Exercícios: O conjunto dos números inteiros

Na vida cotidiana, utilizamos os números inteiros para expressar situações opostas. Associe um número inteiro (positivo ou negativo) a cada uma das seguintes situações:

1. a) O termômetro da rua marca $4$ graus abaixo de zero.
2. b) Você tem uma dívida de $15$ reais com um amigo.
3. c) Um mergulhador se encontra a $20$ metros de profundidade.
4. d) Um avião voa a uma altura de $8.500$ metros.
5. e) Você ganhou $50$ pontos em um nível do seu videogame favorito.
6. f) O estacionamento do shopping center fica no terceiro subsolo.

O conceito de valor absoluto representa a distância de um número ao zero. Calcule os seguintes valores absolutos:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Compare os seguintes pares de números inteiros utilizando os símbolos maior que ($>$) ou menor que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

O oposto de um número inteiro é aquele que tem o mesmo valor absoluto, mas sinal diferente. Escreva o oposto dos seguintes números:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ordene os seguintes números inteiros do menor para o maior, utilizando o símbolo $<$ entre eles:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Dada a seguinte lista de números, classifique-os indicando quais pertencem ao conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$) e quais são números inteiros ($\mathbb{Z}$), mas não naturais:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Em uma estação de esqui foram registradas as seguintes temperaturas mínimas durante quatro dias. Ordene-as da menor para a maior utilizando o símbolo $<$:

• Segunda-feira: $-6$ $^\circ C$

• Terça-feira: $+2$ $^\circ C$

• Quarta-feira: $-9$ $^\circ C$

• Quinta-feira: $0$ $^\circ C$

Identifique as coordenadas cartesianas $(x, y)$ dos pontos $P$ e $Q$ representados na malha a seguir. Lembre-se de que o primeiro número é o eixo horizontal (abscissas) e o segundo é o vertical (ordenadas).

Em uma prova de Matemática, a Júlia deve comparar vários números inteiros e escreve na sua folha de respostas: «Como $12$ é maior do que $5$, então $-12 > -5$, já que ambos têm os mesmos algarismos e conservam a mesma relação de ordem». Além disso, afirma que «o valor absoluto de $-12$ é menor do que o de $-5$ porque $-12$ está situado mais à esquerda na reta numérica».

1. a) Identifique os dois erros conceituais que a Júlia cometeu e explique com suas palavras por que o raciocínio dela é incorreto, apoiando-se na posição dos números em relação ao zero.
2. b) Escreva a comparação correta entre $-12$ e $-5$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) e calcule o valor absoluto de ambos os números para justificar qual dos dois valores absolutos é maior.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou durante uma madrugada de inverno as seguintes temperaturas mínimas em quatro estações meteorológicas do Brasil: Vacaria ($-11\ ^\circ\text{C}$), Urupema ($-7\ ^\circ\text{C}$), Curitiba ($-4\ ^\circ\text{C}$) e Caxias do Sul ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modele esta situação ordenando as quatro localidades da menor para a maior temperatura, utilizando os símbolos matemáticos adequados ($<$ ou $>$).
2. b) Qual estação registrou a temperatura com maior distância em relação ao ponto de congelamento ($0\ ^\circ\text{C}$)? Justifique a sua resposta utilizando formalmente o conceito de valor absoluto.
3. c) Se representarmos em um plano cartesiano o ponto $P = (T_{\text{Albacete}}, T_{\text{Reinosa}})$, determine em que quadrante ele se encontra e interprete o que significa o sinal de cada uma das suas coordenadas.

Um sensor de temperatura em um laboratório de criogenia marca inicialmente $12\,^{\circ}\text{C}$ (olhe para a escala). Devido a um experimento, a temperatura desce $18\,^{\circ}\text{C}$, depois sobe $5\,^{\circ}\text{C}$ e finalmente volta a descer $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Represente com números inteiros cada um dos movimentos térmicos.

1. b) Qual é a temperatura final registrada pelo sensor?

1. c) A temperatura final está acima ou abaixo de $0\,^{\circ}\text{C}$?

Um entregador entra no elevador de um shopping center no térreo ($0$). Primeiro sobe ao almoxarifado no $+5$º andar, depois desce $8$ andares para pegar mercadoria na garagem e, finalmente, sobe $2$ andares para fazer uma entrega.

1. a) Em que andar se encontra a garagem? Expresse o resultado com um número inteiro.
2. b) Em que andar faz a entrega final?
3. c) Quantos andares o entregador percorreu no total durante todo o seu trajeto? (Dica: utilize o conceito de valor absoluto).

Em um jogo de estratégia, um barco pirata se move por um mapa de coordenadas. A posição inicial dele é o ponto $P(-3, 2)$.

1. a) Se o barco se desloca $5$ unidades para a direita, qual é a nova coordenada das abscissas ($x$)?

1. b) Se, a partir dessa nova posição, ele desce $4$ unidades, qual é a coordenada das ordenadas ($y$)?

