Exercícios: Monômios e operações com monômios

No mundo da álgebra, nem todas as expressões são "monômios". Lembre-se de que um monômio é o produto de um número por uma letra (ou várias) com expoentes naturais. Indique quais das seguintes expressões são monômios e quais não são. Em caso negativo, explique o motivo:

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Copie a seguinte tabela em seu caderno e complete os elementos que faltam para cada monômio. Tenha cuidado com os sinais e os expoentes invisíveis!

Dois monômios são "semelhantes" se têm exatamente a mesma parte literal. Na lista a seguir, há três pares de monômios semelhantes escondidos. Encontre-os e agrupe-os!

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Simplifique estas expressões somando ou subtraindo os monômios que forem semelhantes. Se não for possível simplificar, indique o motivo:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Em um videogame de aventura, seu personagem coleta gemas de energia. As gemas vermelhas valem $x$ pontos cada uma. Se durante a primeira fase você conseguir $5x$ gemas, na segunda encontrar outras $8x$ e na terceira perder $3x$ por causa de um feitiço, simplifique a expressão para saber quantas gemas você tem no final.

Para organizar uma festa, você compra pacotes de refrigerante. Cada pacote contém $6$ latas e o preço de uma lata é $y$ reais. Se você comprar $4$ pacotes iguais, escreva o monômio que representa o custo total da compra.

Um agricultor tem uma horta retangular para plantar tomates. Ajude-o a calcular a expressão da área da horta multiplicando os seguintes monômios:

Realize as seguintes multiplicações de monômios lembrando que se multiplicam os coeficientes entre si e se somam os expoentes das letras iguais:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

A Júlia está revendo as operações com monômios e no seu caderno deixou escritas estas duas afirmações:

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifique o erro conceitual que a Júlia cometeu em cada uma das duas operações. Explique, apoiando-se na propriedade distributiva e na definição de monômios semelhantes, por que os raciocínios dela estão errados. Por último, escreva as respostas corrigidas para ambos os casos.

Queremos descobrir a identidade de um monômio desconhecido, ao qual chamaremos $M$, do qual conhecemos as seguintes pistas:

1) O seu coeficiente é um número inteiro negativo estritamente maior do que $-5$.

2) A sua parte literal é formada pelas letras $x$ e $y$, ambas com expoente maior ou igual a $1$.

3) Ao multiplicar o monômio desconhecido $M$ pelo monômio $3x^2y$, obtém-se um monômio de coeficiente $-12$ e grau total $6$.

Deduza e justifique de forma fundamentada o coeficiente e os possíveis valores dos expoentes de $M$. Escreva pelo menos um monômio que cumpra exatamente todas as condições e, em seguida, proponha outro monômio diferente que seja semelhante a ele.

Em um videogame de estratégia, os recursos são armazenados por meio de expressões algébricas. Complete a seguinte tabela para que o programador possa organizar o inventário corretamente:

Você está organizando os arquivos do seu computador. Para economizar espaço, só pode somar ou subtrair aqueles "arquivos" (monômios) que forem semelhantes. Reduza a seguinte expressão ao máximo:

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Na loja de histórias em quadrinhos, $x$ representa uma quantidade de mangás. Se o Luis comprar o triplo do quadrado dessa quantidade e depois descontarem dele o dobro do quadrado dessa quantidade, que monômio representa a quantidade final de mangás que ele pagou? Escreva a operação e simplifique.

Um servidor de streaming divide um pacote de dados de tamanho $24x^6$ entre $4x^2$ usuários. Escreva o monômio que representa a quantidade de dados que cada usuário recebe.

Deseja-se cercar com uma fita LED uma estante com uma forma poligonal especial. Calcule o monômio que representa o perímetro total da figura somando seus lados:

Simplifique as seguintes divisões de monômios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Aplique a propriedade distributiva para eliminar os parênteses e reduza os termos semelhantes na seguinte expressão:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Determine a expressão da área do seguinte retângulo na forma de monômio. Lembre-se de que a área é calculada multiplicando a base pela altura ($A = b \cdot h$).

Numa estação meteorológica do INMET na Serra da Mantiqueira analisam-se as nevascas para avaliar o peso que as coberturas dos edifícios suportam. Num galpão de armazenamento com telhado plano retangular, o comprimento do galpão mede $4x$ metros, a largura mede $3x$ metros e a espessura da camada de neve acumulada após uma tempestade é medida como $0,05x$ metros.

1. a) Calcule o monômio simplificado que modela o volume de neve depositada sobre o telhado (em $\text{m}^3$). Especifique claramente o seu coeficiente, a sua parte literal e o seu grau.
2. b) Sabendo que cada metro cúbico dessa neve tem uma massa média de $120\text{ kg}$, obtenha o monômio simplificado que representa a massa total de neve acumulada sobre o telhado.
3. c) Se numa inspeção técnica se verificar que $x = 2\text{ metros}$, calcule a massa total real de neve que o galpão suporta e reflita se as dimensões calculadas para o telhado ($4x$ de comprimento por $3x$ de largura) são verossímeis na realidade.

Propomos que você analise a seguinte operação combinada entre monômios:

1. a) Estime sem calcular: Antes de realizar as operações numéricas passo a passo, raciocine qual deve ser o grau do monômio resultante do primeiro bloco (a fração algébrica) e que sinal terá o seu coeficiente. A partir daí, deduza se será possível ou não subtrair dele o termo $- 5x^4$.
2. b) Verifique calculando: Resolva a expressão passo a passo respeitando a prioridade das operações: primeiro multiplique os monômios do numerador, depois divida pelo denominador e, por último, efetue a subtração de termos semelhantes.
3. c) Avalie: Compare o resultado final com as suas previsões do item a). O grau e o sinal coincidiram com o que você tinha raciocinado previamente? Justifique por que o resultado final é um monômio e não uma expressão irredutível de dois termos.

