Tabelas de frequências

Pretende-se realizar um estudo para saber qual é o livro favorito dos $1\,200$ alunos de uma escola de Ensino Médio de São Paulo. Para isso, escolhem-se ao acaso $80$ estudantes e pergunta-se a eles o título do livro de que mais gostaram este ano.

Indique quais são os seguintes elementos deste estudo estatístico:

• População

• Amostra

• Indivíduo

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas. Para as que forem quantitativas, indique se são discretas ou contínuas:

1. a) A cor favorita de seus colegas de turma.
2. b) O número de mensagens de WhatsApp que você recebe por dia.
3. c) A altura exata dos jogadores de um time de basquete.
4. d) O modelo de celular que os professores da escola usam.
5. e) O número de irmãos dos alunos do 8º ano.

Um grupo de amigos anotou o número de vezes que foi ao cinema no último mês. Os resultados obtidos são:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1$

Organize estes dados em uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) para cada valor da variável.

Em uma pesquisa sobre a rede social favorita de $20$ adolescentes, foram obtidos os seguintes resultados de frequência absoluta:

Calcule a frequência relativa ($f_i$) e a porcentagem ($\%$) de cada categoria.

A tabela a seguir mostra o número de animais de estimação que as famílias de um condomínio têm. Complete a coluna das frequências absolutas acumuladas ($N_i$):

Dica. A frequência acumulada de cada linha é a soma da frequência absoluta dela com a frequência acumulada da linha anterior. A primeira linha passa diretamente: $N_1 = n_1$. A última frequência acumulada deve coincidir com o total.

Em uma pesquisa sobre o número de animais de estimação que as famílias de uma turma do 8º ano têm, foi elaborada a seguinte tabela incompleta. Complete-a no seu caderno sabendo que o total de alunos é $30$.

Qual porcentagem de alunos tem no máximo um animal de estimação?

Em um campeonato local de videogames, foi registrada a idade dos participantes. Observe a tabela de frequências relativas e responda:

Se no campeonato participou um total de $120$ pessoas:

1. a) Quantos participantes têm exatamente $13$ anos?
2. b) Quantos participantes têm mais de $13$ anos?

Uma loja de roupas jovens quer analisar o número de peças que cada cliente compra. Sabe-se que a frequência relativa acumulada ($H_i$) para a compra de $2$ peças é $0,75$. Se foram analisados $160$ clientes:

1. a) Quantos clientes compraram $2$ ou menos peças?
2. b) Se a frequência absoluta de comprar $1$ única peça é de $60$ clientes, quantos clientes compraram exatamente $2$ peças?

Foi perguntado aos alunos de uma turma quantas horas, em média, passam por dia estudando. Alguns dados da tabela foram perdidos. Complete-a sabendo que o total de alunos é $25$.

Observe a seguinte tabela de frequências que reúne o tamanho de calçado de um grupo de $10$ amigos e responda às perguntas:

1. a) Quantas pessoas usam um tamanho inferior a $38$?
2. b) Qual porcentagem de pessoas usa o tamanho $39$?
3. c) Qual é o tamanho mais comum (o que tem maior frequência absoluta)?

Para um estudo sobre os hábitos de alimentação, foram coletados os seguintes dados qualitativos sobre o tipo de fruta que $25$ crianças comem no lanche em um acampamento:

Maçã, Banana, Pera, Maçã, Laranja, Banana, Maçã, Pera, Banana, Maçã, Laranja, Maçã, Pera, Maçã, Banana, Laranja, Maçã, Banana, Pera, Maçã, Laranja, Maçã, Banana, Maçã, Pera.

Construa uma tabela de frequências completa que inclua: Variável ($x_i$), Frequência absoluta ($n_i$), Frequência relativa ($f_i$) e Porcentagem ($\%$).

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Um grupo de 20 adolescentes anotou quantas horas passa por semana assistindo a séries em plataformas de streaming. Os dados obtidos são os seguintes:

$5, 8, 12, 5, 10, 15, 8, 8, 10, 12, 15, 5, 8, 10, 12, 8, 10, 12, 10, 8$.

Organize estes dados em uma tabela de frequências que inclua:

• Frequência absoluta ($n_i$).

• Frequência relativa ($f_i$).

• Porcentagem ($\%$).

