Ejercicios: Combinatoria

Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.

Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.

Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.

Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.

Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.

Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.

En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".

En una clase de 1.º de Bachillerato con $20$ estudiantes se debe elegir a un grupo de $3$ delegados solidarios para organizar una campaña comarcal de recogida de alimentos, de modo que los tres integrantes desempeñan exactamente las mismas funciones dentro del grupo. Marcos afirma: «Como para el primer delegado hay $20$ opciones, para el segundo $19$ y para el tercero $18$, el número total de grupos posibles es $V_{20,3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$». Explica detalladamente por qué el razonamiento de Marcos es erróneo, identifica qué concepto combinatorio no ha tenido en cuenta y calcula el número real de grupos distintos que se pueden formar.

En una liga comarcal de pádel se han inscrito $8$ parejas. En la primera fase, la organización establece una liguilla de todos contra todos a una única vuelta (cada pareja se enfrenta exactamente una vez con cada una de las demás).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo exacto, haz una estimación intuitiva: ¿crees que el número total de partidos necesarios estará más cerca de $25$, de $50$ o de $100$? Escribe tu estimación inicial y argumenta brevemente tu intuición.
2. b) Modela la situación identificando la técnica combinatoria adecuada y calcula el número exacto de partidos que se disputarán.
3. c) Compara el valor obtenido con tu estimación inicial y reflexiona sobre por qué en problemas de recuento de emparejamientos la intuición suele tender a sobreestimar el resultado.

Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.

Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.

Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.

Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.

Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.

En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.

De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.

Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.

Un centro comarcal de emergencias médicas organiza turnos nocturnos en los que cada guardia debe ser cubierta por una pareja de $2$ médicos. Actualmente, combinando a los médicos de la plantilla disponible, se pueden formar exactamente $66$ parejas de guardia distintas (sin importar el orden en que se asignen dentro de la pareja).

1. a) Plantea una ecuación a partir de la fórmula combinatoria correspondiente y resuelve cuántos médicos componen la plantilla actual.
2. b) Con vistas a la temporada de verano, la dirección calcula que necesitará disponer de al menos $105$ parejas de guardia distintas para evitar la sobrecarga de trabajo y asegurar una rotación adecuada. ¿Cuántos médicos adicionales, como mínimo, deberá contratar el centro comarcal?

El sistema ordinario de matriculación de vehículos en España (DGT) asigna a cada vehículo una matrícula formada por un bloque de $4$ dígitos numéricos seguido de un bloque de $3$ letras. Para los números se emplean los dígitos del $0$ al $9$, pudiendo repetirse libremente (desde 0000 hasta 9999). Para las letras se utilizan $20$ consonantes del alfabeto (se excluyen las cinco vocales para evitar acrónimos o palabras malsonantes, así como la Ñ y la Q para evitar confusiones visuales con la N y la O o el 0), permitiéndose también su repetición.

1. a) Modela la cantidad de combinaciones que aporta el bloque numérico y el bloque alfabético mediante las herramientas de combinatoria adecuadas, y deduce el número total de matrículas distintas que admite este sistema.
2. b) Según las estadísticas de matriculación de la DGT y las asociaciones del sector del automóvil, en España se matriculan anualmente alrededor de $1{,}2$ millones de vehículos que requieren este tipo de placa. Suponiendo un ritmo anual constante, estima cuántos años tardará el sistema en agotar todas sus matrículas y valora si el diseño es adecuado para el parque automotor español a mediano y largo plazo.

Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.

Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$:

$3 \cdot V_{n, 3} = 4 \cdot V_{n-1, 3}$

Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.

En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.

Un inversionista desea repartir $70\,000$ bolivianos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $7\,000$ bolivianos (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ bolivianos en alguna de ellas), determina de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.

Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.

En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.

La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.

