Exercícios: Conceitos

Classifique os seguintes experimentos como aleatórios ou determinísticos, justificando brevemente sua resposta em cada caso:

1. a) Observar se o próximo ônibus que passar pelo ponto em frente à escola é da linha 5.
2. b) Medir o tempo que um objeto leva para cair no chão a partir de uma altura de 2 metros em condições de vácuo.
3. c) Prever o vencedor do próximo sorteio da Mega da Virada.
4. d) Calcular o custo de 3 kg de maçãs sabendo que o preço é de $1,50 \text{ \text{R\$}\ /kg}$.

Estamos jogando com uma roleta dividida em oito setores iguais, numerados de 1 a 8. Escreva o espaço amostral $E$ deste experimento e descreva os elementos dos seguintes eventos:

1. a) $A =$ "Obter um número maior que 5".
2. b) $B =$ "Obter um número par".
3. c) $C =$ "Obter um múltiplo de 3".

Em uma bolsa de esportes há 4 camisetas vermelhas, 3 azuis e 1 branca. Se retirarmos uma camiseta sem olhar, indique qual das seguintes opções descreve melhor a probabilidade de cada evento (use os termos: muito provável, pouco provável, impossível, certo):

1. a) Retirar uma camiseta de cor verde.
2. b) Retirar uma camiseta que não seja branca.
3. c) Retirar uma camiseta vermelha, azul ou branca.
4. d) Retirar uma camiseta azul.

Lançam-se duas moedas ao ar e anota-se o resultado de cada uma (C para cara, X para coroa).

1. a) Utilize um diagrama de árvore para encontrar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço amostral do experimento.
3. c) Qual é o evento elementar "obter duas caras"?

Considere o experimento aleatório de escolher ao acaso uma letra da palavra MATEMÁTICAS. Defina os seguintes conceitos associados a este experimento:

1. a) O espaço amostral $E$.
2. b) O evento $V =$ "Escolher uma vogal".
3. c) O evento $C =$ "Escolher uma consoante".
4. d) Verifique se $V$ e $C$ são eventos complementares.

Um dado tem suas faces pintadas de cores: 3 faces são vermelhas, 2 são verdes e 1 é amarela. Se lançarmos o dado ao ar:

1. a) Qual é a probabilidade de "obter a cor vermelha"? Expresse o resultado como fração.
2. b) Qual é a probabilidade de "não obter a cor vermelha"?
3. c) Como se chama tecnicamente o evento do item b) em relação ao do item a)?

De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta ao acaso. Dados os eventos $A =$ "Sair um Rei" e $B =$ "Sair uma carta de Ouros", indique:

1. a) $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis? Por quê?
2. b) Qual é o evento interseção $A \cap B$?
3. c) Descreva por palavras o evento união $A \cup B$.

A figura mostra como está organizado o baralho: 4 naipes e 10 cartas por naipe (numeradas de 1 a 7, e as figuras 10 = valete, 11 = cavalo e 12 = rei).

Em um globo de loteria há bolas numeradas de 1 a 20. Se retirarmos uma bola ao acaso, classifique os seguintes eventos em elementares ou compostos:

1. a) $S_1 =$ {obter o número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obter um número primo menor que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obter um múltiplo de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obter o maior número par do globo}.

Na aula de Matemática, o Marcos analisa o experimento aleatório de lançar um dado cúbico equilibrado com faces numeradas de 1 a 6. Depois de pensar um momento, afirma: «Consideremos os eventos $A = \text{“obter um número menor ou igual a 4”}$ e $B = \text{“obter um número maior ou igual a 3”}$. São eventos contrários porque, ao reuni-los, abrangem todos os resultados possíveis: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$».\n\na) Explique detalhadamente qual é o erro no raciocínio do Marcos. Que duas condições devem ser cumpridas simultaneamente para que dois eventos sejam formalmente contrários?\nb) Escreva em extensão (listando os seus elementos) o verdadeiro evento contrário de $A$, denotado por $\bar{A}$.\nc) Determine a interseção $A \cap B$ e deduza, a partir dela, se $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis.

Num jogo de tabuleiro, retira-se ao acaso uma ficha numerada de um saco. O espaço amostral do experimento é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Pede-se que você construa e determine os elementos de dois eventos, $A$ e $B$, que cumpram simultaneamente as seguintes quatro condições:\n1. O evento $A$ deve ser formado por exatamente 5 eventos elementares.\n2. A interseção de ambos os eventos deve ser $A \cap B = \{2, 6\}$.\n3. A união de ambos os eventos deve conter todos os elementos do espaço amostral, exceto o 8, ou seja, $A \cup B = E \setminus \{8\}$.\n4. O evento $B$ tem exatamente 4 elementos.\n\na) Escreva os elementos que formam o evento $A$ e o evento $B$, justificando passo a passo como você decide a posição de cada número.\nb) Escreva o evento contrário de $B$, $\bar{B}$, e determine se $A$ e $\bar{B}$ são eventos compatíveis ou incompatíveis.

