Máximo divisor comum (MDC)

Calcule todos os divisores dos números $12$ e $18$. Depois, indique quais são os divisores comuns e assinale qual deles é o Máximo Divisor Comum (MDC).

Você pode se ajudar de um diagrama como o da figura: escreva em cada círculo os divisores de cada número e, na zona onde se cruzam, os que são comuns.

Calcule mentalmente o $MCD$ dos seguintes pares de números. São números pequenos em que você pode identificar o maior divisor comum rapidamente:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

O que todos estes resultados têm em comum?

Vocês vão calcular o máximo divisor comum de dois números: $48$ e $72$.

1. a) Antes de operar, raciocine sobre os limites do resultado: o M.D.C. poderia ser igual a $96$? E poderia ser igual a $48$? Explique por que o M.D.C. de dois números nunca pode ser maior do que o menor deles.
2. b) Sabendo que ambos os números são pares (divisíveis por $2$) e que a soma dos algarismos de ambos é múltiplo de $3$ (divisíveis por $3$), estime qual dos seguintes quatro valores é o candidato mais razoável para ser o M.D.C. antes de decompor: $5$, $12$, $24$ ou $36$. Justifique por que você descarta os outros três.
3. c) Decomponha $48$ e $72$ em fatores primos, calcule com exatidão o $M.C.D.(48, 72)$ e verifique se a sua estimativa do item anterior estava correta.

Observe as decomposições fatoriais destes dois números e encontre o seu $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Lembre-se da regra pedagógica: "Para o MDC, tomamos os fatores comuns elevados ao menor expoente".

O Lucas precisa calcular o máximo divisor comum de $72$ e $120$. No caderno, ele faz a decomposição em fatores primos e escreve o seguinte:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$M.C.D.(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$

Quando a professora lhe pergunta sobre o procedimento, o Lucas argumenta: «Escolhi os fatores com o maior expoente, inclusive os não comuns, porque a regra se chama máximo divisor, portanto o resultado tem de ser o maior divisor possível».

1. a) Sem precisar refazer os cálculos, explique de forma fundamentada por que o resultado $360$ é absurdo e impossível como divisor de $72$ e de $120$.
2. b) Que conceito matemático o Lucas calculou na verdade, por engano, ao aplicar essa regra?
3. c) Corrija a resolução do Lucas: explique qual é o critério correto para selecionar os fatores primos no cálculo do M.D.C. e calcule o valor correto de $M.C.D.(72, 120)$.

Calcule o Máximo Divisor Comum ($M.C.D.$) dos seguintes grupos de números utilizando o método de decomposição em fatores primos:

1. a) $48$ e $72$
2. b) $30, 45$ e $60$
3. c) $120$ e $150$

Observe as seguintes decomposições em fatores primos de três números e, sem realizar as multiplicações, indique qual é o seu $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Para calcular o máximo divisor comum você tem duas estratégias principais:

• Método 1 (Listagem de divisores): Escrever todos os divisores de cada número, identificar os que coincidem e escolher o maior.

• Método 2 (Fatoração prima): Decompor em fatores primos e multiplicar apenas os fatores comuns com o seu menor expoente.

São apresentadas a você duas situações de cálculo:

• Caso A: Determinar o $M.C.D.(15, 25)$.

• Caso B: Determinar o $M.C.D.(210, 294)$.

1. a) Para o Caso A, qual método você escolhe por ser mais direto e exigir menos passos? Aplique-o e obtenha o resultado.
2. b) Para o Caso B, explique detalhadamente por que o Método 1 seria longo, cansativo e com elevado risco de esquecer divisores em comparação com o Método 2.
3. c) Resolva o Caso B aplicando o Método 2 passo a passo: mostre a decomposição de $210$ e de $294$, indique quais fatores você seleciona e calcule o $M.C.D.(210, 294)$.

Invente dois números naturais distintos, $a$ e $b$, de modo que a seguinte condição seja cumprida:

$M.C.D.(a, b) = 12$

Justifique sua resposta mostrando a decomposição em fatores primos dos números escolhidos.

Sabemos que o Máximo Divisor Comum de dois números é $12$ e que um desses números é o $48$. Se o outro número for maior do que $50$ mas menor do que $70$:

1. a) Determine qual é esse segundo número.
2. b) Justifique a sua resposta utilizando a decomposição em fatores primos.