1. c) Represente no seu caderno o ponto inicial e o ponto final (o do barco depois dos dois deslocamentos) em um sistema de eixos coordenados.

Escreva os números inteiros que cumprem simultaneamente as seguintes três condições:

1. Seu valor absoluto é maior que $2$ e menor que $6$.

2. É um número negativo.

3. Ao somar o seu oposto a ele, o resultado é $0$.

Represente os números encontrados em uma reta numérica.

No laboratório de física, estão sendo analisadas as temperaturas de congelamento de vários líquidos. Os resultados são:

• Líquido P: $-8$ ºC

• Líquido Q: $-15$ ºC

• Líquido R: $-3$ ºC

• Líquido S: $-12$ ºC

Ordene os líquidos da menor para a maior temperatura utilizando o símbolo $<$ e explique qual deles tem o maior valor absoluto.

Um arqueólogo encontra uma moeda em um sítio arqueológico. Ao investigar, descobre que ela foi cunhada no ano $45$ a.C. Se o arqueólogo vive no ano $2024$ d.C., responda:

1. a) Que número inteiro você atribuiria a cada data?

1. b) Qual é o simétrico do ano de cunhagem da moeda?

1. c) Represente de forma aproximada, em uma linha do tempo que você desenhará no seu caderno, o ano de cunhagem da moeda e o ano em que vive o arqueólogo. Marque o ano $0$ e indique que lado corresponde aos anos a.C. e qual aos d.C.

Dois mergulhadores, Elena e Carlos, encontram-se no mar. Elena está a uma profundidade de $18$ metros abaixo do nível do mar. Carlos está a $12$ metros de Elena, mas em uma posição mais profunda.

1. a) A que profundidade se encontra Carlos? Expresse com um número inteiro.
2. b) Se Elena subir $5$ metros, qual será a sua nova posição?
3. c) Qual é a distância absoluta entre a nova posição de Elena e a posição de Carlos?

Em um jogo de tabuleiro, sua peça se encontra na casa que representa o número inteiro $-4$. Você lança um dado especial e obtém os seguintes movimentos consecutivos:

1. Avança $6$ posições.

2. Retrocede o dobro do que indica o valor absoluto de $-3$.

3. Move-se para o oposto da casa em que se encontra nesse momento.

Em que casa você termina o jogo? Indique todos os passos intermediários.

Procuram-se dois números inteiros distintos, $a$ e $b$, que cumpram simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O ponto $P(a, b)$ está situado no segundo quadrante do plano cartesiano.

2. O valor absoluto de $a$ é exatamente $5$.

3. O valor $|b|$ é um número primo menor do que $5$, mas $b$ não coincide com o oposto de $a$.

4. A distância entre $a$ e $b$ na reta numérica é estritamente menor do que $8$ unidades.

1. a) Deduza o sinal que $a$ e $b$ devem obrigatoriamente ter a partir do quadrante em que se localiza o ponto $P$.
2. b) Encontre todos os valores possíveis de $a$ e $b$, justificando passo a passo por que você descarta as opções que não cumprem simultaneamente todas as condições.
3. c) Escreva as coordenadas finais de todos os possíveis pontos $P(a, b)$ que resolvem o problema.

Considere os números inteiros $m = -14$ e $n = +6$ representados em uma reta numérica.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, estime de forma fundamentada: o ponto médio exato entre $m$ e $n$ estará situado à esquerda ou à direita do zero? A distância total entre ambos será maior ou menor do que $|m|$? Explique no que você se baseia para intuir isso.
2. b) Calcule agora o valor numérico exato da distância que separa $m$ de $n$ na reta, apoiando-se no significado dos seus valores absolutos.
3. c) Determine que número inteiro representa o ponto médio entre $m$ e $n$. Verifique se a sua estimativa inicial do item a) estava correta e fundamente por que o sinal do ponto médio coincide com o sinal do número de maior valor absoluto.

Numa reta numérica foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. Sabendo que a distância entre o ponto $A$ e o ponto $B$ é de $15$ unidades e que o ponto $A$ corresponde ao número inteiro $-6$:

1. a) Determine que número inteiro representa o ponto $B$ se estiver à direita de $A$.
2. b) Calcule o valor de $|A| + |B|$.
3. c) Se colocarmos um novo ponto $C$ exatamente no meio do segmento que une $A$ e $B$, que número $C$ representaria?

Ordene os seguintes elementos matemáticos do menor para o maior, calculando previamente o valor numérico de cada um:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Um arqueólogo está estudando uma dinastia antiga. Ele sabe que o primeiro rei da dinastia nasceu no ano $42$ a.C. e morreu aos $65$ anos de idade. Seu filho, o herdeiro, nasceu quando o pai tinha $28$ anos e reinou durante $35$ anos após a morte de seu pai.

1. a) Utilize números inteiros para representar os anos de nascimento e morte de ambos os personagens.
2. b) Em que ano terminou o reinado do filho? Expresse o resultado em formato cronológico (a.C. ou d.C.).