Observe o seguinte gráfico de setores que representa o tipo de música preferido pelos $200$ alunos de uma escola:

Construa a tabela de frequências absolutas e relativas correspondente a este gráfico.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Numa escola secundária perguntou-se aos 50 alunos do 2.º ano do ESO como se deslocam habitualmente para ir às aulas: a pé, de autocarro, de bicicleta/trotinete ou no carro da família. A contagem inicial indica que 28 alunos vão a pé, 11 de autocarro e 7 de bicicleta ou trotinete (os restantes vão no carro da família).

1. a) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo exato com papel e caneta, estima mentalmente que percentagem aproximada de estudantes se desloca a pé. Será inferior a $40\,\%$, estará compreendida entre $50\,\%$ e $60\,\%$, ou superará os $70\,\%$? Justifica numa frase o teu raciocínio mental.
2. b) Verifica: Determina a frequência absoluta dos que vão no carro da família, completa a tabela calculando a frequência relativa ($h_i$) e a percentagem de cada meio de transporte, e verifica numericamente se a tua estimativa inicial estava correta. Por último, confirma que a soma total das frequências relativas dá exatamente 1 e a das percentagens $100\,\%$.

Realizou-se um estudo sobre a distância (em km) que $40$ pessoas percorrem para chegar ao seu local de trabalho. Os dados foram agrupados nos seguintes intervalos: $[0, 4)$, $[4, 8)$, $[8, 12)$ e $[12, 16)$.

Sabendo que as frequências absolutas são $14$, $10$, $8$ e $8$, respectivamente:

1. a) Construa a tabela de frequências incluindo o ponto médio da classe ($c_i$) de cada intervalo.

1. b) Quantas pessoas percorrem $8$ km ou mais?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O professor de Educação Física cronometrou a prova de velocidade de 60 metros planos para os 30 alunos do 2.º ano do ESO. Os registos obtidos oscilam entre $8,72\text{ s}$ e $13,25\text{ s}$ e, devido à precisão do cronómetro digital, praticamente cada estudante tem uma marca distinta com duas casas decimais. Para organizar os dados antes de os analisar, dois alunos debatem que tipo de tabela utilizar:

• Proposta da Lucía: Construir uma tabela de frequências simples com uma linha para cada um dos tempos individuais registados, indicando quantas vezes aparece cada um.

• Proposta do Marcos: Agrupar os tempos em quatro intervalos contínuos de amplitude $1,2\text{ s}$ a começar em $8,5\text{ s}$, e calcular a marca de classe de cada intervalo para a usar como valor representativo.

1. a) Compara ambas as propostas e fundamenta qual é a adequada para este conjunto de dados. Que inconveniente insuperável apresenta a proposta descartada na hora de resumir a informação?
2. b) Escreve os quatro intervalos propostos pelo Marcos na forma $[a; b)$ e calcula a marca de classe de cada um deles. Explica o que significa matematicamente a marca de classe e para que será utilizada depois no estudo estatístico.

Um município quer analisar a idade dos jovens que utilizam a nova ciclovia. Sabe-se que a variável é quantitativa contínua e os dados foram agrupados em cinco intervalos de amplitude constante. Complete a tabela sabendo que:

• A amplitude total de idade é de $10$ a $30$ anos.

• A frequência absoluta do segundo intervalo é o dobro da do primeiro, e a do terceiro é igual à do primeiro.

• $N_3 = 40$

• $f_4 = 0,25$

• $n_5 = 5$

• O total da amostra é $N = 60$.

Indique também os pontos médios dos intervalos ($x_i$) para cada intervalo.

Em um clube de e-sports foram registradas as horas semanais de treino de seus 40 membros. Elas foram organizadas em quatro intervalos de classe: $[0, 4), [4, 8), [8, 12)$ e $[12, 16]$.

Conhecem-se os seguintes dados:

1. As frequências relativas dos dois primeiros intervalos são idênticas: $f_1 = f_2$.

2. A frequência relativa acumulada do segundo intervalo é $F_2 = 0,5$.

3. O último intervalo tem uma frequência absoluta de $n_4 = 4$.

Deduza a tabela completa de frequências absolutas e relativas. Quantos jogadores treinam pelo menos $8$ horas semanais?

