El método de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Elena intenta escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss:

En el primer paso, elimina la incógnita $x$ de la segunda y de la tercera ecuación haciendo $E_2 \leftarrow E_2 - 2E_1$ y $E_3 \leftarrow E_3 - 3E_1$, obteniendo correctamente:

Para el segundo paso, con el fin de eliminar la incógnita $y$ de la tercera fila, Elena decide sustituir $E_3$ por la combinación $E_3 \leftarrow 3E_3 - 5E_1$.

1. a) Explica detalladamente por qué la operación planteada por Elena es un error conceptual en el método de Gauss e indica qué efecto no deseado produce sobre el escalonamiento del sistema.
2. b) Escribe la transformación elemental correcta que debería haber aplicado Elena sobre $E_3$ utilizando la segunda ecuación.
3. c) Aplica dicha corrección, completa el escalonamiento y clasifica el sistema según su número de soluciones.

Imagina que te encuentras ante el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Para aplicar el método de Gauss, el primer objetivo es fijar un pivote en la primera posición de la primera fila. Se te presentan tres alternativas de inicio:

• Estrategia 1: Mantener el orden de las ecuaciones y operar con múltiplos cruzados ($E_2 \leftarrow 3E_2 - 2E_1$ y $E_3 \leftarrow 3E_3 - E_1$).

• Estrategia 2: Intercambiar la primera y la tercera fila ($E_1 \leftrightarrow E_3$) para que el coeficiente de $x$ sea $1$.

• Estrategia 3: Multiplicar la primera fila por $\frac{1}{3}$ ($E_1 \leftarrow \frac{1}{3}E_1$) para simplificarla antes de pivotar.

1. a) Compara las tres estrategias razonando cuál de ellas resulta más ventajosa para minimizar operaciones aritméticas y evitar la aparición de números grandes o fracciones incómodas.
2. b) Elige la estrategia que hayas considerado óptima y resuelve el sistema escalonándolo por Gauss y aplicando sustitución hacia atrás.

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$

Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.

Deseas construir una actividad de examen sobre el método de Gauss con discusión de soluciones. Para ello, partes de dos ecuaciones fijas:

Quieres añadir una tercera ecuación de la forma $3x + k\cdot y - z = c$ (donde $k$ y $c$ son números reales) de modo que, al triangular el sistema mediante combinaciones lineales estándar, los coeficientes de las tres incógnitas en la tercera ecuación se anulen simultáneamente ($0x + 0y + 0z$).

1. a) Aplica las transformaciones del método de Gauss tratando a $k$ y a $c$ como constantes y determina el valor numérico único que debe tomar $k$ para que los coeficientes de $y$ y de $z$ se anulen a la vez en la tercera fila.
2. b) Halla la expresión que queda en el término independiente tras dicho paso y deduce qué valor debe tener $c$ para que el sistema sea compatible indeterminado.
3. c) Escribe la solución general del sistema compatible indeterminado en función de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ y justifica qué ocurriría geométricamente con los tres planos representados por las ecuaciones si $c$ tomara cualquier otro valor diferente al obtenido.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$, donde cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional:

1. a) Triangula el sistema mediante el método de Gauss manteniendo los parámetros $a$ y $b$. A partir de la ecuación escalonada resultante en la última fila, clasifica razonadamente el sistema (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) según los distintos valores que puedan tomar $a$ y $b$.
2. b) Para el caso en el que el sistema es compatible indeterminado, resuélvelo expresando la solución general en función de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ e interpreta geométricamente la posición relativa de los tres planos.
3. c) Un estudiante afirma: «Si fijamos $a = 2$ y $b = 7$, el sistema resulta incompatible, lo cual demuestra necesariamente que el tercer plano es paralelo a uno de los dos primeros». Analiza la veracidad o falsedad de esta afirmación examinando los coeficientes de las ecuaciones originales y describe la configuración geométrica real de los tres planos en dicho caso.

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Kenia tiene el triple de dinero que Berta. Berta tiene el doble de dinero que Ionut. Entre los tres juntan $27$ bolivianos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?"

