Ângulos, comprimentos e áreas

Um designer está criando um mosaico para o piso de uma praça utilizando ladrilhos com formato de hexágono regular. Calcule quanto mede a soma de todos os ângulos internos do hexágono e qual é o valor de cada um dos seus ângulos internos.

Nas obras de reforma de uma praça de pedestres em Campinas serão colocadas lajotas de pedra com a forma de um polígono regular. O arquiteto da prefeitura especificou nas plantas que cada um dos ângulos internos dessas lajotas deve medir exatamente $135^\circ$.

1. a) Apresente uma equação a partir da fórmula que relaciona o número de lados $n$ de um polígono regular com a medida dos seus ângulos internos e resolva-a para descobrir de qual polígono regular se trata.
2. b) Os operários querem colocar essas lajotas no chão unindo-as somente pelas bordas. É possível pavimentar a praça utilizando exclusivamente esse tipo de lajotas sem deixar nenhum espaço vazio nem sobreposições? Justifique a sua resposta analisando quantos graus devem somar os ângulos que coincidem em um mesmo vértice.

Uma empresa de design está criando um novo logotipo baseado em um hexágono regular de $6$ cm de lado. Dentro do hexágono, traçaram as diagonais que conectam vértices alternados, formando uma "estrela de Davi" ou hexagrama. Calcule o valor dos ângulos internos dos triângulos que formam a estrela e determine a área da parte sombreada (a estrela central) sabendo que a apótema do hexágono original é aproximadamente $5,2$ cm.

Observe a seguinte circunferência de centro $O$. Se o ângulo central $\angle AOB$ mede $80^\circ$, calcule o valor do ângulo inscrito $\angle ACB$ que abrange o mesmo arco.

Estamos desenhando um parquinho com uma área de brincadeiras circular. Na planta, desenhamos um triângulo inscrito na circunferência da área de brincadeiras de modo que um dos lados do triângulo coincide exatamente com o diâmetro da circunferência, que mede $10$ metros. Se outro dos lados mede $6$ metros:

1. a) Justifique de que tipo é o triângulo quanto aos seus ângulos.

1. b) Calcule a área da região da área de brincadeiras que fica fora do triângulo (a parte sombreada da figura).

Uma oficina de restauro de Salvador deve reabilitar uma rosácea circular de vidro de $2\text{ m}$ de diâmetro ($1\text{ m}$ de raio). No desenho original, uma moldura metálica reta une dois pontos $A$ e $B$ da circunferência de modo que o ângulo central que abrange esse arco mede exatamente $120^\circ$. Para fixar a estrutura, deve-se colocar uma haste a partir de um ponto qualquer $P$, situado sobre o arco maior $AB$, até os extremos $A$ e $B$, formando o triângulo inscrito $APB$.

1. a) Utilize a propriedade que relaciona o ângulo inscrito com o ângulo central que abrange o mesmo arco para demonstrar qual é o valor exato do ângulo $\widehat{APB}$. Esse ângulo varia se movermos o ponto $P$ ao longo desse arco maior? Justifique o seu raciocínio.
2. b) Trace mentalmente os raios $OA$ e $OB$ que vão do centro $O$ aos extremos da corda. Decomponha o triângulo isósceles $OAB$ em dois triângulos retângulos traçando a altura a partir do centro até a corda e aplique o teorema de Pitágoras (aproveitando o fato de os ângulos agudos medirem $30^\circ$ e $60^\circ$) para calcular a distância do centro $O$ à corda e o comprimento exato da corda $AB$.
3. c) Calcule a área do segmento circular menor delimitado pela corda $AB$ e pelo arco menor $AB$ (considere $\pi \approx 3,14$). Explique detalhadamente a subtração de áreas que permite obter essa superfície.

A prefeitura quer cercar um parque retangular que mede $40$ metros de comprimento e $30$ metros de largura. Além disso, quer construir um caminho em linha reta que cruze o parque de um canto ao oposto (a diagonal). Utilize o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento desse caminho.

