Proporcionalidade direta

Em matemática, dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada por esse mesmo número. Analise as seguintes situações do dia a dia e indique quais são de proporcionalidade direta:

1. a) O número de seguidores de um streamer e a quantidade de curtidas (likes) que ele recebe em um vídeo (supondo que todos os seus seguidores curtam o vídeo).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O número de caixas de pizza encomendadas e o preço total pago (se todas as pizzas custarem o mesmo).
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele leva para chegar ao seu destino.
5. e) Os quilogramas de maçãs comprados e o dinheiro que custam.

No seu videogame favorito, você pode comprar "Gemas" para conseguir novos visuais para o seu personagem. Sabemos que as gemas têm sempre o mesmo preço unitário. Complete a seguinte tabela de proporcionalidade no seu caderno para saber quanto custam diferentes quantidades de gemas:

O Mateo acompanha o pai dele para comprar ingressos para um festival de teatro escolar. Na bilheteria observam o cartaz: «$3$ ingressos custam $\text{R\$}\ 21$». O Mateo precisa calcular quanto custarão $5$ ingressos para toda a sua família e raciocina da seguinte maneira: «Como $5$ ingressos são mais $2$ ingressos do que $3$, ao preço de $\text{R\$}\ 21$ só preciso somar $\text{R\$}\ 2$. Portanto, os $5$ ingressos custarão $\text{R\$}\ 23$».

1. a) Explique detalhadamente por que o raciocínio aditivo do Mateo está errado e o que significa realmente que o número de ingressos e o preço sejam grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Corrija o cálculo utilizando o método de redução à unidade: encontre o preço de um ingresso e calcule o preço real que a família deve pagar pelos $5$ ingressos.

Um pacote de figurinhas do campeonato de futebol contém $6$ figurinhas, e $3$ destes pacotes custam $3,60$ reais. Se quisermos completar o álbum e decidirmos comprar $8$ pacotes iguais, quanto dinheiro gastaremos no total? Utilize o método de redução à unidade (calcule primeiro quanto custa um único pacote).

Para cozinhar panquecas para $4$ pessoas, são necessários exatamente $200$ gramas de farinha. Se neste fim de semana vierem convidados e o total for de $6$ pessoas, que quantidade de farinha será necessária para que as panquecas fiquem perfeitas? Lembre-se de que as quantidades da receita são diretamente proporcionais ao número de pessoas.

Um skatista percorre uma pista com velocidade constante. Na primeira parte do circuito, percorreu $150$ metros em $30$ segundos. Se mantiver o mesmo ritmo durante todo o trajeto:

1. a) Que distância percorrerá em $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) Qual é a sua constante de proporcionalidade (quantos metros percorre por cada segundo)?

Na papelaria do bairro tem uma promoção de material escolar: um pacote com $3$ cadernos idênticos custa $\text{R\$}\ 5,40$. O seu grupo de trabalho precisa comprar $7$ desses mesmos cadernos para um projeto da escola.

1. a) Antes de fazer contas com lápis e papel, estime mentalmente se o preço total dos $7$ cadernos será maior ou menor do que $\text{R\$}\ 12$ e entre quais dois números inteiros de reais ele deve se situar. Explique como você chegou a essa estimativa.
2. b) Calcule o custo exato dos $7$ cadernos aplicando a redução à unidade (obtendo primeiro o preço de $1$ caderno).
3. c) Compare o valor numérico obtido com a sua estimativa prévia e raciocine se o seu resultado é coerente com o preço de partida.

Para comemorar o final do trimestre, um grupo de amigos quer comprar "gemas" para o seu videogame favorito. Eles viram que um pacote de $1200$ gemas custa $\text{R\$}\ 14,40$. Se um amigo tem economizados exatamente $\text{R\$}\ 21$, quantas gemas poderá comprar se a relação for diretamente proporcional?

Para cozinhar uma paella gigante para $12\text{ personas}$, o chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz e $3\text{ litros}$ de caldo. Se de repente mais pessoas confirmarem presença e agora forem $18$ no total, calcule pelo método de redução à unidade que quantidade de arroz e de caldo o chef precisará agora.

Uma torneira que pinga perde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de água a cada $10\text{ segundos}$. Se não for consertada, quantos litros de água terá desperdiçado ao final de uma hora inteira? (Lembre-se de converter primeiro o resultado para a unidade de medida solicitada).

Observe a imagem a seguir que representa duas balanças em equilíbrio. Na primeira balança, $3$ cubos azuis pesam exatamente $450$ gramas. Na segunda balança, queremos saber quanto pesam $5$ cubos iguais aos anteriores. Calcule o valor da incógnita $x$.

Encontre o valor do termo desconhecido $x$ nas seguintes proporções para que a igualdade entre as razões seja satisfeita:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Em um mapa da Serra da Mantiqueira, a escala indica que $2\text{ cm}$ no papel representam $5\text{ km}$ na realidade. Se para realizar uma caminhada entre dois vilarejos a distância medida no mapa é de $8,5\text{ cm}$, quantos quilômetros os caminhantes percorrerão na realidade?

