Exercícios: Múltiplos, divisores e critérios de divisibilidade

Um gafanhoto está treinando para uma competição. Em cada salto, avança exatamente $6$ decímetros.

Escreva a distância total que ele percorreu após dar $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$ saltos. Como esses números são chamados em relação ao $6$?

Sabendo que a igualdade $15 \cdot 4 = 60$ é verdadeira, complete as seguintes frases usando corretamente as palavras múltiplo ou divisor:

1. a) O número $60$ é ____ de $15$.
2. b) O número $4$ é ____ de $60$.
3. c) O número $60$ é ____ de $4$.
4. d) O número $15$ é ____ de $60$.

Identifique quais dos seguintes números são divisores de $24$ realizando as divisões necessárias:

Lembre-se: Um número é divisor de outro se, ao dividi-los, o resto for igual a $0$.

Marta quer dividir $28$ adesivos entre seus $4$ amigos em partes iguais.

1. a) Quantos adesivos cada um receberá? Sobra algum?
2. b) $28$ é divisível por $4$?
3. c) $4$ é um divisor de $28$?

Um bibliotecário precisa colocar livros em prateleiras onde cabem exatamente $3$ livros em cada espaço. Para saber rapidamente se consegue completar as prateleiras sem que sobrem livros, ele utiliza o critério de divisibilidade do $3$.

Calcule a soma dos algarismos dos seguintes números e diga quais são divisíveis por $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Complete em seu caderno a seguinte tabela escrevendo SIM ou NÃO em cada célula, aplicando os critérios de divisibilidade que você aprendeu:

Um número é divisível por $4$ se os seus dois últimos algarismos são zeros ou formam um múltiplo de $4$.

Observe os seguintes anos e diga quais seriam "anos especiais" por serem divisíveis por $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Substitua a letra $A$ por um algarismo para que o número resultante seja múltiplo de $9$. Lembre-se de que a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

Num teste de Matemática do 1.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (1.º de ESO), o Marcos tem de classificar vários números segundo os critérios de divisibilidade e escreve as seguintes três afirmações na sua folha de respostas:

1. «O número $253$ é divisível por $3$ porque o seu último algarismo é $3$».

2. «O número $410$ é divisível por $4$ porque termina em $0$, e como $10$ é par, pode-se dividir duas vezes por $2$».

3. «O número $837$ é divisível por $9$ porque a soma dos seus algarismos é $8 + 3 + 7 = 18$, e $18$ é múltiplo de $9$».

A sua tarefa:

1. a) Indique, justificando, quais das três afirmações do Marcos são incorretas. Explique que erro conceitual ele cometeu em cada uma delas e qual é a regra correta que deveria ter aplicado de acordo com as anotações.
2. b) Aplique os critérios adequados aos números $253$ e $410$ e indique se são ou não divisíveis por $3$ e por $4$, respectivamente.

Para abrir o cadeado digital do armário da academia, a Sara deve digitar um código de quatro algarismos da forma $5\text{.}2A4$, em que $A$ é um algarismo desconhecido (de $0$ a $9$). A Sara se lembra de duas condições que o seu código cumpre:

• O número é divisível por $3$.

• O número não é divisível por $9$.

1. a) Escreva a soma dos algarismos do número em função de $A$ e encontre todos os valores possíveis que o algarismo $A$ pode assumir para que o número seja múltiplo de $3$.
2. b) Dos valores que você obteve, descarte justificadamente aqueles que façam com que o número seja divisível por $9$. Que números de quatro algarismos válidos restam?
3. c) Verifique se algum dos números válidos resultantes também é divisível por $4$ aplicando o critério dos dois últimos algarismos, sem fazer a divisão completa.

Um designer gráfico está organizando uma galeria de $30$ ícones quadrados idênticos para uma página da web. Ele quer dispô-los formando um retângulo completo (sem que sobrem ícones).

1. a) Encontre todas as formas possíveis de organizar os ícones (por exemplo: $1$ fileira de $30$).
2. b) Que relação matemática as dimensões desses retângulos têm com o número $30$?
3. c) Se o design só permite que o lado mais curto do retângulo tenha pelo menos $3$ ícones, quantas opções ele tem agora?

Observe o seguinte esquema de "salto de números" e complete as frases usando as palavras múltiplo, divisor ou divisível:

1. a) $60$ é .................... de $12$.
2. b) $12$ é .................... de $180$.
3. c) $180$ é .................... por $60$.
4. d) Se adicionarmos o número $5$ ao esquema, que relação ele teria com o $60$?

Em um abrigo de animais, receberam uma doação de $48$ latas de comida para gatos. Querem armazená-las em caixas pequenas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de latas e não sobre nenhuma.

1. a) Escreva todos os divisores de $48$.
2. b) Se o encarregado quer que em cada caixa haja mais de $5$ latas, mas menos de $15$, quais opções de embalagem ele tem? Indique o número de latas por caixa e quantas caixas seriam necessárias em cada caso.