Um professor de Educação Física registra o tempo (em segundos) que os seus alunos levam para percorrer $100$ metros rasos. Os resultados são agrupados em uma tabela de frequências com intervalos de $2$ segundos de amplitude.

Sabendo que:

• O primeiro intervalo começa em $12$ segundos.

• $f_1 = 15\%$

• $f_2 = 35\%$

• $N_3 = 28$ alunos.

• $F_3 = 0,7$ (frequência relativa acumulada).

• Os demais alunos se distribuem igualmente pelos dois últimos intervalos até atingir um tempo máximo de $22$ segundos.

Calcule o número total de alunos ($N$) e complete a tabela de frequências absolutas.

O Lucas realizou uma pesquisa com seus 20 colegas de turma sobre o número de livros que leram durante o último trimestre e apresentou os seguintes resultados em uma tabela:

• Para 0 livros: frequência absoluta $n_1 = 4$; frequência absoluta acumulada $N_1 = 4$; frequência relativa $h_1 = 0,20$.

• Para 1 livro: $n_2 = 8$; $N_2 = 12$; $h_2 = 0,40$.

• Para 2 livros: $n_3 = 5$; $N_3 = 17$; $h_3 = 0,25$.

• Para 3 livros: $n_4 = 3$; $N_4 = 20$; $h_4 = 0,30$.

Ao somar a coluna das frequências relativas, o Lucas obtém $0,20 + 0,40 + 0,25 + 0,30 = 1,15$ e afirma em voz alta: «Como a soma das frequências relativas não dá 1, a pesquisa está errada e temos de perguntar de novo a todos».

1. a) Localize o erro numérico concreto que o Lucas cometeu no cálculo da tabela.
2. b) Explique por que a conclusão dele sobre a pesquisa é errada e escreva os valores corrigidos das frequências relativas ($h_i$) e as suas porcentagens correspondentes.

Em um ateliê municipal de robótica participam $N = 40$ alunos cujas idades estão compreendidas entre 12 e 15 anos. Ao passar os dados para o computador, várias células da tabela de frequências foram apagadas, mas ainda se conservam as seguintes informações:

• A frequência relativa acumulada para os alunos de 13 anos ou menos é $H_2 = 0,65$.

• A frequência absoluta acumulada para os alunos de 14 anos ou menos é $N_3 = 36$.

• O número de participantes de 12 anos é exatamente o dobro do de participantes de 15 anos ($n_1 = 2 \cdot n_4$).

Reconstrua, de forma fundamentada, a tabela de frequências completa, determinando, para cada uma das quatro idades ($12, 13, 14$ e $15$ anos), a frequência absoluta ($n_i$), a frequência absoluta acumulada ($N_i$) e a frequência relativa ($h_i$). Mostre de forma clara as operações e deduções que você realiza para encontrar cada valor desconhecido.

Em um estudo sobre o consumo de dados móveis de um grupo de adolescentes, começou-se a elaborar a seguinte tabela de frequências. No entanto, alguns dados foram perdidos. Sabendo que o tamanho da amostra é de $N = 80$ indivíduos e que a frequência relativa acumulada do terceiro intervalo é $F_3 = 0,825$, complete a tabela de frequência absoluta ($n_i$), relativa ($f_i$), absoluta acumulada ($N_i$) e relativa acumulada ($F_i$).

A partir do polígono de frequências acumuladas das notas de um teste de matemática, reconstrua a tabela de frequências absolutas. Sabendo que o número total de alunos é $30$, determine quantos alunos obtiveram uma nota maior ou igual a $5$ mas menor que $9$.

Nota: Os pontos do gráfico são $(1, 3), (3, 7), (5, 15), (7, 24), (9, 28), (10, 30)$, onde a primeira coordenada é a nota e a segunda a frequência absoluta acumulada $N_i$.

Analise a seguinte tabela de frequências correspondente ao número de faltas de uma turma de $25$ alunos durante um mês. Encontre os dois erros de coerência lógica que existem nas colunas de frequências acumuladas ($N_i$ e $F_i$) e justifique por que são erros com base nas propriedades das tabelas de frequências.

