Conceitos de probabilidade

Classifique os seguintes experimentos como aleatórios ou determinísticos, justificando brevemente sua resposta em cada caso:

1. a) Observar se o próximo ônibus que passar pelo ponto em frente à escola é da linha 5.
2. b) Medir o tempo que um objeto leva para cair no chão a partir de uma altura de 2 metros em condições de vácuo.
3. c) Prever o vencedor do próximo sorteio da Mega da Virada.
4. d) Calcular o custo de 3 kg de maçãs sabendo que o preço é de $1,50 \text{ \text{R\$}\ /kg}$.

Estamos jogando com uma roleta dividida em oito setores iguais, numerados de 1 a 8. Escreva o espaço amostral $E$ deste experimento e descreva os elementos dos seguintes eventos:

1. a) $A =$ "Obter um número maior que 5".
2. b) $B =$ "Obter um número par".
3. c) $C =$ "Obter um múltiplo de 3".

No seu celular você tem instalados 3 apps de redes sociais, 2 de jogos e 1 de música. Ao receber uma notificação, ela pode vir de qualquer um desses 6 apps com a mesma probabilidade.

1. a) Defina o espaço amostral $E$ deste experimento aleatório.
2. b) Descreva o evento $A$ = "A notificação não é de uma rede social".
3. c) Escreva um evento impossível relacionado a este contexto.

Em uma bolsa de esportes há 4 camisetas vermelhas, 3 azuis e 1 branca. Se retirarmos uma camiseta sem olhar, indique qual das seguintes opções descreve melhor a probabilidade de cada evento (use os termos: muito provável, pouco provável, impossível, certo):

1. a) Retirar uma camiseta de cor verde.
2. b) Retirar uma camiseta que não seja branca.
3. c) Retirar uma camiseta vermelha, azul ou branca.
4. d) Retirar uma camiseta azul.

Considere o experimento aleatório de escolher ao acaso uma letra da palavra MATEMÁTICAS. Defina os seguintes conceitos associados a este experimento:

1. a) O espaço amostral $E$.
2. b) O evento $V =$ "Escolher uma vogal".
3. c) O evento $C =$ "Escolher uma consoante".
4. d) Verifique se $V$ e $C$ são eventos complementares.

Em um globo de loteria há bolas numeradas de 1 a 20. Se retirarmos uma bola ao acaso, classifique os seguintes eventos em elementares ou compostos:

1. a) $S_1 =$ {obter o número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obter um número primo menor que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obter um múltiplo de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obter o maior número par do globo}.

Um dado tem suas faces pintadas de cores: 3 faces são vermelhas, 2 são verdes e 1 é amarela. Se lançarmos o dado ao ar:

1. a) Qual é a probabilidade de "obter a cor vermelha"? Expresse o resultado como fração.
2. b) Qual é a probabilidade de "não obter a cor vermelha"?
3. c) Como se chama tecnicamente o evento do item b) em relação ao do item a)?

Na aula de Matemática, o Marcos analisa o experimento aleatório de lançar um dado cúbico equilibrado com faces numeradas de 1 a 6. Depois de pensar um momento, afirma: «Consideremos os eventos $A = \text{“obter um número menor ou igual a 4”}$ e $B = \text{“obter um número maior ou igual a 3”}$. São eventos contrários porque, ao reuni-los, abrangem todos os resultados possíveis: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$».\n\na) Explique detalhadamente qual é o erro no raciocínio do Marcos. Que duas condições devem ser cumpridas simultaneamente para que dois eventos sejam formalmente contrários?\nb) Escreva em extensão (listando os seus elementos) o verdadeiro evento contrário de $A$, denotado por $\bar{A}$.\nc) Determine a interseção $A \cap B$ e deduza, a partir dela, se $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis.

De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta ao acaso. Dados os eventos $A =$ "Sair um Rei" e $B =$ "Sair uma carta de Ouros", indique:

1. a) $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis? Por quê?
2. b) Qual é o evento interseção $A \cap B$?
3. c) Descreva por palavras o evento união $A \cup B$.

A figura mostra como está organizado o baralho: 4 naipes e 10 cartas por naipe (numeradas de 1 a 7, e as figuras 10 = valete, 11 = cavalo e 12 = rei).

