Monômios e operações com monômios

No mundo da álgebra, nem todas as expressões são "monômios". Lembre-se de que um monômio é o produto de um número por uma letra (ou várias) com expoentes naturais. Indique quais das seguintes expressões são monômios e quais não são. Em caso negativo, explique o motivo:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copie a seguinte tabela em seu caderno e complete os elementos que faltam para cada monômio. Tenha cuidado com os sinais e os expoentes invisíveis!

Dois monômios são "semelhantes" se têm exatamente a mesma parte literal. Na lista a seguir, há três pares de monômios semelhantes escondidos. Encontre-os e agrupe-os!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Em um videogame de estratégia, os recursos são armazenados por meio de expressões algébricas. Complete a seguinte tabela para que o programador possa organizar o inventário corretamente:

Simplifique estas expressões somando ou subtraindo os monômios que forem semelhantes. Se não for possível simplificar, indique o motivo:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Em um videogame de aventura, seu personagem coleta gemas de energia. As gemas vermelhas valem $x$ pontos cada uma. Se durante a primeira fase você conseguir $5x$ gemas, na segunda encontrar outras $8x$ e na terceira perder $3x$ por causa de um feitiço, simplifique a expressão para saber quantas gemas você tem no final.

A Júlia está revendo as operações com monômios e no seu caderno deixou escritas estas duas afirmações:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifique o erro conceitual que a Júlia cometeu em cada uma das duas operações. Explique, apoiando-se na propriedade distributiva e na definição de monômios semelhantes, por que os raciocínios dela estão errados. Por último, escreva as respostas corrigidas para ambos os casos.

Você está organizando os arquivos do seu computador. Para economizar espaço, só pode somar ou subtrair aqueles "arquivos" (monômios) que forem semelhantes. Reduza a seguinte expressão ao máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Na loja de histórias em quadrinhos, $x$ representa uma quantidade de mangás. Se o Luis comprar o triplo do quadrado dessa quantidade e depois descontarem dele o dobro do quadrado dessa quantidade, que monômio representa a quantidade final de mangás que ele pagou? Escreva a operação e simplifique.

Deseja-se cercar com uma fita LED uma estante com uma forma poligonal especial. Calcule o monômio que representa o perímetro total da figura somando seus lados:

Para organizar uma festa, você compra pacotes de refrigerante. Cada pacote contém $6$ latas e o preço de uma lata é $y$ reais. Se você comprar $4$ pacotes iguais, escreva o monômio que representa o custo total da compra.

Um agricultor tem uma horta retangular para plantar tomates. Ajude-o a calcular a expressão da área da horta multiplicando os seguintes monômios:

Realize as seguintes multiplicações de monômios lembrando que se multiplicam os coeficientes entre si e se somam os expoentes das letras iguais:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

Queremos descobrir a identidade de um monômio desconhecido, ao qual chamaremos $M$, do qual conhecemos as seguintes pistas:

1) O seu coeficiente é um número inteiro negativo estritamente maior do que $-5$.

2) A sua parte literal é formada pelas letras $x$ e $y$, ambas com expoente maior ou igual a $1$.

3) Ao multiplicar o monômio desconhecido $M$ pelo monômio $3x^2y$, obtém-se um monômio de coeficiente $-12$ e grau total $6$.

Deduza e justifique de forma fundamentada o coeficiente e os possíveis valores dos expoentes de $M$. Escreva pelo menos um monômio que cumpra exatamente todas as condições e, em seguida, proponha outro monômio diferente que seja semelhante a ele.

Um servidor de streaming divide um pacote de dados de tamanho $24x^6$ entre $4x^2$ usuários. Escreva o monômio que representa a quantidade de dados que cada usuário recebe.

Simplifique as seguintes divisões de monômios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Invente dois monômios, $M_1$ e $M_2$, que satisfaçam a todas estas condições ao mesmo tempo:

1. Ambos devem ter como parte literal $a^2b$.

2. Sua soma deve ser um monômio cujo coeficiente seja $-10$.

3. Ao dividir $M_1$ por $M_2$, o resultado deve ser o número $4$.

Escreva os dois monômios e verifique se satisfazem às condições.

Um "Monômio Misterioso" perdeu algumas de suas partes após passar por uma máquina de operações. Sua missão é reconstruir a igualdade original encontrando o monômio que falta em cada caso (representado pelo sinal $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Aplique a propriedade distributiva para eliminar os parênteses e reduza os termos semelhantes na seguinte expressão:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Determine a expressão da área do seguinte retângulo na forma de monômio. Lembre-se de que a área é calculada multiplicando a base pela altura ($A = b \cdot h$).

Propomos que você analise a seguinte operação combinada entre monômios:

1. a) Estime sem calcular: Antes de realizar as operações numéricas passo a passo, raciocine qual deve ser o grau do monômio resultante do primeiro bloco (a fração algébrica) e que sinal terá o seu coeficiente. A partir daí, deduza se será possível ou não subtrair dele o termo $- 5x^4$.
2. b) Verifique calculando: Resolva a expressão passo a passo respeitando a prioridade das operações: primeiro multiplique os monômios do numerador, depois divida pelo denominador e, por último, efetue a subtração de termos semelhantes.
3. c) Avalie: Compare o resultado final com as suas previsões do item a). O grau e o sinal coincidiram com o que você tinha raciocinado previamente? Justifique por que o resultado final é um monômio e não uma expressão irredutível de dois termos.

Um artista urbano está projetando um mural com formas geométricas entrelaçadas. O desenho central consiste em um grande retângulo de base $5x^2$ e altura $3y$. Dentro desse retângulo, o artista deixa um espaço sem pintar em forma de triângulo cuja base mede $2x^2$ e a altura é de $y$. Escreva o monômio simplificado que represente a área que finalmente será pintada de colorido.

Simplifique a seguinte expressão combinada, prestando muita atenção à ordem das operações e às propriedades das potências:

Explique passo a passo como você reduziu cada termo antes de realizar a soma e a subtração final. Qual é o grau do polinômio resultante antes da simplificação total?