Combinatoria

Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.

Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.

Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.

Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.

Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$:

$3 \cdot V_{n, 3} = 4 \cdot V_{n-1, 3}$

Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.

Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.

Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.

Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.

En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".

En una liga comarcal de pádel se han inscrito $8$ parejas. En la primera fase, la organización establece una liguilla de todos contra todos a una única vuelta (cada pareja se enfrenta exactamente una vez con cada una de las demás).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo exacto, haz una estimación intuitiva: ¿crees que el número total de partidos necesarios estará más cerca de $25$, de $50$ o de $100$? Escribe tu estimación inicial y argumenta brevemente tu intuición.
2. b) Modela la situación identificando la técnica combinatoria adecuada y calcula el número exacto de partidos que se disputarán.
3. c) Compara el valor obtenido con tu estimación inicial y reflexiona sobre por qué en problemas de recuento de emparejamientos la intuición suele tender a sobreestimar el resultado.

En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.

Un centro comarcal de emergencias médicas organiza turnos nocturnos en los que cada guardia debe ser cubierta por una pareja de $2$ médicos. Actualmente, combinando a los médicos de la plantilla disponible, se pueden formar exactamente $66$ parejas de guardia distintas (sin importar el orden en que se asignen dentro de la pareja).

1. a) Plantea una ecuación a partir de la fórmula combinatoria correspondiente y resuelve cuántos médicos componen la plantilla actual.
2. b) Con vistas a la temporada de verano, la dirección calcula que necesitará disponer de al menos $105$ parejas de guardia distintas para evitar la sobrecarga de trabajo y asegurar una rotación adecuada. ¿Cuántos médicos adicionales, como mínimo, deberá contratar el centro comarcal?

Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.

Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.

Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.

Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.

De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.

Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.

En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.

Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.

En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.

Un mensajero en bicicleta debe desplazarse por el trazado en cuadrícula regular de una zona céntrica de La Paz. Debe partir del almacén central y entregar un paquete urgente en un punto situado exactamente a $6$ calles hacia el Este y $4$ calles hacia el Norte. Para que el recorrido sea de distancia mínima, en cada cruce solo puede pedalear hacia el Este (E) o hacia el Norte (N). No obstante, el Gobierno Autónomo Municipal ha cerrado al tráfico por obras la intersección situada a $3$ calles al Este y $2$ calles al Norte del almacén.

1. a) Justifica rigurosamente por qué el cálculo del total de rutas mínimas teóricas (sin considerar las obras) se puede modelizar tanto mediante permutaciones con repetición como mediante combinaciones, y calcula dicho número total.
2. b) Modela matemáticamente el número de trayectos que pasan forzosamente por la intersección cortada por las obras, dividiendo el viaje en dos etapas consecutivas independientes y aplicando el principio de la multiplicación.
3. c) Deduce el número final de rutas óptimas diferentes de las que dispone el mensajero para completar el encargo evitando la zona en obras.

Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.

Un inversionista desea repartir $70\,000$ bolivianos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $7\,000$ bolivianos (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ bolivianos en alguna de ellas), determina de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.

La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.