Num jogo de tabuleiro, retira-se ao acaso uma ficha numerada de um saco. O espaço amostral do experimento é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Pede-se que você construa e determine os elementos de dois eventos, $A$ e $B$, que cumpram simultaneamente as seguintes quatro condições:\n1. O evento $A$ deve ser formado por exatamente 5 eventos elementares.\n2. A interseção de ambos os eventos deve ser $A \cap B = \{2, 6\}$.\n3. A união de ambos os eventos deve conter todos os elementos do espaço amostral, exceto o 8, ou seja, $A \cup B = E \setminus \{8\}$.\n4. O evento $B$ tem exatamente 4 elementos.\n\na) Escreva os elementos que formam o evento $A$ e o evento $B$, justificando passo a passo como você decide a posição de cada número.\nb) Escreva o evento contrário de $B$, $\bar{B}$, e determine se $A$ e $\bar{B}$ são eventos compatíveis ou incompatíveis.

Realiza-se uma pesquisa com os 30 alunos de uma turma sobre suas preferências de streaming. Sabe-se que 18 alunos assistem à Netflix ($N$), 12 assistem ao Disney+ ($D$) e 5 alunos assistem a ambas as plataformas. Se escolhermos um aluno ao acaso:

1. a) Utilize um diagrama de Venn para representar a situação.

1. b) Calcule a probabilidade de o aluno assistir apenas à Netflix.

1. c) Calcule a probabilidade de o aluno não assistir a nenhuma das duas plataformas (evento complementar da união).

Em um jogo de cartas colecionáveis de fantasia, um baralho contém as seguintes cartas: 8 do tipo "Guerreiro", 6 do tipo "Mago", 4 do tipo "Elfo" e 2 do tipo "Dragão". Se você retirar uma carta ao acaso, calcule a probabilidade de que:

1. a) Seja um "Mago".
2. b) Seja um "Guerreiro" ou um "Elfo".
3. c) Não seja um "Dragão".

Lançam-se duas moedas ao ar e anota-se o resultado de cada uma (C para cara, X para coroa).

1. a) Utilize um diagrama de árvore para encontrar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço amostral do experimento.
3. c) Qual é o evento elementar "obter duas caras"?

Para ir a um festival, Ana tem no seu armário 3 moletons com capuz (preto, branco e vermelho) e 2 calças (jeans e de moletom). Ela escolhe ao acaso um moletom e uma calça, todas as opções com a mesma probabilidade.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que represente todas as combinações possíveis de vestuário (moletons e calças).
2. b) Qual é a probabilidade de Ana escolher o moletom vermelho?
3. c) Qual é a probabilidade de ela não escolher a calça de moletom?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Consideramos o experimento aleatório de lançar dois dados cúbicos e somar suas pontuações. Sejam os eventos:

• $A$ = "A soma é um número par".

• $B$ = "A soma é um múltiplo de 5".

1. a) Calcule $P(A)$ e $P(B)$.
2. b) Os eventos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis? Justifique sua resposta encontrando os elementos de $A \cap B$.
3. c) Calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Para preparar as atividades da semana da matemática da escola, propõe-se analisar o espaço amostral de dois experimentos diferentes:\n- Experimento 1: Lançar simultaneamente dois dados cúbicos de 6 faces e calcular a diferença positiva entre a maior e a menor pontuação (se forem iguais, a diferença é 0).\n- Experimento 2: Responder ao acaso a um questionário rápido de 4 perguntas em que cada uma admite apenas duas respostas possíveis: Verdadeiro ($V$) ou Falso ($F$).\n\na) Compare as duas ferramentas habituais para descrever experimentos compostos: a tabela de dupla entrada e o diagrama de árvore. Justifique qual das duas é mais adequada para o Experimento 1 e qual para o Experimento 2, explicando por que uma tabela de dupla entrada não é prática para o Experimento 2.\nb) Aplique a regra do produto ($m \cdot n \dots$) para calcular quantos resultados possíveis compõem o espaço amostral de cada um dos dois experimentos.\nc) Utilizando o método que você considerou ideal para o Experimento 1, represente todos os resultados possíveis e descreva por extensão o evento $D = \text{“a diferença entre as faces é maior ou igual a 4”}$.