Una comisión técnica de la Consejería de Medio Ambiente debe estar formada por $5$ especialistas elegidos entre un grupo de candidatos compuesto por $6$ biólogos, $5$ químicos y $4$ juristas. Por imperativo de la convocatoria, en la comisión debe figurar al menos un jurista. Para calcular el número total de comisiones posibles, tres miembros del tribunal proponen estrategias distintas:

• Estrategia A (Método directo): Descomponer el recuento en cuatro casos disjuntos según si la comisión tiene $1$, $2$, $3$ o $4$ juristas, calcular las combinaciones posibles en cada caso y sumarlas.

• Estrategia B (Método indirecto o complementario): Calcular el total de comisiones de $5$ personas que se pueden formar con los $15$ candidatos sin ninguna condición previa, y restar aquellas comisiones en las que no hay ningún jurista.

• Estrategia C (Asignación previa): Elegir en primer lugar a $1$ de los $4$ juristas disponibles para asegurar el requisito legal, y luego completar las $4$ plazas restantes eligiendo libremente entre los $14$ candidatos que quedan.

1. a) Analiza críticamente las tres estrategias: demuestra cuál de ellas comete un error conceptual grave de recuento (explicando qué elementos se cuentan repetidos) y compara la eficiencia de cálculo entre las dos válidas justificando cuál es preferible.
2. b) Aplica la estrategia válida más eficiente para calcular el número exacto de comisiones válidas que se pueden constituir.

Un mensajero en bicicleta debe desplazarse por el trazado en cuadrícula regular de una zona céntrica de La Paz. Debe partir del almacén central y entregar un paquete urgente en un punto situado exactamente a $6$ calles hacia el Este y $4$ calles hacia el Norte. Para que el recorrido sea de distancia mínima, en cada cruce solo puede pedalear hacia el Este (E) o hacia el Norte (N). No obstante, el Gobierno Autónomo Municipal ha cerrado al tráfico por obras la intersección situada a $3$ calles al Este y $2$ calles al Norte del almacén.

1. a) Justifica rigurosamente por qué el cálculo del total de rutas mínimas teóricas (sin considerar las obras) se puede modelizar tanto mediante permutaciones con repetición como mediante combinaciones, y calcula dicho número total.
2. b) Modela matemáticamente el número de trayectos que pasan forzosamente por la intersección cortada por las obras, dividiendo el viaje en dos etapas consecutivas independientes y aplicando el principio de la multiplicación.
3. c) Deduce el número final de rutas óptimas diferentes de las que dispone el mensajero para completar el encargo evitando la zona en obras.

Reto del tema. ¿Cuándo se agotará el sistema actual de placas en España? Tu misión es asesorar a las autoridades de tránsito analizando la caducidad del modelo actual y diseñando una alternativa viable.

1. Búsqueda de datos: Consulta en el portal del INE o de la DGT de España la cifra de registros de vehículos en España durante el último año (aproximadamente $1,1$ millones).

2. Análisis combinatorio: El sistema ordinario actual consta de $4$ dígitos ($0$ al $9$) y $3$ letras (se emplean $20$ consonantes, omitiendo vocales, Ñ y Q). Calcula mediante variaciones con repetición ($VR_{n,k}$) y el principio multiplicativo el número total de placas posibles.

3. Simulación en hoja de cálculo: Modela en una hoja de cálculo la evolución del parque automotor con el dato del INE para proyectar cuántos años de vigencia le quedan al sistema antes de colapsar.

4. Propuesta técnica: Diseña un nuevo formato de placa que multiplique al menos por $4$ la capacidad actual. Calcula su espacio muestral combinatorio y presenta tus conclusiones en un informe breve de una página.

Se valorará:

• Identificación y aplicación correcta de las herramientas de la combinatoria (variaciones, principio de multiplicación).

• Rigor en la obtención, tratamiento e interpretación de los datos reales del INE en la hoja de cálculo.

• Viabilidad, creatividad y fundamentación matemática del nuevo sistema propuesto.