Copie e complete a seguinte tabela de valores diretamente proporcionais que relaciona a quantidade de quilogramas de tinta com a superfície que se pode cobrir. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$ expressa em $m^2/kg$.

Por $3$ ingressos de cinema pagamos $\text{R\$}\ 25,50$. Queremos comprar $7$ ingressos para toda a turma. Resolva o problema das duas formas a seguir:

1. a) Por redução à unidade: calcule o preço de um ingresso e depois o de $7$.
2. b) Com uma regra de três direta: monte a proporção $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ e isole $x$.
3. c) Os dois resultados coincidem? Qual método parece mais prático e por quê?

No laboratório de Ciências da Natureza estão estudando a perda de água por uma torneira com defeito que pinga em um ritmo constante. Utilizando uma proveta graduada, medem que a cada $12\text{ minutos}$ são recolhidos exatamente $0,36\text{ litros}$ de água.

1. a) Você quer descobrir quanta água será recolhida após $36\text{ minutos}$. Compare dois caminhos possíveis: aplicar uma regra de três simples completa ou usar as propriedades da proporcionalidade direta (observando a relação multiplicativa direta entre $12$ e $36$). Justifique qual dos dois métodos é mais rápido e calcule o referido volume.
2. b) Agora você precisa calcular o volume recolhido em um intervalo de $25\text{ minutos}$. O cálculo mental anterior continua sendo prático ou é melhor calcular previamente a constante de proporcionalidade (litros por minuto)? Justifique a sua escolha e calcule quantos litros terão sido perdidos nesses $25\text{ minutos}$.

Segundo dados técnicos de instalações de autoconsumo energético na Espanha, uma casa unifamiliar equipada com $4$ painéis solares idênticos gera, num dia ensolarado de primavera, uma média de $6,8\text{ kWh}$ de energia elétrica. Uma família vizinha quer instalar painéis idênticos para cobrir uma necessidade energética diária de $15,3\text{ kWh}$ nas mesmas condições climáticas.

1. a) Justifique por que o número de painéis solares e a quantidade de energia elétrica gerada são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Determine a constante de proporcionalidade direta $k$, indicando que grandeza ela representa e em que unidades se expressa.
3. c) Escreva a fórmula algébrica que modela a energia produzida ($E$, em $\text{kWh}$) em função do número de painéis instalados ($n$).
4. d) Utilize o seu modelo para descobrir quantos painéis solares completos a família vizinha deve instalar para garantir essa produção diária.

Uma marca de roupas sustentáveis utiliza fibras recicladas para fabricar suas camisetas. A relação entre o peso das garrafas de plástico recolhidas e o fio obtido é diretamente proporcional. Sabe-se que com $3,6\ kg$ de garrafas é possível fabricar exatamente $8$ camisetas de tamanho L.

1. a) Se cada camiseta de tamanho L precisa de $225\ g$ de fio, quantos gramas de fio são obtidos por cada quilograma de garrafas de plástico?
2. b) A prefeitura de uma cidade recolheu $1,2\ toneladas$ de garrafas. Quantas camisetas poderiam ser fabricadas no total?

Uma impressora 3D leva $4,5$ horas para imprimir uma peça de $270$ gramas de filamento. Queremos saber quanto tempo levará para imprimir outra peça de $420$ gramas, supondo o mesmo ritmo.

1. a) Explique por que o peso da peça e o tempo de impressão são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Monte a regra de três direta e calcule o tempo que a peça de $420$ gramas levará.
3. c) Quantos gramas a máquina imprime em uma hora? Verifique o seu resultado do item b) usando esse dado.

Um carro híbrido consome uma média de $4,5\text{ litros}$ de combustível por cada $100\text{ km}$ percorridos. Se o tanque tem uma capacidade total de $54\text{ litros}$ e atualmente está cheio, qual é a distância máxima que o veículo poderá percorrer antes de ficar sem combustível?

Três agricultores trabalharam na colheita de um pomar de laranjas de forma proporcional ao tempo que cada um dedicou. Se receberam no total $\text{R\$}\ 1500$ e os tempos de trabalho foram:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

Quanto dinheiro corresponde a cada um deles?

Em uma oficina de robótica, os alunos estão programando um drone para inspecionar um parque natural. O drone consome bateria de forma diretamente proporcional à distância percorrida. Se para percorrer $2,5\ km$ o drone consome $15\%$ da sua bateria total:

1. a) Qual é a constante de proporcionalidade se expressarmos a relação como "porcentagem de bateria por quilômetro"?
2. b) Se o ponto de retorno está a $7.200\ metros$ da base, o drone terá bateria suficiente para ir e voltar se decolar com a carga completa? Justifique a resposta com cálculos.

Para tingir tecidos com corantes naturais, uma artesã mistura extrato de beterraba e água. A quantidade de extrato é diretamente proporcional ao volume de água. Em seu caderno, ela tem anotado que para $1,5\ litros$ de água precisa de $120\ ml$ de extrato. No entanto, ela quer preparar um recipiente com um volume total de mistura (água + extrato) de $10,8\ litros$. Que quantidade exata de água e de extrato ela deve misturar para manter a proporção?