No seu celular você tem instalados 3 apps de redes sociais, 2 de jogos e 1 de música. Ao receber uma notificação, ela pode vir de qualquer um desses 6 apps com a mesma probabilidade.

1. a) Defina o espaço amostral $E$ deste experimento aleatório.
2. b) Descreva o evento $A$ = "A notificação não é de uma rede social".
3. c) Escreva um evento impossível relacionado a este contexto.

Realiza-se uma pesquisa com os 30 alunos de uma turma sobre suas preferências de streaming. Sabe-se que 18 alunos assistem à Netflix ($N$), 12 assistem ao Disney+ ($D$) e 5 alunos assistem a ambas as plataformas. Se escolhermos um aluno ao acaso:

1. a) Utilize um diagrama de Venn para representar a situação.

1. b) Calcule a probabilidade de o aluno assistir apenas à Netflix.

1. c) Calcule a probabilidade de o aluno não assistir a nenhuma das duas plataformas (evento complementar da união).

Em um jogo de cartas colecionáveis de fantasia, um baralho contém as seguintes cartas: 8 do tipo "Guerreiro", 6 do tipo "Mago", 4 do tipo "Elfo" e 2 do tipo "Dragão". Se você retirar uma carta ao acaso, calcule a probabilidade de que:

1. a) Seja um "Mago".
2. b) Seja um "Guerreiro" ou um "Elfo".
3. c) Não seja um "Dragão".

Um criador de conteúdo lançou 500 vezes um dado de 8 faces (octaedro) para verificar se está viciado. Os resultados obtidos para a face com o número "8" são mostrados na seguinte tabela:

1. a) Calcule as frequências relativas para cada etapa do experimento.

1. b) Para que valor parece se estabilizar a probabilidade de obter um "8"?

1. c) Se o dado fosse perfeito (regular), qual deveria ser a sua probabilidade teórica segundo a lei de Laplace?

Em uma convenção de videogames, 200 participantes foram classificados segundo sua idade e seu console preferido, obtendo-se a seguinte tabela de contingência:

Se selecionarmos um participante ao acaso, determine a probabilidade de que:

1. a) Prefira Nintendo.
2. b) Seja maior de 14 anos.
3. c) Seja menor de 14 anos e prefira PlayStation.
4. d) Sabendo que ele prefere Nintendo, seja menor de 14 anos.

Para ir a um festival, Ana tem no seu armário 3 moletons com capuz (preto, branco e vermelho) e 2 calças (jeans e de moletom). Ela escolhe ao acaso um moletom e uma calça, todas as opções com a mesma probabilidade.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que represente todas as combinações possíveis de vestuário (moletons e calças).
2. b) Qual é a probabilidade de Ana escolher o moletom vermelho?
3. c) Qual é a probabilidade de ela não escolher a calça de moletom?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Consideramos o experimento aleatório de lançar dois dados cúbicos e somar suas pontuações. Sejam os eventos:

• $A$ = "A soma é um número par".

• $B$ = "A soma é um múltiplo de 5".

1. a) Calcule $P(A)$ e $P(B)$.
2. b) Os eventos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis? Justifique sua resposta encontrando os elementos de $A \cap B$.
3. c) Calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Em uma feira de tecnologia, há uma roleta dividida em 12 setores iguais numerados de 1 a 12. O jogo consiste em girar a roleta e observar o número premiado.

1. a) Determine a probabilidade de obter um número primo.
2. b) Determine a probabilidade de obter um número maior que 4 e menor que 9.
3. c) Se ganhamos um prêmio se sair um múltiplo de 3 ou um número ímpar, qual é a probabilidade de ganhar?

Para preparar as atividades da semana da matemática da escola, propõe-se analisar o espaço amostral de dois experimentos diferentes:\n- Experimento 1: Lançar simultaneamente dois dados cúbicos de 6 faces e calcular a diferença positiva entre a maior e a menor pontuação (se forem iguais, a diferença é 0).\n- Experimento 2: Responder ao acaso a um questionário rápido de 4 perguntas em que cada uma admite apenas duas respostas possíveis: Verdadeiro ($V$) ou Falso ($F$).\n\na) Compare as duas ferramentas habituais para descrever experimentos compostos: a tabela de dupla entrada e o diagrama de árvore. Justifique qual das duas é mais adequada para o Experimento 1 e qual para o Experimento 2, explicando por que uma tabela de dupla entrada não é prática para o Experimento 2.\nb) Aplique a regra do produto ($m \cdot n \dots$) para calcular quantos resultados possíveis compõem o espaço amostral de cada um dos dois experimentos.\nc) Utilizando o método que você considerou ideal para o Experimento 1, represente todos os resultados possíveis e descreva por extensão o evento $D = \text{“a diferença entre as faces é maior ou igual a 4”}$.