Dizem-se primos entre si dois números cujo único divisor comum é o $1$. Verifique se os seguintes pares de números são primos entre si calculando o $M.C.D.$ deles:

1. a) $14$ e $15$
2. b) $22$ e $33$
3. c) $21$ e $25$

Durante um debate sobre propriedades numéricas na sala de aula, dois estudantes lançam as seguintes afirmações:

• A Marta afirma: «Se dois números são compostos (isto é, nenhum deles é primo), é impossível que sejam primos entre si, porque ao terem vários divisores compartilharão sempre algum maior do que $1$».

• O Sérgio afirma: «Se tomarmos dois números quaisquer que sejam primos entre si, ao somar $1$ a ambos os números, o novo par resultante continuará sendo sempre primo entre si».

1. a) Analise a afirmação da Marta. Lembre o que significa a definição de «números primos entre si» e demonstre que a afirmação dela é falsa propondo um contraexemplo com dois números compostos menores do que $30$. Calcule o M.D.C. deles para justificar.
2. b) Analise a afirmação do Sérgio. Demonstre que a afirmação dele também é falsa encontrando um par de números $x$ e $y$ que sejam primos entre si ($M.C.D.(x, y) = 1$), mas tais que $x + 1$ e $y + 1$ tenham um divisor comum maior do que $1$.
3. c) Raciocine e demonstre a seguinte propriedade teórica: se tomarmos dois números naturais consecutivos quaisquer ($n$ e $n + 1$), qual é sempre o M.D.C. deles? (Dica: pense na relação que existe entre a diferença de dois números e os divisores que podem compartilhar).

Na aula de tecnologia, os alunos têm duas ripas de madeira de $36$ cm e $48$ cm de comprimento. Eles precisam cortá-las em pedaços do mesmo comprimento, sendo este o maior possível.

1. a) Qual será o comprimento de cada pedaço?
2. b) Quantos pedaços eles obterão no total das duas ripas?

Em uma biblioteca, querem organizar $45$ livros de aventura e $60$ livros de ficção científica em prateleiras, de modo que em cada prateleira haja o mesmo número de livros e que este seja o maior possível.

1. a) Quantos livros colocarão em cada prateleira?
2. b) Quantas prateleiras usarão para os livros de aventura e quantas para os de ficção científica?

No instituto foi organizado um dia de convivência. Há $54$ alunos de 1º ESO e $42$ alunos de 2º ESO. Querem-se formar equipas de modo que cada equipa seja formada apenas por alunos do mesmo ano (não se misturam alunos de 1º e de 2º). Todas as equipas devem ter exatamente o mesmo número de pessoas, e esse número deve ser o máximo possível sem que sobre ninguém.

1. a) Quantos alunos haverá em cada equipe?

1. b) Quantas equipas de 1º ESO e quantas de 2º ESO se formarão?

Para um banco de alimentos, um supermercado doa $36$ potes de leguminosas, $48$ caixas de leite e $60$ pacotes de arroz. Querem preparar o maior número possível de sacolas iguais para distribuir, de modo que em cada sacola haja o mesmo número de produtos de cada tipo.

1. a) Quantas sacolas poderão preparar, no máximo?
2. b) O que cada sacola conterá?

Em um engenho cooperativo de Jaén terminaram a colheita com dois tanques especiais de azeite virgem extra: um contém $420$ litros de variedade Picual e o outro contém $300$ litros de variedade Arbequina. Para comercializá-lo em lojas gourmet, querem embalar todo o azeite em garrafões idênticos com a maior capacidade possível em litros inteiros, de forma que todos os garrafões sejam iguais, nenhuma variedade se misture na mesma embalagem e não sobre nada de azeite nos tanques.

1. a) Modele matematicamente o problema: identifique qual conceito de divisibilidade representa a capacidade dos garrafões e calcule quantos litros deve conter cada um.
2. b) Quantos garrafões de azeite Picual e quantos de Arbequina serão enchidos no total?
3. c) Se, por uma norma de manipulação de peso no transporte, for estabelecido que nenhum garrafão pode ultrapassar $25$ litros, a distribuição anterior é válida? Se não for, utilize os divisores comuns das duas quantidades para determinar qual seria a maior capacidade permitida por garrafão que continue cumprindo todas as condições originais.