Na aula de Educação Artística estamos criando padrões com ladrilhos quadrados. Para fazer um "superquadrado", precisamos que o número total de ladrilhos seja um quadrado perfeito.

1. a) Se tivermos uma caixa com $80$ ladrilhos, quantos ladrilhos sobram se quisermos formar o maior quadrado possível?

1. b) Quantos ladrilhos nos faltariam, no mínimo, para podermos formar o quadrado seguinte, de tamanho maior?

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou um contraexemplo em cada caso:

1. a) Se um número é divisor de $10$, também é divisor de todos os múltiplos de $10$ (como $20, 30, 40...$).
2. b) O conjunto dos divisores de um número é infinito.
3. c) Se um número $a$ é múltiplo de $b$, então $b$ é divisor de $a$.
4. d) Qualquer número natural é, no mínimo, divisível por si mesmo e pela unidade.

Encontre o valor do algarismo ausente, representado pela letra $A$, em cada um destes números para que a condição indicada seja cumprida:

1. a) $24A$ é divisível por $4$ e por $3$ ao mesmo tempo.
2. b) $51A$ é divisível por $11$.
3. c) $A72$ é divisível por $9$, mas não por $10$.

Um confeiteiro assou uma bandeja de biscoitos. Ele sabe que tem mais de $70$ biscoitos, mas menos de $85$. Se os distribuir em caixas de $6$ unidades, não sobra nenhum. Se os distribuir em caixas de $9$, também não sobra nenhum.

1. a) Quantos biscoitos ele assou exatamente?
2. b) Justifique sua resposta utilizando os critérios de divisibilidade do $2$ e do $3$ para explicar por que o número é divisível por $6$.

Aplique o critério de divisibilidade do $11$ para determinar quais dos seguintes números são múltiplos de $11$. Para aqueles que não forem, indique quanto você deveria somar a eles para que fossem:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

O departamento de Educação Física de uma escola organiza um dia de caminhada para os $198$ estudantes do 1.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (1.º de ESO). Querem distribuí-los em grupos iguais, com um mínimo de $10$ e um máximo de $25$ alunos por grupo, de modo que nenhum aluno fique sem grupo e todos os grupos tenham exatamente o mesmo tamanho.

1. a) Estime: Antes de procurar divisores, arredonde $198$ para $200$ e calcule mentalmente quantos grupos resultariam aproximadamente se fossem feitos grupos de $10$, $15$ ou $20$ alunos. A partir dessa estimativa e utilizando os critérios de divisibilidade, justifique por que é impossível que os grupos sejam exatamente de $10$ ou de $20$ alunos.
2. b) Calcule: Utilizando os critérios de divisibilidade (do $2$, do $3$, do $5$, do $9$ e do $11$) e a decomposição em fatores primos de $198$ que deles se deduz, analise quais são os números compreendidos entre $10$ e $25$ que são divisores exatos de $198$. Deduza todas as formas possíveis de organizar a atividade (indicando quantos grupos se formam e quantos alunos vão em cada um).
3. c) Verifique: Reflita sobre os seus resultados: por que não é possível formar grupos de $15$ alunos, apesar de $198$ ser divisível por $3$?

Uma cooperativa de azeite de Jaén embala um lote especial de $2\text{.}772\text{ litros}$ de azeite virgem extra. Pretendem comercializar todo o lote em garrafões idênticos de capacidade inteira (sem decimais), sem que sobre nem falte azeite nenhum. A cooperativa dispõe de recipientes comerciais padrão com as seguintes capacidades: $2\text{ L}$, $3\text{ L}$, $4\text{ L}$, $5\text{ L}$, $9\text{ L}$, $10\text{ L}$ e $11\text{ L}$.

1. a) Aplique detalhadamente os critérios de divisibilidade da unidade para determinar quais desses recipientes podem ser utilizados para embalar exatamente os $2\text{.}772\text{ litros}$ sem fazer divisões com lápis e papel.
2. b) Se a cooperativa decidir usar os maiores garrafões possíveis dentre os válidos da lista anterior para economizar recipientes, qual deve escolher? Quantos garrafões encherá no total?
3. c) Um distribuidor solicita a embalagem de parte do lote em garrafões de $6\text{ litros}$. Sem realizar a divisão $2\text{.}772 : 6$, justifique se é possível fazê-lo a partir das propriedades de divisibilidade que você já verificou no item (a).

Uma empresa de eventos quer organizar um show em uma sala retangular. Compraram um total de $150$ cadeiras. O organizador quer dispô-las de forma que todas as fileiras tenham o mesmo número de cadeiras, mas com as seguintes restrições:

• Deve haver mais de $5$ fileiras.

• Em cada fileira deve haver mais de $10$ cadeiras.

• O número de cadeiras por fileira deve ser um divisor de $450$, mas não pode ser múltiplo de $4$.

Encontre todas as formas possíveis de organizar as cadeiras (fileiras e cadeiras por fileira) que cumpram essas condições.

Considere um número natural $n$ que cumpre as seguintes duas propriedades:

1. $n$ é um múltiplo comum de $12$ e $15$.

