erros de contagem.
3. c) Resolva o caso das $235$ unidades de distância em relação a $-148$ utilizando o método que você selecionou no item b).

Estamos à procura de dois números inteiros desconhecidos, $x$ e $y$ (onde $x < y$), representados na reta numérica. Para descobri-los, você dispõe unicamente de quatro pistas:

1. A distância entre $x$ e $y$ é de $14$ unidades.

2. O produto de ambos os números é estritamente negativo (ou seja, $x \cdot y < 0$, o que implica que estão em lados opostos do $0$).

3. O ponto médio entre $x$ e $y$ é um número inteiro negativo.

4. O valor absoluto de um dos dois números é exatamente $4$.

1. a) Deduza de forma fundamentada qual dos dois números, o positivo ou o negativo, deve ser o que tem valor absoluto $4$. (Dica: pense em qual número deve estar mais afastado do $0$ na reta para que o ponto médio seja negativo).
2. b) A partir da sua dedução, determine os valores exatos de $x$ e de $y$.
3. c) Calcule o ponto médio entre os valores que você encontrou e verifique numericamente que as quatro condições do enunciado se cumprem.