Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones

Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.

En un examen de Matemáticas I, Marcos debe calcular el límite $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Escribe en su hoja: «Como $\lim \frac{2n^2+3}{n} = \infty$ y $\lim 2n = \infty$, entonces el resultado es $\infty - \infty = 0$».

1. a) Explica razonadamente por qué el argumento de Marcos es matemáticamente incorrecto y qué significa en realidad que $\infty - \infty$ sea una indeterminación.
2. b) Resuelve el límite de forma rigurosa transformando la expresión mediante un común denominador.

Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.

Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.

Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.

Dada la sucesión de término general $a_n = \frac{6n^2 + 50n}{2n^2 - 7}$:

1. a) Calcula mentalmente o con ayuda de la calculadora los términos $a_{10}$, $a_{100}$ y $a_{1000}$ (redondeando a dos cifras decimales) y, a partir de ellos, emite una estimación razonada sobre cuál será el valor hacia el que tiende la sucesión cuando $n \to \infty$.
2. b) Calcula de manera formal el $\lim_{n \to \infty} a_n$ aplicando las reglas operacionales para cocientes de polinomios (dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia de $n$).
3. c) Compara tu estimación inicial con el resultado exacto obtenido y reflexiona sobre la influencia del término lineal $50n$ a medida que $n$ se hace arbitrariamente grande.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) publica periódicamente indicadores sobre sostenibilidad urbana. En una región de España que ha implantado un plan intensivo de reciclaje de residuos tecnológicos, se modeliza el porcentaje de aparatos recogidos adecuadamente tras $n$ años de campaña mediante la sucesión:

1. a) Determina el porcentaje de recogida estimado para el primer año ($n = 1$) y para el cuarto año ($n = 4$).
2. b) Calcula $\lim_{n \to \infty} P_n$ detallando cada paso en la resolución de la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) La Unión Europea establece como objetivo que los municipios superen de forma continuada el $80\,\%$ de recogida selectiva. A partir del valor del límite obtenido, interpreta si esta región conseguirá a largo plazo estabilizarse por encima de dicha meta o si el plan resultará insuficiente.

El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el número de seguidores en miles. ¿Hacia qué valor se estabiliza la audiencia del canal a muy largo plazo?

Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.

Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$

Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$

La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación cuando $n \to \infty$.

Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas:

$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$

Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$

Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$

La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.

Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.

El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este índice cuando $n \to \infty$.

Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$

En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina el valor del límite de la sucesión $E_n$ cuando $n \to \infty$.

Para resolver el límite $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 2n}\right)$, tres alumnos de 1.º de Bachillerato proponen estrategias distintas:

• Lucía (Método A): Extrae $n$ como factor común escribiendo $n\left(\sqrt{1 + \frac{6}{n}} - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)$, sustituye $\frac{6}{n} \to 0$ y $\frac{2}{n} \to 0$, y concluye que el límite es $\infty \cdot (1 - 1) = \infty \cdot 0 = 0$.

• David (Método B): Multiplica y divide por el conjugado de la expresión para transformar la indeterminación $\infty - \infty$ en un cociente de infinitos.

• Elena (Método C): Completa cuadrados dentro de cada raíz observando que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9$ y que $n^2 - 2n = (n-1)^2 - 1$. Razona que para valores gigantescos de $n$, los números $-9$ y $-1$ son despreciables frente a los cuadrados, por lo que aproxima la resta por $(n+3) - (n-1) = 4$.

Tareas:

1) Explica con precisión por qué el razonamiento de Lucía es incorrecto y en qué punto comete un error lógico.

2) Desarrolla por completo el cálculo aplicando el Método B de David y obtén el valor exacto del límite.

3) Compara la validez formal del método de David frente a la aproximación heurística de Elena: ¿puede considerarse la propuesta de Elena una demostración rigurosa en un examen o solo una conjetura intuitiva? Justifica tu respuesta.

Considera la familia de sucesiones dependiente de dos parámetros reales $a, b \in \mathbb{R}$ dada por:

1. a) Analiza qué tipo de comportamiento o indeterminación presenta $\lim_{n \to \infty} x_n$ cuando $a < 0$, cuando $a = 0$ y cuando $a > 0$ con $a \neq 3$. Deduce razonadamente qué valor debe tener necesariamente el parámetro $a$ para que el límite sea un número real finito.
2. b) Fijado ese valor de $a$, determina el valor exacto del parámetro $b$ para que se verifique la igualdad $\lim_{n \to \infty} x_n = -1$.
3. c) Con los parámetros $a$ y $b$ hallados, analiza si los términos de la sucesión se aproximan a $-1$ por encima (valores mayores que $-1$) o por debajo (valores menores que $-1$) para valores grandes de $n$. Justifica tu conclusión estudiando el signo de la diferencia $x_n - (-1)$.

Diseña el término general de una sucesión racional $a_n = \frac{p\cdot n + q}{r\cdot n + s}$ (con $p, q, r, s \in \mathbb{R}$ y $r \neq 0$) que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1) Su límite al infinito sea exactamente $4$: $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$.

2) Su primer término sea $a_1 = 1$.

3) La sucesión sea estrictamente creciente para todo $n \ge 1$ (es decir, $a_{n+1} > a_n$).

Explica la deducción paso a paso de los valores que eliges para los coeficientes y demuestra algebraicamente que la sucesión que has propuesto es estrictamente creciente para todo $n \ge 1$.

Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.

Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.

Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.

La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados Celsius por encima de la temperatura ambiente. Determina el límite de esta temperatura.

En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración límite a largo plazo es $e^6$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$?

Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.