En una tienda de artículos deportivos se venden tres tipos de balones: de fútbol, de básquetbol y de voleibol. Un colegio compra $2$ balones de fútbol, $1$ de básquetbol y $1$ de voleibol por $560$ bolivianos. Otro colegio compra $1$ de fútbol, $2$ de básquetbol y $1$ de voleibol por $595$ bolivianos. Un tercer colegio compra $1$ de fútbol, $1$ de básquetbol y $2$ de voleibol por $525$ bolivianos. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss para calcular el precio de cada tipo de balón.

La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá el nieto en ese momento. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de los tres.

En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ litros con una concentración del $30\%$. Sabiendo que el volumen utilizado de la solución al $10\%$ debe ser igual al volumen de la solución al $50\%$, plantea y resuelve un sistema mediante el método de Gauss para determinar cuántos litros de cada solución se deben mezclar.

Una empresa invierte un total de $140\,000$ bolivianos en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un año, los intereses totales generados ascienden a $6\,860$ bolivianos. Si el dinero invertido en el fondo al $5\%$ es el doble del invertido en el fondo al $6\%$, calcula qué cantidad se destinó a cada fondo utilizando el método de Gauss.

Un laboratorio farmacéutico en Bolivia debe preparar exactamente $100\text{ ml}$ de un compuesto mezclando tres sustancias líquidas: $A$, $B$ y $C$. Se deben satisfacer tres condiciones:

1. El volumen conjunto de las tres sustancias debe ser de $100\text{ ml}$.

2. El costo por mililitro de cada sustancia es de $1,50$ bolivianos para $A$, $2,00$ bolivianos para $B$ y $4,50$ bolivianos para $C$. El presupuesto total exacto asignado a la mezcla es de $230$ bolivianos (lo que supone un costo medio global de $2,30$ bolivianos/ml).

3. Por estabilidad química, el volumen de la sustancia $C$ debe ser exactamente la cuarta parte de la suma de los volúmenes de $A$ y de $B$.

1. a) Fase de estimación previa: Deduce algebraicamente, relacionando de forma directa las condiciones 1 y 3 sin necesidad de plantear aún el método de Gauss, el volumen exacto que debe tener la sustancia $C$. Sabiendo que el costo medio de la mezcla es $2,30$ bolivianos/ml y que $C$ es el componente más caro ($4,50$ bolivianos/ml), estima razonadamente si en el resto de la mezcla deberá haber mayor volumen de la sustancia $A$ ($1,50$ bolivianos/ml) o de la $B$ ($2,00$ bolivianos/ml).
2. b) Fase de cálculo: Modela el problema mediante un sistema lineal $3 \times 3$, triangúlalo formalmente mediante el método de Gauss explicitando cada operación por filas y obtén los volúmenes exactos de cada líquido.
3. c) Fase de comprobación: Contrasta el resultado del sistema con tus estimaciones del apartado a) y valora la coherencia práctica de la solución hallada.

En un partido de básquetbol, un equipo ha anotado un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo que el número de canastas de $2$ puntos es igual a la suma de las canastas de $1$ y $3$ puntos más $5$, halla el número de canastas de cada tipo.

En un tren de alta velocidad de la Empresa de Ferrocarriles entre La Paz y Cochabamba viajan $60$ personas en un coche de pasajeros que va completamente lleno, repartidas en tres tipos de pasajes: Básico ($x$), Elige ($y$) y Prémium ($z$).

La recaudación total del coche asciende a $2.550$ bolivianos. Los precios de cada tipo de pasaje son: $30$ bolivianos el pasaje Básico, $45$ bolivianos el pasaje Elige y $70$ bolivianos el pasaje Prémium.

Además, la empresa informa de que el número de pasajeros que viajan con pasaje Básico es exactamente el doble que la suma de los que viajan con los otros dos pasajes juntos.

1. a) Modela la situación planteando un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
2. b) Triangula el sistema mediante el método de Gauss, detallando con claridad cada una de las operaciones entre filas realizadas.
3. c) Resuelve el sistema escalonado y comprueba si los valores obtenidos son enteros no negativos coherentes con el contexto real del problema.

Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se sabe que la cifra de las decenas es la media aritmética de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades. Plantea un sistema de ecuaciones y halla el número original.

Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan en $20$ horas. Si trabajan $A$ y $C$, lo terminan en $15$ horas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales (pista: usa como incógnitas la fracción de trabajo que hace cada máquina en una hora) y calcula cuánto tardaría cada máquina en hacer el lote trabajando sola.

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$