Num estudo sobre os hábitos de leitura em um município, registrou-se o tempo semanal (em horas) que os usuários da biblioteca pública passam lendo. Os dados foram agrupados em quatro intervalos de igual amplitude: $[0; 2)$, $[2; 4)$, $[4; 6)$ e $[6; 8)$. Após uma falha no computador, o número total de entrevistados ($N$) foi apagado do relatório, mas as seguintes informações foram mantidas:

• A frequência absoluta acumulada do terceiro intervalo é $N_3 = 54$.

• No último intervalo ($[6; 8)$) estão registradas exatamente 6 pessoas.

• A frequência relativa do segundo intervalo é $h_2 = 0,35$.

• No primeiro intervalo há o dobro de pessoas do que no terceiro ($n_1 = 2 \cdot n_3$).

1. a) Deduza de forma fundamentada o tamanho total da amostra ($N$) e calcule a frequência absoluta ($n_i$) de cada um dos quatro intervalos.
2. b) Um vereador lê os resultados do relatório e afirma: «Como o ponto médio da classe do intervalo $[2; 4)$ é $3$ horas e nele há $n_2$ pessoas, se somarmos os tempos reais de leitura de todas as pessoas desse grupo obteremos exatamente $3 \cdot n_2$ horas». Explique detalhadamente o erro conceitual que o vereador comete e construa um exemplo numérico concreto que demonstre que a afirmação dele não precisa se cumprir.

Realizou-se uma pesquisa sobre o número de livros lidos no último ano com um grupo de pessoas. Sabe-se que a moda é $3$ livros e que a média aritmética é exatamente $2,5$ livros. Com os dados da tabela incompleta, calcule os valores de $x$ e $y$ (frequências absolutas).

Foi realizada uma pesquisa com os alunos de uma escola sobre seu esporte favorito. Os resultados são mostrados nesta tabela de dupla entrada, mas faltam alguns dados. Complete-a.

A partir da tabela, calcule a porcentagem de alunos (total) que prefere basquete.

Deseja-se realizar um estudo sobre o uso de redes sociais. Para isso, pergunta-se a uma amostra de alunos do 8º ano sobre sua rede favorita (TikTok ou Instagram) e se publicam conteúdo diariamente (Sim ou Não).

Complete a tabela sabendo que:

• Foram entrevistados $80$ alunos no total.

• $45$ alunos gostam mais do Instagram.

• Dos que preferem o TikTok, $15$ não publicam diariamente.

• No total, $50$ alunos da amostra publicam conteúdo diariamente.

Qual porcentagem dos alunos que preferem o Instagram publica conteúdo diariamente?

Realizou-se um inquérito sobre o uso de três plataformas de streaming (A, B e C) entre os alunos do 2.º ano do ESO. Apresenta-se esta tabela de dupla entrada incompleta que relaciona a plataforma preferida com o dispositivo principal de utilização.

Sabendo que o número total de alunos pesquisados é $69$, complete a tabela e calcule qual porcentagem do total de alunos usa principalmente o Smartphone para assistir à Plataforma B.

A partir de um estudo inspirado em dados do Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre estilos de vida na adolescência, coletou-se informação de uma amostra de 120 estudantes do Ensino Médio. Cruzam-se duas variáveis em uma tabela de dupla entrada: «Prática de esporte semanal» (Sim / Não) e «Tempo diário dedicado ao lazer com telas» (Baixo: menos de 2 horas; Médio: de 2 a 4 horas; Alto: mais de 4 horas). Conhecem-se os seguintes dados:

• $60\,\%$ dos entrevistados afirma que pratica esporte semanalmente.

• Dos estudantes que praticam esporte, 24 têm um consumo baixo de telas e 36 têm um consumo médio.

• Entre os que não praticam esporte, exatamente 12 têm um consumo baixo de telas e o número dos que têm um consumo alto é o triplo do número dos que têm um consumo médio.

1. a) Modele estes dados construindo uma tabela de dupla entrada completa com as frequências absolutas, indicando com clareza as células interiores, os totais de linha e os totais de coluna.
2. b) Calcule que porcentagem dos esportistas apresenta um consumo alto de telas e que porcentagem dos não esportistas apresenta um consumo alto de telas.
3. c) Considerando as duas porcentagens calculadas, pode-se deduzir que nesta amostra existe uma relação entre não praticar esporte e fazer um uso intenso de telas? Justifique sua conclusão comparando ambas as proporções.