Exercícios: Razão

Em uma turma do 7º ano, há $12$ alunos que jogam basquete e $18$ alunos que jogam futebol. Escreva a razão entre o número de jogadores de basquete e o de futebol. Explique com as suas palavras o que significa o resultado obtido após simplificar a fração.

Observe o seguinte desenho que representa as frutas em uma fruteira. Calcule a razão entre o número de maçãs (laranja) e o número de peras (branco suave).

Para preparar uma mistura de tinta de cor rosa, um artista utiliza $3$ latas de tinta branca para cada $2$ latas de tinta vermelha.

• Escreva a razão entre a tinta branca e a vermelha.

• Se o artista decidisse usar $6$ latas de tinta vermelha, quantas latas de tinta branca deveria usar para manter o mesmo tom de rosa?

Um carro de controle remoto percorre uma distância de $45$ metros em $15$ segundos. Calcule a razão entre a distância e o tempo. Que grandeza física representa esse resultado?

Em um videogame de aventura, o seu personagem conseguiu $24$ poções de vida após abrir $6$ baús mágicos. Calcule a razão entre o número de poções e o número de baús. Quantas poções de vida há, em média, em cada baú?

Um pacote de $500$ gramas de cereais custa $3,50$ reais. Expresse a razão entre o preço e o peso em gramas. Depois, calcule o valor decimal dessa razão para saber quanto custa $1$ único grama de cereais.

Observe estas duas misturas de água com xarope de morango. A mistura $A$ tem $2$ copos de xarope para cada $5$ copos de água. A mistura $B$ tem $4$ copos de xarope para cada $10$ copos de água.

• Escreva a razão de cada mistura.

• Essas misturas são proporcionais? Ou seja, terão o mesmo sabor?

Marta leu $60$ páginas de um romance em $2$ horas, enquanto o irmão dela, Lucas, leu $45$ páginas em $1,5$ horas.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Marta.

• Calcule a razão entre páginas e horas para Lucas.

• Os dois leem na mesma velocidade? Justifique a sua resposta.

O Lucas está construindo uma maquete de um ônibus urbano da empresa municipal de transporte de São Paulo. O ônibus real mede $12\text{ m}$ de comprimento e a sua maquete mede $15\text{ cm}$. Para indicar a escala na ficha técnica do projeto, o Lucas escreve o seguinte:

'A escala é $\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$, o que significa que a maquete é $1,25$ vezes maior do que o ônibus'.

1. a) Explique qual é o duplo erro que o Lucas cometeu (um relativo às unidades de medida e outro à interpretação da razão resultante).
2. b) Corrija o raciocínio e calcule a escala numérica correta da maquete, expressando-a no formato habitual $1:n$.

Na horta de uma escola, a razão simplificada entre o número de pés de tomate e o número de pés de alface plantados é $\dfrac{3}{5}$. Além disso, o professor de Biologia informa a vocês que o número total de plantas (tomates mais alfaces) é maior do que $30$ e menor do que $50$.

1. a) Quantos pés de tomate e quantos de alface pode haver exatamente? Escreva todos os pares de soluções possíveis que cumpram essas condições.
2. b) Justifique por que seria impossível haver nessa horta um total de $35$ plantas mantendo essa mesma razão.

Em um videogame de estratégia, para fabricar uma poção de "Supervelocidade", o alquimista utiliza $150\text{ mg}$ de pó de estrela para cada $250\text{ ml}$ de água mágica.

1. a) Expresse a razão entre o pó de estrela e a água mágica. Simplifique o resultado e interprete o que significa esse valor.
2. b) Calcule a razão inversa (água mágica em relação ao pó de estrela) e explique que informação ela nos dá.

Uma influencer de viagens revisou as suas estatísticas do Instagram. Na sua última publicação, obteve $4.500$ "likes" após ter recebido um total de $60.000$ visualizações.

1. a) Calcule a razão entre o número de "likes" e o número de visualizações.
2. b) Se na foto seguinte a razão é de $0,1$, qual das duas fotos teve mais sucesso proporcionalmente entre os seus seguidores?

Em um treino de basquete, Júlia acertou $18$ arremessos de três pontos em $30$ lançamentos realizados, enquanto o seu colega Marcos acertou $14$ arremessos de três pontos em $20$ lançamentos.

1. a) Expresse a razão de acerto de cada jogador como um número decimal.
2. b) Qual dos dois tem uma melhor razão de acerto? Justifique a sua resposta comparando ambos os valores.

Para preparar uma cor laranja muito especial, um grafiteiro mistura $1,2\text{ litros}$ de tinta vermelha com $0,8\text{ litros}$ de tinta amarela.

1. a) Escreva a razão entre a quantidade de tinta vermelha e amarela. Expresse-a como uma fração irredutível.
2. b) Se quiser manter o mesmo tom, mas só tiver $0,5\text{ litros}$ de tinta amarela, que quantidade de tinta vermelha deverá utilizar? (Utilize a razão obtida no item anterior).