Uma empresa de ônibus metropolitanos no Brasil classifica cada veículo que chega ao terminal segundo duas variáveis independentes de observação: a tecnologia do motor, que pode ser Elétrico ($E$) ou Híbrido ($H$), e a pontualidade do serviço, que pode ser Pontual ($P$), com Atraso leve ($R$) ou Cancelado ($C$). Observa-se a chegada do próximo serviço.\n\na) Justifique por que a observação do próximo serviço constitui um experimento aleatório e não determinístico.\nb) Escreva de forma explícita o espaço amostral $\Omega$ como um conjunto de pares ordenados. Quantos eventos elementares ele tem?\nc) Defina por extensão (escrevendo entre chaves todos os seus elementos) os eventos:\n - $A = \text{“o autocarro é híbrido”}$.\n - $B = \text{“o autocarro sofre alguma incidência (atraso ligeiro ou cancelamento)”}$.\nd) Determine os conjuntos de resultados que formam os eventos $A \cap B$, $A \cup B$ e o evento contrário $\bar{B}$. Explique o que significa na prática o evento $\bar{B}$ para uma pessoa que espera no ponto de ônibus.

Um grupo de amigos cria uma senha de segurança para seu servidor de jogos eletrônicos. A senha deve ter 3 caracteres distintos escolhidos entre as letras $\{A, B, C\}$ e os números $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Descreva o espaço amostral $\Omega$ se o primeiro caractere deve ser obrigatoriamente uma letra e o último um número.

1. b) Se uma senha for escolhida ao acaso entre todas as possíveis (sem as restrições do item anterior, mas mantendo que os 3 caracteres sejam distintos), qual é a probabilidade de a senha ser formada apenas por números?

Em uma escola de São Paulo, $60\%$ dos alunos do 9º ano utilizam a plataforma Twitch, $50\%$ utilizam o TikTok e $20\%$ não utilizam nenhuma das duas. Se escolhermos um aluno ao acaso, calcule a probabilidade dos seguintes eventos:

1. a) Que utilize ambas as plataformas.

1. b) Que utilize o TikTok, mas não o Twitch.

1. c) Os eventos "Usar Twitch" e "Usar TikTok" são incompatíveis? Justifique sua resposta utilizando as probabilidades.

Dois streamers populares, Alice e Bruno, farão uma colaboração. Eles têm uma urna com 4 cartões de desafios físicos e 6 cartões de desafios mentais. Decidem retirar dois cartões sucessivamente e sem reposição.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que represente todas as possibilidades e atribua a probabilidade a cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de o segundo desafio retirado ser mental, sabendo que o primeiro foi físico.

1. c) Qual é a probabilidade de realizarem um desafio de cada tipo?

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um drone de entrega deve pousar em um terreno quadrado de $10$ metros de lado. Dentro do terreno há uma zona circular de segurança (onde não deve pousar) com raio de $2$ metros, e uma zona de pouso ideal que é um pequeno quadrado central de $1$ metro de lado.

Supondo que o drone pouse em qualquer ponto do terreno com a mesma probabilidade:

1. a) Qual é a probabilidade de o drone pousar na zona de pouso ideal?

1. b) Qual é a probabilidade de pousar fora da zona circular de segurança? (Use $\pi \approx 3,14$).

Em um campeonato de e-sports, são analisados os periféricos usados por 120 participantes. Sabe-se que 75 usam teclado mecânico e o restante de membrana. Dos que usam teclado mecânico, 45 usam também mouse sem fio. No total, há 65 participantes que usam mouse sem fio.

1. a) Organize esses dados em uma tabela de contingência.

1. b) Se escolhermos um participante ao acaso, qual é a probabilidade de ele usar teclado de membrana e mouse com fio?

1. c) Se sabemos que um participante usa mouse sem fio, qual é a probabilidade de seu teclado ser de membrana?

Lançamos um dado de seis faces que suspeitamos estar viciado. Após lançá-lo 500 vezes, obtivemos as seguintes frequências: o número 6 saiu 125 vezes, o número 1 saiu 35 vezes, e os números 2, 3, 4 e 5 saíram com a mesma frequência entre si.