Para medir a altura em que se encontra um poste de iluminação quebrado em um parque industrial de Campinas, o Marcos apoia uma escada de mão de $5\text{ m}$ de comprimento no topo do poste, ficando o pé da escada a $3\text{ m}$ da base do poste, no chão horizontal. Para calcular a altura $h$ do poste, o Marcos escreve no caderno dele:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Explique, sem realizar operações adicionais, por que o resultado numérico obtido pelo Marcos é fisicamente impossível nesse contexto.
2. b) Identifique o erro conceitual que o Marcos cometeu ao aplicar o teorema de Pitágoras.
3. c) Corrija o procedimento e calcule a altura real do poste.

Um operário de manutenção quer instalar uma câmera de segurança no canto de um armazém retangular. Para isso, apoia uma escada de $5$ metros de comprimento de modo que o pé da mesma dista exatamente $1,4$ metros da parede. No entanto, percebe que para ter o ângulo de visão correto, precisa que a câmera esteja $60$ cm mais alta. Que comprimento mínimo deveria ter a nova escada se mantiver o pé no mesmo ponto?

Um mastro de sinalização de $8$ metros de altura projeta uma sombra de $6$ metros sobre o solo às 11:00 da manhã. Nesse mesmo instante, a sombra de uma torre de refrigeração próxima mede $45$ metros.

1. Utilize a semelhança de triângulos para calcular a altura da torre.

2. Se o cabo de segurança que vai do topo do mastro de sinalização até a extremidade da sua sombra estivesse esticado, qual seria o seu comprimento?

Um drone de vigilância tem um ângulo de visão de $90^\circ$. Se o drone está a uma altura de $90\text{ m}$ sobre o ponto central de um terreno retangular, a distância do drone até qualquer vértice do terreno é de $150\text{ m}$ e, a partir da sua posição, os vértices de um dos lados maiores do terreno são vistos sob esse ângulo de $90^\circ$, calcule o comprimento do terreno. Além disso, determine a área total do terreno retangular.

Deseja-se construir uma claraboia no teto de uma sala com a forma de um triângulo escaleno. Os lados do triângulo medem $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ e $15\text{ dm}$. O vidro utilizado tem um custo de $\text{R\$}\ 45$ por cada decímetro quadrado. Calcule a altura do triângulo relativa ao lado de $14\text{ dm}$ (utilizando um sistema de equações derivado do teorema de Pitágoras) e o custo total do vidro necessário para a claraboia.

Uma empresa de sinalização está fabricando uma placa de "Cuidado" com formato de losango. Se as diagonais do losango medem $16$ cm e $12$ cm respectivamente, calcule a área da placa de metal necessária para fabricá-la.

Calcule a área de um pentágono regular sabendo que o seu lado mede $10$ cm e o seu apótema mede aproximadamente $6,88$ cm.

Um arquiteto projetou uma janela para um centro cultural com a forma de um trapézio isósceles. A base maior mede $2,8$ metros, a base menor mede $1,6$ metros e os lados não paralelos medem $1,2$ metros cada um. Para o orçamento, precisa calcular a área total do vidro e a soma dos ângulos internos da janela para encomendar a moldura metálica. Qual é a área da janela?

No desenho de uma nova rotatória em Curitiba projeta-se uma área ajardinada central com a forma de um hexágono regular de $10\text{ m}$ de lado, a qual fica inscrita dentro de um meio-fio circular externo cujos vértices coincidem com os do hexágono.

1. a) Antes de fazer cálculos detalhados, estime mentalmente que porcentagem da área total do círculo a área ajardinada hexagonal ocupará aproximadamente (por volta de $50\,\%$, de $80\,\%$ ou superior a $95\,\%$?). Justifique sua intuição comparando visualmente as duas figuras geométricas.
2. b) Calcule o valor da área do círculo circunscrito e a área do hexágono regular (determine primeiro o apótema dele aplicando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos equiláteros que o formam). Considere $\pi \approx 3,14$.
3. c) Obtenha a porcentagem real de superfície que o hexágono ocupa em relação ao círculo e compare-a com a sua estimativa inicial para avaliar se a sua previsão foi razoável.