Um beija-flor consegue bater as asas cerca de $4.800$ vezes por minuto. Por outro lado, um grifo bate-as cerca de $120$ vezes por minuto.

1. a) Calcule a razão entre os batimentos de asas do beija-flor e os do grifo. O que significa esse número?

1. b) Se compararmos o peso do beija-flor ($3\text{ g}$) com o seu comprimento ($10\text{ cm}$), calcule a razão peso/comprimento. Que unidades teria essa razão?

Em um mapa de uma ilha do tesouro de um filme, a distância entre o "Porto do Pirata" e a "Montanha do Crânio" é de $15\text{ cm}$. Na realidade, essa distância é de $4,5\text{ km}$.

1. a) Calcule a razão entre a medida no mapa e a medida real (lembre-se de converter ambas para a mesma unidade, por exemplo, centímetros).
2. b) Que nome recebe essa razão especial utilizada nos mapas?

Na sua turma do 7º ano há um total de $32$ alunos. Sabe-se que para cada $3$ alunos que preferem as aulas de Educação Física, há $5$ alunos que preferem as de Artes Visuais.

1. a) Escreva a razão entre os que preferem Educação Física e os que preferem Artes Visuais.
2. b) Se essas são as duas únicas opções e todos escolheram uma, quantos alunos preferem cada disciplina? (Dica: observe que a soma dos termos da razão simplificada é $3 + 5 = 8$).

Uma loja de doces oferece dois tipos de pacotes de balas de goma:

• Pacote A: contém $250\text{ g}$ e custa $\text{R\$}\ 3,50$.

• Pacote B: contém $400\text{ g}$ e custa $\text{R\$}\ 5,20$.

1. a) Calcule a razão preço/peso para cada pacote.
2. b) Qual dos dois pacotes é mais econômico? Justifique a sua resposta utilizando os valores obtidos.

No final de uma rodada da Liga Endesa de basquete, a comissão técnica compara o desempenho de duas equipes rivais:

• A equipe A ganhou $17$ dos $28$ jogos disputados.

• A equipe B ganhou $13$ dos $24$ jogos disputados.

1. a) Antes de fazer divisões exatas, estime se ambas as equipes ganharam mais ou menos da metade das suas partidas (referência $0,5$). Raciocine se essa primeira estimativa é suficiente para garantir com certeza qual das duas tem melhor desempenho.
2. b) Verifique a sua estimativa calculando a razão de vitórias por jogo disputado para cada equipe como número decimal arredondado aos centésimos. Qual é mais eficaz?
3. c) Se uma terceira equipe tem uma razão de vitórias de $0,75$ tendo disputado $20$ jogos, calcule quantos jogos ela ganhou e explique que significado tem esse decimal em relação ao total.

A partir de dados de dois censos municipais (IBGE), analisamos a estrutura demográfica de dois municípios de características muito diferentes:

• Em Aldeavieja (município rural), residem $60$ menores de 18 anos e $180$ pessoas com mais de 65 anos.

• Em Valdenebro (município residencial), residem $2400$ menores de 18 anos e $1600$ pessoas com mais de 65 anos.

1. a) Modele a 'razão de jovens para idosos' (número de menores dividido pelo número de idosos) de cada município e expresse-a como uma fração irredutível.
2. b) Interprete com suas palavras o significado de cada uma dessas duas frações irredutíveis (por exemplo: 'para cada... pessoas idosas há... jovens').
3. c) Se em Aldeavieja fossem registrados no município $30$ novos menores de 18 anos (sem alterar o número de idosos), ela alcançaria a razão de jovens de Valdenebro? Justifique sua resposta comparando as duas razões.

No mundo dos videogames competitivos, o desempenho de um servidor é medido pela razão entre o número de jogadores conectados e a largura de banda consumida (em Mbps). O servidor de "BattleArena" tem $120$ jogadores e consome $450$ Mbps. Por outro lado, o servidor de "GalaxyQuest" tem $85$ jogadores e consome $320$ Mbps. Calcule a razão de consumo por jogador em ambos os servidores e determine qual dos dois é mais eficiente (o que consome menos Mbps por cada jogador). Expresse as razões como números decimais.

Uma artista de arte urbana está criando uma nova cor "Verde Ciber" misturando tinta azul e tinta amarela. Na sua primeira lata, misturou $0,75$ litros de azul com $1,2$ litros de amarelo. Ao ficar sem tinta, decide preparar uma segunda mistura em uma lata maior usando $2,5$ litros de azul. Quantos litros de amarelo deve adicionar para que a razão entre o azul e o amarelo seja exatamente a mesma da primeira mistura? Expresse a razão inicial como uma fração irredutível.

A "taxa de engajamento" de um influencer é calculada comparando o número de interações (curtidas e comentários) com o seu número total de seguidores.

