O conjunto dos números inteiros

Na vida cotidiana, utilizamos os números inteiros para expressar situações opostas. Associe um número inteiro (positivo ou negativo) a cada uma das seguintes situações:

1. a) O termômetro da rua marca $4$ graus abaixo de zero.
2. b) Você tem uma dívida de $15$ reais com um amigo.
3. c) Um mergulhador se encontra a $20$ metros de profundidade.
4. d) Um avião voa a uma altura de $8.500$ metros.
5. e) Você ganhou $50$ pontos em um nível do seu videogame favorito.
6. f) O estacionamento do shopping center fica no terceiro subsolo.

Dada a seguinte lista de números, classifique-os indicando quais pertencem ao conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$) e quais são números inteiros ($\mathbb{Z}$), mas não naturais:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Um arqueólogo encontra uma moeda em um sítio arqueológico. Ao investigar, descobre que ela foi cunhada no ano $45$ a.C. Se o arqueólogo vive no ano $2024$ d.C., responda:

1. a) Que número inteiro você atribuiria a cada data?

1. b) Qual é o simétrico do ano de cunhagem da moeda?

1. c) Represente de forma aproximada, em uma linha do tempo que você desenhará no seu caderno, o ano de cunhagem da moeda e o ano em que vive o arqueólogo. Marque o ano $0$ e indique que lado corresponde aos anos a.C. e qual aos d.C.

O conceito de valor absoluto representa a distância de um número ao zero. Calcule os seguintes valores absolutos:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

O oposto de um número inteiro é aquele que tem o mesmo valor absoluto, mas sinal diferente. Escreva o oposto dos seguintes números:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Escreva os números inteiros que cumprem simultaneamente as seguintes três condições:

1. Seu valor absoluto é maior que $2$ e menor que $6$.

2. É um número negativo.

3. Ao somar o seu oposto a ele, o resultado é $0$.

Represente os números encontrados em uma reta numérica.

Ordene os seguintes elementos matemáticos do menor para o maior, calculando previamente o valor numérico de cada um:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Compare os seguintes pares de números inteiros utilizando os símbolos maior que ($>$) ou menor que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

Ordene os seguintes números inteiros do menor para o maior, utilizando o símbolo $<$ entre eles:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Em uma estação de esqui foram registradas as seguintes temperaturas mínimas durante quatro dias. Ordene-as da menor para a maior utilizando o símbolo $<$:

• Segunda-feira: $-6$ $^\circ C$

• Terça-feira: $+2$ $^\circ C$

• Quarta-feira: $-9$ $^\circ C$

• Quinta-feira: $0$ $^\circ C$

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou durante uma madrugada de inverno as seguintes temperaturas mínimas em quatro estações meteorológicas do Brasil: Vacaria ($-11\ ^\circ\text{C}$), Urupema ($-7\ ^\circ\text{C}$), Curitiba ($-4\ ^\circ\text{C}$) e Caxias do Sul ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modele esta situação ordenando as quatro localidades da menor para a maior temperatura, utilizando os símbolos matemáticos adequados ($<$ ou $>$).
2. b) Qual estação registrou a temperatura com maior distância em relação ao ponto de congelamento ($0\ ^\circ\text{C}$)? Justifique a sua resposta utilizando formalmente o conceito de valor absoluto.
3. c) Se representarmos em um plano cartesiano o ponto $P = (T_{\text{Albacete}}, T_{\text{Reinosa}})$, determine em que quadrante ele se encontra e interprete o que significa o sinal de cada uma das suas coordenadas.

No laboratório de física, estão sendo analisadas as temperaturas de congelamento de vários líquidos. Os resultados são:

• Líquido P: $-8$ ºC

• Líquido Q: $-15$ ºC

• Líquido R: $-3$ ºC

• Líquido S: $-12$ ºC

Ordene os líquidos da menor para a maior temperatura utilizando o símbolo $<$ e explique qual deles tem o maior valor absoluto.

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou um contraexemplo em cada caso:

1. a) Se $a$ e $b$ são dois números inteiros negativos e $|a| < |b|$, então $a > b$.
2. b) O valor absoluto de um número inteiro é sempre maior do que o próprio número.
3. c) A distância entre qualquer número inteiro e o seu oposto é sempre um número par.
4. d) Se ao oposto de um número somarmos o seu valor absoluto, o resultado é sempre zero.

Identifique as coordenadas cartesianas $(x, y)$ dos pontos $P$ e $Q$ representados na malha a seguir. Lembre-se de que o primeiro número é o eixo horizontal (abscissas) e o segundo é o vertical (ordenadas).

Em um jogo de estratégia, um barco pirata se move por um mapa de coordenadas. A posição inicial dele é o ponto $P(-3, 2)$.

1. a) Se o barco se desloca $5$ unidades para a direita, qual é a nova coordenada das abscissas ($x$)?

1. b) Se, a partir dessa nova posição, ele desce $4$ unidades, qual é a coordenada das ordenadas ($y$)?

1. c) Represente no seu caderno o ponto inicial e o ponto final (o do barco depois dos dois deslocamentos) em um sistema de eixos coordenados.

No seguinte plano cartesiano, um robô parte do ponto $P(-2, 3)$. Realiza três movimentos consecutivos:

1. Desloca-se $5$ unidades para a direita.

2. Desloca-se $7$ unidades para baixo.

3. Desloca-se $4$ unidades para a esquerda.

Em que quadrante o robô termina? Faça isso no seu caderno. Indique as coordenadas finais do ponto e calcule o valor absoluto da soma da sua nova abscissa ($x$) e da sua nova ordenada ($y$).