Um servidor de videogames distribui dados aos jogadores de forma diretamente proporcional ao tempo de conexão. Um jogador baixou $1,8\ GB$ nos últimos $12$ minutos.

1. a) Calcule a taxa de transferência em $MB$ por minuto (Lembre-se de que $1\ GB = 1.024\ MB$).
2. b) Se a atualização total do jogo tem $15\ GB$, quantas horas e minutos levará para concluir o download se a velocidade se mantiver constante?

Três turmas do 7º ano decidiram organizar uma campanha de arrecadação de alimentos. O número de quilos arrecadados é diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma. A turma A tem $24$ alunos e arrecadou $36\ kg$.

1. a) Complete a tabela a seguir justificando os cálculos:

1. b) Qual é a constante de proporcionalidade que relaciona os quilos por aluno? Expresse-a como uma fração irredutível.

Em um engenho do interior de Minas Gerais comercializa-se azeite de oliva extravirgem. O preço final é estritamente proporcional ao volume de azeite adquirido, sem custos fixos de embalagem nem descontos por quantidade. Dois clientes coincidem na loja:

• O primeiro cliente compra um determinado número de garrafões de $5\text{ litros}$ e paga uma nota fiscal de $\text{R\$}\ 135$.

• O segundo cliente compra exatamente mais $7\text{ litros}$ de azeite do que o primeiro e paga um total de $\text{R\$}\ 198$.

1. a) Deduza o preço de um único litro de azeite (a constante de proporcionalidade $k$) sem conhecer previamente quantos litros cada um adquiriu. Justifique com rigor o raciocínio que permite calculá-lo a partir das diferenças de volume e de preço.
2. b) Construa a expressão matemática que relaciona o custo total $C$ (em reais) em função do volume total $V$ (em litros).
3. c) A partir do seu modelo, reconstrua os dados da compra do primeiro cliente: calcule quantos litros de azeite ele levou e quantos garrafões completos de $5\text{ litros}$ comprou.

O serviço municipal de aluguel de bicicletas de uma cidade oferece duas modalidades de pagamento:

• Modalidade A (Sem passe): Não há taxa fixa inicial; paga-se $\text{R\$}\ 0,60$ por cada fração de meia hora de utilização.

• Modalidade B (Com passe anual): Paga-se uma taxa fixa anual de $\text{R\$}\ 24$ e depois paga-se $\text{R\$}\ 0,20$ por cada fração de meia hora de utilização.

1. a) Verifique se o valor total pago por ano é diretamente proporcional ao tempo de utilização em cada uma das duas modalidades. Para justificar, calcule o quociente (custo total / meias horas) para $1$, $2$ e $10$ meias horas em ambas as opções e analise se ele se mantém constante.
2. b) Um ciclista com passe na Modalidade B afirma: «Se este ano eu utilizar a bicicleta o dobro do tempo do ano passado, o meu gasto anual duplicará exatamente». Demonstre com um contraexemplo numérico que a afirmação dele é falsa e explique qual elemento da tarifa impede a proporcionalidade direta.
3. c) Uma pessoa calcula que utilizará o serviço exatamente $80$ meias horas durante o ano. Modele algebricamente o custo de ambas as tarifas para esse valor e determine qual delas é mais econômica para ela, calculando a diferença de economia em reais.

Nos gráficos de proporcionalidade direta, a relação entre as duas grandezas é sempre representada por uma reta que passa pelo ponto $(0,0)$. Observe o gráfico a seguir que relaciona o número de canetas compradas e o seu custo total. Se $4$ canetas custam $6$ reais, identifique o ponto no gráfico e calcule quanto custariam $10$ canetas.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo que uma fonte de água fica aberta e os litros que ela jorra. Observe o ponto marcado e determine quantos litros a fonte jorrará se for mantida aberta durante $15\text{ minutos}$.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo de carga de um novo modelo de celular e a porcentagem de bateria recuperada. O fabricante afirma que a carga é diretamente proporcional durante os primeiros $40$ minutos.

1. a) Observando o ponto destacado, calcule quantos minutos o celular leva para carregar $1\%$ de bateria.
2. b) Se o celular tem atualmente $12\%$ de bateria e é necessário sair de casa em $18$ minutos, com que porcentagem de bateria sairá?

Em um mapa de alta montanha com escala $1:25.000$, a distância entre dois abrigos é de $14,4\ cm$. Um grupo de caminhantes sabe que sua velocidade média de subida é constante e que leva $45$ minutos para percorrer $1.500\ metros$ na realidade nesse terreno.

1. a) Calcule a distância real entre os dois abrigos em quilômetros.
2. b) A que horas chegarão ao segundo abrigo se saírem do primeiro às $08:30$ da manhã?

Uma empresa de entregas utiliza vans elétricas. O custo do consumo elétrico é diretamente proporcional aos quilômetros percorridos. No mês passado, uma van percorreu $1.250\ km$ com um custo total de $\text{R\$}\ 37,50$ em eletricidade.

1. a) Este mês o preço da eletricidade subiu $20\%$. Qual será a nova constante de proporcionalidade (custo por quilômetro)?
2. b) Com o novo preço, quanto custará percorrer uma rota de $420\ km$?