• O usuário A tem $12.500$ seguidores e obteve $625$ interações na sua última foto.

• O usuário B tem $45.000$ seguidores e obteve $2.160$ interações.

Calcule a razão de interações por seguidor para cada um. Qual dos dois tem uma audiência proporcionalmente mais ativa? Expresse o resultado como um número decimal e explique o que significa esse valor neste contexto.

Num treino de basquete, a Ana encestou $18$ lançamentos em $25$ tentativas, enquanto o Marcos encestou $24$ em $32$ tentativas.

1. a) Escreva a razão de lançamentos convertidos para cada jogador.
2. b) Calcule o valor decimal de cada razão.
3. c) Se ambos mantiverem a sua eficácia e lançarem $100$ vezes, quantas cestas marcará cada um? Essas razões são equivalentes? Justifique a sua resposta por meio do produto dos extremos e dos meios.

A razão entre o comprimento da base e a altura das telas dos cinemas antigos era de $4:3$ (formato quase quadrado), enquanto nos cinemas modernos a razão costuma ser de $21:9$ (formato panorâmico).

Se a tela de um cinema moderno tem uma altura de $6,3$ metros, quanto mede a sua base? Qual seria a base de uma tela antiga com essa mesma altura de $6,3$ metros? Compare ambos os resultados e explique qual das duas telas é mais "alongada".

Um carro híbrido consome $4,2$ litros de gasolina para percorrer $100$ km, enquanto uma motocicleta consome $1,5$ litros para percorrer $40$ km.

1. a) Calcule a razão de consumo (litros por cada quilômetro) de cada veículo.
2. b) Qual dos dois veículos consome menos proporcionalmente?
3. c) Se a razão entre o consumo e a distância de um terceiro veículo é de $0,052$, quantos litros gastará em uma viagem de $250$ km?

Em um estudo sobre nutrição, analisa-se a razão entre a quantidade de açúcar e a massa total de dois tipos de cereais.

• Os cereais "Energy" têm $12$ g de açúcar em uma porção de $40$ g.

• Os cereais "Saúde" têm $18$ g de açúcar em uma caixa de $75$ g.

Calcule a razão de açúcar por grama de produto para ambos. Qual é a porcentagem de açúcar de cada um? (Lembre-se de que para converter uma razão em porcentagem você pode multiplicar o seu valor decimal por 100). Qual dos dois escolheria se quisesse consumir menos açúcar proporcionalmente?

A densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a superfície que ocupam (hab/km²).

• A cidade X tem uma população de $1.250.000$ pessoas e uma superfície de $450,5$ km².

• A cidade Y tem $840.000$ habitantes e ocupa $120,2$ km².

Calcule a densidade demográfica de ambas as cidades arredondando para as unidades. Se a cidade X triplicasse a população, mas mantivesse a superfície, qual seria a nova densidade? Continuaria sendo menos densa que a cidade Y?

Você precisa verificar se as razões $\dfrac{18}{24}$ e $\dfrac{27}{36}$ formam uma proporção. Na aula, são propostos três caminhos distintos:

• Método 1 (Camila): Verificar se o produto dos extremos é igual ao produto dos meios ($18 \cdot 36$ em comparação com $24 \cdot 27$).

• Método 2 (Bruno): Simplificar ambas as frações até a sua fração irredutível e observar se coincidem.

• Método 3 (Daniel): Dividir o numerador pelo denominador em ambas as razões e comparar os números decimais obtidos.

1. a) Aplique o Método 1 e o Método 2 para determinar se formam ou não uma proporção.
2. b) Analise as vantagens e desvantagens de cada um dos três métodos. Se os números fossem de quatro algarismos (por exemplo, $\dfrac{3216}{4824}$ e $\dfrac{2144}{3216}$) e você não tivesse calculadora, qual dos três métodos descartaria primeiro e qual escolheria como mais eficiente e seguro? Justifique a sua escolha.

Na aula de Artes, vocês preparam uma tonalidade personalizada de tinta verde misturando latas de tinta azul e amarela. No começo, a razão entre latas de azul e latas de amarelo é $\dfrac{2}{3}$, tendo sido utilizadas $6$ latas de tinta azul.

1. a) Determine quantas latas de tinta amarela foram utilizadas nessa mistura inicial.
2. b) Para clarear o tom, a professora indica que a nova razão (azul em relação ao amarelo) deve ser exatamente $\dfrac{1}{2}$. Se vocês só dispuserem de latas adicionais de tinta amarela (a quantidade de azul não se altera), quantas latas amarelas vocês devem adicionar à mistura original?
3. c) Um colega afirma: 'Para passar da razão $\dfrac{2}{3}$ para a razão $\dfrac{1}{2}$, a diferença entre ambas é $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, por isso basta adicionar a sexta parte das latas que já havia'. Explique detalhadamente por que esse raciocínio é falso e que erro conceitual ele comete ao tratar uma razão como se fosse uma quantidade aditiva.