Uma artista urbana quer projetar um mural em uma parede retangular que mede $210$ cm de altura por $165$ cm de largura. Para o seu projeto, ela quer dividir toda a parede em quadrados iguais, de forma que sejam o maior possível e que não seja preciso cortar nenhuma peça.

1. a) Quanto deve medir o lado de cada quadrado para cobrir toda a parede?
2. b) Quantos quadrados o mural terá no total?

Um jardineiro quer cercar uma horta retangular de $90$ metros de comprimento e $126$ metros de largura com postes para uma cerca. O dono da horta pediu que ele colocasse um poste em cada canto e que a distância entre os postes fosse sempre a mesma e a maior possível.

1. a) Que distância ele deve deixar entre cada poste?
2. b) De quantos postes ele precisará no total para cercar todo o perímetro da horta?

Estamos procurando o maior número possível que, ao dividir os números $159$ e $195$, deixe em ambos os casos um resto de $3$ unidades. Justifique os passos seguidos para encontrá-lo utilizando o conceito de Máximo Divisor Comum.

Um laboratório farmacêutico precisa embalar dois tipos de comprimidos, $A$ e $B$, em blísteres idênticos. Não conhecemos a quantidade exata de comprimidos de cada tipo, mas os registros de controle indicam que cumprem rigorosamente as seguintes cinco condições:

1. Ambos são números de dois algarismos ($A < 100$ e $B < 100$).

2. O seu máximo divisor comum é $15$: $M.C.D.(A, B) = 15$.

3. Nenhum dos dois números é múltiplo do outro (isto é, $A$ não divide $B$ nem $B$ divide $A$).

4. A quantidade $A$ é um número par e a quantidade $B$ é um número ímpar.

5. A soma de ambos os números é exatamente $135$ comprimidos ($A + B = 135$).

1. a) Se $M.C.D.(A, B) = 15$, podemos escrever $A = 15 \cdot a$ e $B = 15 \cdot b$. Deduza que condição matemática imprescindível os números $a$ e $b$ devem cumprir entre si, e quanto deve valer a soma $a + b$.
2. b) Encontre os valores exatos de $A$ e de $B$, verificando o cumprimento das cinco condições.
3. c) Demonstre de forma fundamentada por que não existe nenhum outro par de números que cumpra todas as condições do enunciado.

Desafio do tema. Organize uma doação solidária na sua casa!

1. Coleta e critérios: Conte dois tipos de alimentos não perecíveis da sua despensa (por exemplo, $A$ latas e $B$ pacotes, com $A, B \ge 18$). Identifique os seus divisores e múltiplos imediatos, e verifique se cumprem os critérios de divisibilidade do $2$, $3$ e $5$.

2. Fatoração, mdc e mmc: Faça a decomposição em fatores primos (FAC) de $A$ e $B$. Determine o $\text{mdc}(A, B)$ para criar o número máximo de lotes idênticos sem desperdício, e o $\text{mmc}(A, B)$ para prever de quantos em quantos dias ambos os produtos se esgotarão ao mesmo tempo (se você consumir uma unidade de cada por dia e repuser a mesma quantidade quando acabar).

3. Equações e DIV: Formule e resolva uma equação do primeiro grau para calcular quantas latas adicionais $x$ você deve comprar para encher $6$ caixas completas: $A + x = 6 \cdot k$ (escolhendo o múltiplo superior mais próximo). Verifique o algoritmo da divisão inteira ($D = d \cdot c + r$) e calcule o orçamento se cada lata custar $\text{R\$}\ 1,25$.

4. Produto final: Crie uma planilha com as tabelas de dados, fórmulas de divisibilidade e uma proposta fundamentada para o banco de alimentos.

Será valorizado:

• Aplicação rigorosa de critérios de divisibilidade e decomposição em fatores primos (FAC).

• Resolução contextualizada de $\text{mdc}$ e $\text{mmc}$.

• Formulação algébrica da equação e uso correto da divisão inteira (DIV).

• Estrutura, fórmulas e clareza na planilha.