Um arquiteto está projetando uma grande janela para um museu com uma forma geométrica particular. O projeto consiste em um triângulo isósceles cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ e cuja base mede $12\text{ m}$. No interior, deseja colocar um painel solar retangular cuja base esteja apoiada sobre a base do triângulo e cujos dois vértices superiores toquem os lados iguais do triângulo. Se o arquiteto quer que a altura do retângulo seja exatamente a metade da sua base, calcule as dimensões do retângulo e a área da região do triângulo que fica sem cobrir pelo painel solar.

Para fabricar uma tremonha de descarga agrícola, uma oficina deve cortar uma chapa de aço com a forma de um trapézio isósceles cujas bases medem $30\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, e cujos lados oblíquos medem $17\text{ cm}$ cada um. Dois alunos do 3.º de ESO propõem formas distintas de encontrar a área:

• Estratégia da Lucía: Traçar as duas alturas a partir dos extremos da base menor para decompor o trapézio num retângulo central e dois triângulos retângulos iguais nos extremos; calcular a altura com o teorema de Pitágoras e somar as três áreas parciais.

• Estratégia do Mateo: Prolongar os lados oblíquos para cima até que se cruzem num ponto exterior, formando um triângulo isósceles grande que engloba o trapézio e um triângulo isósceles pequeno superior; calcular as alturas de ambos os triângulos por semelhança, calcular as suas áreas e subtraí-las.

1. a) Desenvolve por completo a estratégia da Lucía e encontra a área do trapézio.
2. b) Analisa a proposta do Mateo: é geometricamente válida? Que conhecimentos adicionais exige que a tornam num caminho desnecessariamente complexo em relação ao da Lucía?
3. c) Demonstra como o raciocínio de decomposição da Lucía permite justificar de forma geral a fórmula clássica da área de qualquer trapézio em que os pés dessas alturas caiam sobre a base maior, $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$, agrupando algebricamente o retângulo e os dois triângulos.

Em uma pizzaria, uma pizza familiar tem um diâmetro de $40$ cm. Se cortarmos uma fatia que forma um setor circular com um ângulo central de $60^\circ$, calcule a área desse pedaço de pizza. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Um centro esportivo tem uma piscina com um formato peculiar: um retângulo de $20$ m por $10$ m e, em um dos seus lados menores, foi adicionada uma área semicircular para crianças. Calcule o perímetro total da piscina. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Em uma praça da sua cidade existe um ladrilho gigante com formato de coroa circular. O raio do círculo externo é de $4$ metros. Sabe-se que a área da parte transitável (a coroa em si) é de $7\pi$ $m^2$. Calcule o raio do círculo interno e determine o comprimento da cerca circular que seria necessário colocar para cercar apenas o buraco interno.

Calcule a área de um segmento circular de $90^\circ$ de abertura pertencente a uma circunferência de raio $12$ cm.

Um terreno tem a forma de um paralelogramo com uma base de $15$ metros e uma altura de $8$ metros. Em um dos cantos, o proprietário instalou um aspersor que irriga em um ângulo de $60^\circ$ com um alcance de $6$ metros.

1. Calcule a área total do terreno.

2. Calcule a área do terreno que fica sem irrigar.

Uma torre de vigilância florestal do serviço de emergência está situada no topo de um morro na região da Serra de Cuenca. A torre dispõe de um alcance visual direto de $12\text{ km}$ ao redor em todas as direções ($360^\circ$). No entanto, uma formação rochosa situada a noroeste bloqueia completamente a visão em um setor angular de $60^\circ$. O plano de prevenção classifica a zona que é visível a partir da torre em duas categorias:

• Zona de intervenção rápida: a uma distância menor ou igual a $4\text{ km}$ da torre.