1. a) Calcule a frequência relativa do evento "Obter um 6".

1. b) De acordo com a Lei dos Grandes Números, que probabilidade você atribuiria ao evento "Obter um número menor do que 6"?

1. c) Se o dado não estivesse viciado, qual seria a probabilidade teórica de obter um 6? Compare ambos os resultados.

Um jogo de tabuleiro consiste em lançar uma moeda equilibrada (cara e coroa são igualmente prováveis) e, segundo o resultado, fazer o seguinte:

• Se sair cara, lança-se um dado equilibrado de 4 faces (numeradas de 1 a 4).

• Se sair coroa, retira-se uma bola de uma urna que contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas verdes.

1. a) Represente o experimento por meio de um diagrama de árvore, indicando a probabilidade de cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de obter um número par no dado se a moeda saiu cara.

1. c) Qual é a probabilidade total de que o resultado final do experimento seja uma bola vermelha?

Em uma final de um torneio de tênis entre Carlos e Rafa, ganha o primeiro que conseguir vencer 3 sets. O torneio é interrompido pela chuva quando Carlos está ganhando por 2 sets a 1. Sabendo que ambos têm a mesma probabilidade de ganhar cada set restante:

1. a) Use um diagrama de árvore para calcular a probabilidade que cada um tem de ganhar o torneio se tivesse continuado a jogar.

1. b) Se o prêmio total é de $12.000$ reais, como deveria ser repartido de forma justa segundo as probabilidades de vitória de cada um no momento da interrupção?

Três estudantes do 3.º ano do ESO (Álex, Bea e Carlos) organizam um campeonato de xadrez nos intervalos de quarta, quinta e sexta-feira. Para decidir quem arbitra em cada dia, colocam três papéis com os seus nomes numa urna e retiram um ao acaso todas as manhãs, devolvendo-o à urna para que, no dia seguinte, todos voltem a ter a mesma hipótese.\n\na) Estima: Antes de calcular ou enumerar casos, compara intuitivamente estes dois acontecimentos:\n - Acontecimento $M = \text{“nos três dias arbitra a mesma pessoa”}$.\n - Acontecimento $D = \text{“nos três dias arbitram pessoas distintas”}$.\n Raciocina, sem fazer cálculos numéricos ainda, qual dos dois acontecimentos achas que terá mais resultados favoráveis no espaço amostral e porquê.\nb) Modela o experimento através de um diagrama de árvore ou da regra do produto para determinar o número total de acontecimentos elementares do espaço amostral $E$.\nc) Enumera exaustivamente todos os acontecimentos elementares que formam o acontecimento $M$ e todos os que formam o acontecimento $D$.\nd) Verifica: Conta os casos favoráveis de $M$ e de $D$. Avalia se o resultado coincide com a tua estimação inicial e explica matematicamente por que o número de formas de ordenar três pessoas distintas ($3 \cdot 2 \cdot 1$) é muito superior ao de repetir uma mesma pessoa ($3 \cdot 1 \cdot 1$).

Uma estação meteorológica automática do INMET em um desfiladeiro de montanha registra à meia-noite duas variáveis para resumir o dia:\n- Tipo de precipitação: Neve ($N$), Chuva ($L$) ou Seco/Sem precipitação ($S$).\n- Temperatura média: Abaixo de zero ($B$) ou Zero ou positiva ($C$).\nEm um modelo puramente combinatório obteríamos $3 \cdot 2 = 6$ resultados possíveis. No entanto, as condições físicas do local introduzem uma restrição real: é fisicamente impossível que nevar se a temperatura for zero ou positiva, de modo que o resultado $(N, C)$ nunca pode ocorrer.\n\na) Escreva o espaço amostral real $E$ do experimento aleatório levando em conta essa restrição física. Quantos eventos elementares o compõem?\nb) Escreva por extensão os seguintes eventos:\n - $A = \text{“regista-se precipitação (neve ou chuva)”}$.\n - $B = \text{“a temperatura média é abaixo de zero”}$.\nc) Determine os elementos de $A \cap B$, $A \cup B$ e o evento $\overline{A \cup B}$ (contrário da união).\nd) Justifique se os eventos “faz uma temperatura abaixo de zero sem precipitação” e “o dia é de neve” são compatíveis ou incompatíveis por meio da definição matemática de interseção.\ne) Um operador afirma: «Como para nevar é obrigatório fazer temperatura abaixo de zero, o evento “nevar” e o evento “temperatura abaixo de zero” são eventos iguais». Explique com rigor algébrico de conjuntos por que essa afirmação é falsa, usando o conceito de inclusão de eventos.