Um artista urbano está projetando um mural com formas geométricas entrelaçadas. O desenho central consiste em um grande retângulo de base $5x^2$ e altura $3y$. Dentro desse retângulo, o artista deixa um espaço sem pintar em forma de triângulo cuja base mede $2x^2$ e a altura é de $y$. Escreva o monômio simplificado que represente a área que finalmente será pintada de colorido.

Observe a seguinte torre construída com cubos decorativos. Cada cubo tem uma aresta que mede $a$ cm. Sabe-se que a face superior de cada cubo está pintada de ouro, e as faces laterais externas (que não estão tocando outro cubo) estão pintadas de prata.

1. Escreva o monômio que representa a área total pintada de ouro em uma torre de $n$ andares.

2. Escreva o monômio que representa a área total pintada de prata se a torre tiver exatamente 4 andares como a da imagem.

Complete a seguinte "Pirâmide de Monômios". Nesta pirâmide, o valor de cada casa é o produto dos dois monômios que estão abaixo dela. Você deve encontrar os monômios que faltam na base para que o monômio do topo seja o correto.

Invente dois monômios, $M_1$ e $M_2$, que satisfaçam a todas estas condições ao mesmo tempo:

1. Ambos devem ter como parte literal $a^2b$.

2. Sua soma deve ser um monômio cujo coeficiente seja $-10$.

3. Ao dividir $M_1$ por $M_2$, o resultado deve ser o número $4$.

Escreva os dois monômios e verifique se satisfazem às condições.

Observe o projeto desta área de jogos para um parque tecnológico. A prefeitura precisa calcular a área total para instalar gramado artificial de diferentes cores em cada seção.

Calcule, por meio de operações com monômios, as seguintes expressões:

1. A área da Zona A.

2. A área da Zona B (formada por dois triângulos iguais).

3. A área total do recinto simplificando a soma dos monômios resultantes.

Observe a seguinte sequência de figuras construídas com ladrilhos quadrados brancos e cinza. Os matemáticos chamam isso de "padrões de crescimento".

1. Se $n$ representa o número da figura, escreva um monômio que represente o número de ladrilhos cinza da figura $n$.

2. Escreva um binômio para o número de ladrilhos brancos da figura $n$.

3. Some as duas expressões para obter a expressão do total de ladrilhos. Qual figura teria no total 101 ladrilhos?

Um "Monômio Misterioso" perdeu algumas de suas partes após passar por uma máquina de operações. Sua missão é reconstruir a igualdade original encontrando o monômio que falta em cada caso (representado pelo sinal $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Simplifique a seguinte expressão combinada, prestando muita atenção à ordem das operações e às propriedades das potências:

Explique passo a passo como você reduziu cada termo antes de realizar a soma e a subtração final. Qual é o grau do polinômio resultante antes da simplificação total?

Numa aula de revisão, o professor propõe simplificar a seguinte expressão com monômios:

Dois estudantes propõem duas estratégias distintas:

• Método do Marcos: Resolve primeiro a potência do parêntese no numerador, depois multiplica todos os monômios do numerador entre si e os do denominador entre si para formar uma única fração, e finalmente divide os coeficientes e subtrai os expoentes.

• Método da Sara: Após desenvolver a potência do parêntese, simplifica diretamente os fatores numéricos e as potências da mesma base compartilhados pelo numerador e pelo denominador antes de fazer os produtos completos.

1. a) Desenvolva e calcule a expressão passo a passo seguindo o Método do Marcos.
2. b) Desenvolva e calcule a expressão passo a passo seguindo o Método da Sara.
3. c) Compare ambos os procedimentos: chega-se ao mesmo resultado? Que vantagens e desvantagens cada estratégia apresenta em relação ao tamanho dos números intermediários e ao risco de erro? Justifique qual você escolheria se os coeficientes fossem números muito maiores.

Uma fábrica de papelão de Belo Horizonte produz caixas sem tampa a partir de uma folha retangular de papelão cujas dimensões são $6x$ metros de comprimento por $4x$ metros de largura. Para montar cada caixa, recorta-se em cada um dos quatro cantos da folha um quadrado de lado $y$ metros (com $y < 2x$) e dobram-se as quatro abas resultantes para cima.

1. a) Escreva a expressão algébrica que representa a superfície útil de papelão com que se constrói a caixa (a área inicial da folha menos os quatro cantos recortados). Justifique se a referida expressão é ou não um monômio de acordo com a definição formal.
2. b) A equipe de design estabelece que, para manter sempre as proporções ótimas, o corte dos cantos deve ser exatamente $y = 0,5x$:

1. Substitua essa condição na expressão da superfície útil e simplifique-a até obter um único monômio. Indique o seu coeficiente, parte literal e grau.

2. Determine os monômios que representam o comprimento da base, a largura da base e a altura da caixa depois de dobrada.

3. Encontre o monômio simplificado que modela o volume interno da caixa.

1. c) Um cliente encomenda uma série de caixas que possam comportar um volume mínimo de $7500\text{ litros}$ ($7,5\text{ m}^3$). Se a fábrica ajustar o maquinário para que $x = 1\text{ metro}$, verifique, por meio do cálculo do volume do monômio obtido, se a caixa cumpre o pedido do cliente e justifique a sua resposta.