2. $n$ é um divisor de $360$.

Escreva todos os valores possíveis de $n$. Para cada valor encontrado, indique qual é o menor divisor (diferente de $1$) e o menor múltiplo de $n$ que seja maior que $1\,000$.

Descubra o valor dos algarismos desconhecidos $A$ e $B$ no número $5A1B$ sabendo que:

• O número é divisível por $2$ e por $3$ ao mesmo tempo.

• O número é um múltiplo de $11$.

• O algarismo $A$ é um divisor de $16$ e o algarismo $B$ é um múltiplo de $4$ (diferente de zero).

Justifique passo a passo como você descarta as opções até encontrar o número correto.

Um hacker deixou uma pista para decifrar a senha de um servidor. A senha é o menor número de quatro algarismos, $2A3B$, que cumpre simultaneamente estas três condições:

• É divisível por $2$, mas não por $4$.

• É divisível por $9$.

• É divisível por $5$.

Qual é a senha do servidor? Justifique sua resposta aplicando os critérios passo a passo.

Em uma convenção de videogames, o número de participantes é um valor compreendido entre $700$ e $750$. Se sabemos que esse número é divisível por $3$, por $11$ e por $2$ ao mesmo tempo, quantas pessoas participaram exatamente da convenção? Explique como você descartou as outras possibilidades.

Procure todos os valores possíveis para os algarismos $X$ e $Y$ de modo que o número de cinco algarismos $4X12Y$ seja divisível por $4$ e por $9$ ao mesmo tempo. Considere que pode haver mais de uma combinação correta.

Um número capicua de três algarismos é aquele que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda (por exemplo, $525$). Encontre um número capicua de três algarismos que seja divisível por $11$ e que, ao somar os seus algarismos, o resultado seja um múltiplo de $3$. É a única solução possível?

Determine, sem realizar a divisão longa, se o número $N = 10^5 + 8$ é divisível por $2, 3, 4, 9$ e $11$. Justifique cada resposta enunciando a propriedade ou o critério de divisibilidade correspondente. (Dica: escreva primeiro o número com todos os seus algarismos).

Para verificar se o número $43\text{.}956$ é divisível por $4$, por $9$ e por $11$, três estudantes do 1.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (1.º de ESO) propõem caminhos diferentes:

• Beatriz (Método 1 - Divisão tradicional): Prefere fazer as três divisões com lápis e papel ($43\text{.}956 : 4$, $43\text{.}956 : 9$ e $43\text{.}956 : 11$) e verificar se o resto é $0$.

• Clara (Método 2 - Critérios de divisibilidade): Aplica as regras teóricas da unidade: observa os dois últimos algarismos para o $4$, soma os algarismos para o $9$ e subtrai a soma de posições ímpares e pares para o $11$.

• Diana (Método 3 - Decomposição inteligente): Observa que $43\text{.}956 = 44\text{.}000 - 44$. Como $44\text{.}000$ e $44$ são múltiplos evidentes de $4$ e de $11$, deduz que a sua diferença também o deve ser.

Sua tarefa:

1. a) Aplique o método da Clara passo a passo para verificar a divisibilidade de $43\text{.}956$ por $4$, $9$ e $11$.
2. b) Desenvolva o método da Diana para analisar a divisibilidade por $4$ e por $11$. Em seguida, tente usar a decomposição dela para decidir se é divisível por $9$: $44\text{.}000$ ou $44$ são múltiplos de $9$? O que acontece neste caso?
3. c) Compare os três métodos: qual é o mais rápido para este número específico? Se você tivesse de analisar o número $43\text{.}951$, o método da Diana continuaria sendo vantajoso em relação ao da Clara? Justifique qual você escolheria como regra geral.

Uma instituição bancária gera códigos de segurança de quatro dígitos da forma $C = A\text{.}32B$ (onde $A$ representa o algarismo dos milhares e $B$ o das unidades). Para que o sistema aceite o código, devem ser cumpridas simultaneamente três condições:

1. O número é divisível por $4$ e por $5$ ao mesmo tempo.

2. O número é divisível por $11$.

3. O número é divisível por $3$, mas não é divisível por $9$.

1. a) Deduza de forma ordenada, aplicando os critérios de divisibilidade, o valor obrigatório que o algarismo $B$ deve assumir. Em seguida, demonstre que só existe um valor possível para o algarismo $A$. Qual é o código $C$ definitivo?
2. b) O profissional de TI do banco afirma: «Qualquer número de quatro algarismos que termine nos mesmos dois algarismos que $C$ será divisível por $4$, independentemente de quais algarismos coloquemos nos milhares e nas centenas». Apoiando-se na explicação teórica das anotações sobre o número $100$ ($100 = 4 \cdot 25$), justifique se esta afirmação é verdadeira ou falsa.
3. c) Sem fazer divisões longas, justifique de forma fundamentada se o código obtido $C$ é divisível por $33$ e se é divisível por $60$, utilizando as propriedades dos múltiplos e divisores.