• Zona de alerta regional: a uma distância superior a $4\text{ km}$ e até o alcance máximo de $12\text{ km}$.

1. a) Modele a situação calculando a superfície total de floresta (em $\text{km}^2$) que os vigias conseguem supervisionar efetivamente a partir da torre (considere $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcule a área correspondente à «zona de alerta regional» visível.
3. c) Se os serviços de emergência detectarem uma coluna de fumaça na zona visível, é mais provável que o foco se encontre na zona de intervenção rápida ou na de alerta regional, supondo que o risco se distribui de forma homogênea pelo terreno? Justifique sua resposta comparando quantitativamente ambas as áreas.

Em um parque tecnológico foi construída uma praça com forma de hexágono regular de $20\text{ m}$ de lado. No centro da praça instalou-se uma fonte circular cuja borda é tangente a todos os lados do hexágono. A prefeitura quer pavimentar com pisos especiais apenas a superfície compreendida entre a fonte e o perímetro do hexágono. Calcule a área que deve ser pavimentada utilizando $\pi \approx 3,1416$ e arredondando o resultado para duas casas decimais.

Uma empresa de design gráfico está criando um novo logotipo baseado nas propriedades da circunferência. Desenharam uma circunferência de raio $R = 8\text{ cm}$. Dentro dela, traçaram duas cordas paralelas situadas em ambos os lados do centro, uma de $10\text{ cm}$ e outra de $14\text{ cm}$ de comprimento. A área do logotipo é o trapézio isósceles formado ao unir as extremidades dessas duas cordas. Calcule a área desse trapézio e a distância exata que separa as duas cordas.

A "Rosácea da Catedral" de uma cidade é formada por uma circunferência exterior de diâmetro $6\text{ m}$. No interior dela, traçam-se quatro circunferências iguais cujos diâmetros coincidem com quatro raios perpendiculares da circunferência exterior, formando uma flor de quatro pétalas. Calcule a área das quatro pétalas delimitadas pela interseção dessas quatro circunferências.

Uma placa de trânsito tem a forma de um octógono regular. Sabemos que a distância máxima entre dois vértices opostos (o diâmetro da circunferência circunscrita) é de $80\text{ cm}$. Um operário deve pintar a placa de vermelho, exceto um quadrado central cujos vértices coincidem com os pontos médios de quatro dos lados do octógono (formando uma cruz interior). Calcule a área que deve ser pintada de vermelho e o ângulo interno do referido octógono.

Desafio do tema. Como você otimizaria o espaço de uma praça do seu município? Imagine que a prefeitura encarrega você de desenhar a remodelação geométrica de um parque próximo.

1. Escala e semelhança: Capture o parque no Google Maps ou em um mapa cadastral. Com a ferramenta de medição, obtenha uma distância real de referência e transfira a planta para o GeoGebra aplicando uma razão de semelhança $k$ adequada.

2. Lugares geométricos: Localize três acessos principais não alinhados e encontre o ponto equidistante a eles (circuncentro por meio de mediatrizes) para instalar um poste de iluminação central; verifique que ele fica dentro do parque e, caso contrário, justifique outra localização. Além disso, trace a bissetriz do ângulo formado por duas calçadas para posicionar uma fileira de árvores.

3. Ângulos, comprimentos e áreas: Meça os ângulos do polígono do parque. Decomponha o recinto em figuras planas elementares (triângulos, trapézios ou setores circulares) e calcule o seu perímetro e a sua área real total em $\text{m}^2$.

Produto final: Um relatório breve (uma página) com a captura do GeoGebra, o desenvolvimento dos cálculos e o orçamento estimado se semear grama custar $7,50$ reais/m$^2$.

Será valorizado:

• Precisão no uso de escalas e proporcionalidade geométrica com dados reais.

• Construção correta e justificativa dos lugares geométricos (mediatrizes e bissetriz).

• Exatidão no cálculo de ângulos, comprimentos e áreas compostas.