Valor absoluto de un número real

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.

Lucas intenta resolver en la pizarra la ecuación $|3x - 6| = -9$ y escribe el siguiente desarrollo:

$3x - 6 = -9 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

$3x - 6 = 9 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Por tanto, afirma convencido de que la ecuación tiene dos soluciones: $x = -1$ y $x = 5$.

1. a) Sin necesidad de sustituir los valores obtenidos en la ecuación original, explica qué error conceptual comete Lucas ya desde el primer paso.
2. b) Determina cuál es el verdadero conjunto de soluciones y justifica tu respuesta apoyándote en la interpretación geométrica del valor absoluto como distancia.
3. c) ¿Qué condición debería cumplir el número situado al otro lado de la igualdad para que el método de desdoblar en dos casos con signos opuestos hubiese sido válido?

Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.

Resuelve la ecuación $|x - 4| = 3$.

Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.

Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.

Considera la ecuación con dos valores absolutos $|x - 1| + |x - 7| = 10$.

1. a) Interpreta geométricamente $|x - 1|$ y $|x - 7|$ como las distancias de un número real $x$ a los puntos $1$ y $7$ en la recta numérica. ¿Cuánto vale la suma de estas dos distancias si $x$ se sitúa en cualquier punto del interior del segmento $[1, 7]$?
2. b) A partir del razonamiento anterior, explica por qué es imposible que existan soluciones dentro del intervalo $[1, 7]$ y estima razonadamente, aprovechando la simetría de la recta real y sin realizar cálculos algebraicos, cuáles deben ser las dos soluciones exactas de la ecuación.
3. c) Resuelve la ecuación formalmente estudiando los tres intervalos determinados por los puntos críticos $x = 1$ y $x = 7$ (o definiendo el primer miembro como una función a trozos) y comprueba si tu estimación inicial era correcta.

Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.

Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.

Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.

Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1,2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.

Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología debe mantenerse a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. El experimento se arruina si la temperatura oscila en $2,5^\circ\text{C}$ o más. Escribe la condición de fracaso del experimento usando valor absoluto y resuélvela para hallar los intervalos de temperatura críticos.

Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1,5$ y $|t - 15| \le 2,5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.

Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.

Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.

La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.

Resuelve la inecuación fraccionaria $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

Para resolver la inecuación $|2x - 3| \le |x + 3|$, dos estudiantes de secundaria proponen caminos diferentes:

• Método A: Dividir la recta real en tres intervalos a partir de los puntos críticos que anulan cada valor absoluto ($x = -3$ y $x = 1,5$), reescribir la expresión sin barras en cada zona y resolver los tres sistemas resultantes.

• Método B: Como ambos miembros son no negativos para cualquier $x \in \mathbb{R}$, elevar ambos miembros al cuadrado obteniendo $(2x - 3)^2 \le (x + 3)^2$, y resolver mediante la factorización de una diferencia de cuadrados $(2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \le 0$.

1. a) Aplica el Método B factorizando la diferencia de cuadrados (sin desarrollar los binomios al cuadrado) para hallar el conjunto de soluciones en forma de intervalo.
2. b) Justifica formalmente por qué el Método B es matemáticamente riguroso en este ejercicio y explica por qué dejaría de ser aplicable de forma directa si la inecuación fuese $|2x - 3| \le |x + 3| - 4$.
3. c) Compara la carga algebraica y el riesgo de error entre ambos métodos. ¿Cuál de los dos resulta más ventajoso para inecuaciones de la forma $|A(x)| \le |B(x)|$?