No seguinte plano cartesiano, um robô parte do ponto $P(-2, 3)$. Realiza três movimentos consecutivos:

1. Desloca-se $5$ unidades para a direita.

2. Desloca-se $7$ unidades para baixo.

3. Desloca-se $4$ unidades para a esquerda.

Em que quadrante o robô termina? Faça isso no seu caderno. Indique as coordenadas finais do ponto e calcule o valor absoluto da soma da sua nova abscissa ($x$) e da sua nova ordenada ($y$).

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou um contraexemplo em cada caso:

1. a) Se $a$ e $b$ são dois números inteiros negativos e $|a| < |b|$, então $a > b$.
2. b) O valor absoluto de um número inteiro é sempre maior do que o próprio número.
3. c) A distância entre qualquer número inteiro e o seu oposto é sempre um número par.
4. d) Se ao oposto de um número somarmos o seu valor absoluto, o resultado é sempre zero.

Estamos projetando um jogo em que um personagem deve saltar sobre plataformas numeradas com números inteiros. O personagem começa na plataforma $0$.

• O primeiro salto é de $+5$ unidades.

• O segundo salto tem o dobro do comprimento do primeiro, mas no sentido oposto.

• O terceiro salto o leva a uma plataforma cujo número é o oposto do número da plataforma em que ele se encontrava após o segundo salto.

• O quarto salto é de $-12$ unidades.

Em que plataforma ele se encontra no final? Desenhe a trajetória na reta numérica indicando cada passo.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um plano cartesiano, um quadrado tem dois dos seus vértices opostos nos pontos $A(-2, 3)$ e $C(4, -3)$.

1. Desenhe os eixos e posicione os pontos $A$ e $C$.

2. Determine as coordenadas dos outros dois vértices, $B$ e $D$, sabendo que o quadrado não está rotacionado (seus lados são paralelos aos eixos).

3. Quais são as coordenadas do ponto central onde se cruzam as diagonais do quadrado?

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Imagine dois números inteiros, $a$ e $b$. Sabemos que:

1. A distância entre $a$ e $0$ é de $7$ unidades.

2. A distância entre $a$ e $b$ é de $3$ unidades.

3. $b$ é menor do que $a$.

Determine todos os valores possíveis para $a$ e para $b$. Para cada caso, escreva o valor absoluto da soma $|a + b|$.

Para descobrir em que quadrante do plano cartesiano se situa o ponto $A(x, y)$, sabemos com total certeza que o oposto da abscissa é estritamente negativo ($op(x) < 0$) e que a ordenada cumpre $|y| = -y$, com $y \neq 0$. Dois estudantes do $1.º$ ano do Ensino Fundamental propõem duas formas distintas de descobrir:

• Método do Lucas: Escolha números concretos que cumpram as pistas (por exemplo, teste com $x = 3$ e $y = -2$), verifique que se ajustam às condições dadas e situe o ponto resultante nos quadrantes.

• Método da Júlia: Deduza algebricamente o sinal que $x$ deve ter a partir da definição de oposto e, depois, deduza o sinal de $y$ aplicando as propriedades do valor absoluto, sem inventar nenhum número em particular.

1. a) Aplique o método do Lucas com esse exemplo concreto e determine em que quadrante se encontra o ponto.
2. b) Aplique o método da Júlia, fundamentando com rigor os sinais de $x$ e de $y$ a partir das definições teóricas para chegar à conclusão geral.
3. c) Compare os dois caminhos: o método do Lucas garante que a conclusão serve para qualquer par de números que cumpra o enunciado, ou poderiam existir casos imprevistos? Explique por que o método da Júlia fornece uma justificativa matemática superior e mais segura.

Numa campanha oceanográfica no mar do Caribe, monitora-se a posição vertical de três sondas de medição, $S_1$, $S_2$ e $S_3$, cujas profundidades em relação ao nível do mar são expressas como números inteiros em metros (onde o nível do mar é $0\text{ m}$):

1. A sonda $S_1$ está submersa e a sua cota é um número inteiro negativo cujo valor absoluto é um múltiplo de $4$ compreendido estritamente entre $10$ e $18$, e além disso o seu valor absoluto é um múltiplo de $3$.

2. A cota da sonda $S_2$ é menor que a de $S_1$, e a sua distância à superfície excede a de $S_1$ em exatamente $6$ unidades.

3. A sonda $S_3$ está a uma cota tal que $|S_3|$ é exatamente igual à metade de $|S_1|$. Além disso, sabe-se que o oposto da cota de $S_3$ é um número positivo.

1. a) Reconstrua de forma fundamentada, justificando cada dedução, o valor numérico inteiro da cota a que opera cada uma das três sondas.

1. b) Modele a posição relativa das sondas ordenando-as da que está situada a maior profundidade até a mais próxima da superfície, por meio da cadeia de desigualdades correspondente com o símbolo $<$.

1. c) Se construirmos os pontos do plano cartesiano $P_1 = (S_1, S_2)$ e $P_2 = (op(S_3), S_1)$, determine em que quadrante se encontra cada ponto, justificando segundo o sinal das suas coordenadas.