Operaciones con fracciones algebraicas

Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Lucía tiene que simplificar en un examen la fracción algebraica $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$. Su desarrollo ha sido el siguiente: «Como aparece $x^2$ tanto en el numerador como en el denominador, cancelo ambos términos y me queda $\frac{-4x}{-16}$, que al simplificar los signos negativos y dividir entre $4$ resulta $\frac{x}{4}$».

1. a) Explica detalladamente qué error conceptual comete Lucía con respecto a la propiedad fundamental de simplificación de fracciones algebraicas (cancelación de sumandos frente a cancelación de factores).
2. b) Elige un valor numérico concreto para $x$ (por ejemplo, $x = 5$) que sirva de contraejemplo para demostrar que la fracción original y el resultado obtenido por Lucía no toman el mismo valor.
3. c) Realiza la simplificación correcta factorizando previamente por completo el numerador y el denominador.

Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

La base de un panel solar rectangular viene dada por la expresión $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metros, y su altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metros. Calcula el área del panel solar expresando el resultado como una única fracción algebraica simplificada.

Encuentra un polinomio $P(x)$ de segundo grado que haga cierta la siguiente igualdad de operaciones con fracciones algebraicas:

1. a) Plantea la división como una multiplicación por la fracción inversa y deduce la expresión factorizada de $P(x)$ tras simplificar los factores comunes.
2. b) Escribe el polinomio $P(x)$ en su forma polinómica desarrollada ($a \cdot x^2 + b \cdot x + c$).
3. c) Señala justificadamente qué valores reales de $x$ deben excluirse del dominio para que ninguna de las fracciones ni divisiones intermedias quede indefinida (denominadores nulos).

Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Efectúa la suma y resta de las siguientes fracciones algebraicas. Utiliza la regla de Ruffini y los productos notables para factorizar previamente los denominadores y hallar el mínimo común múltiplo:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

El costo medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de producción en miles de unidades. Por un ajuste de subvenciones, se le debe restar una tasa representada por la fracción $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcula la nueva expresión del costo medio simplificando previamente la primera fracción.

Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifica el resultado al máximo:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

Simplifica la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Simplifica la siguiente expresión algebraica iterada (fracción continua) operando desde el nivel más profundo hacia arriba, hasta obtener una fracción irreducible:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

En un circuito eléctrico, dos resistencias $R_1$ y $R_2$ están conectadas en paralelo. La resistencia equivalente $R_{eq}$ cumple la relación $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si el valor de las resistencias viene dado por los polinomios $R_1 = x^2 - 4$ y $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtén la expresión simplificada de la resistencia equivalente $R_{eq}$ en función de $x$.

La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ y la distancia de la imagen es $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determina la expresión algebraica simplificada de la distancia focal $f$.

Dos impresoras 3D industriales fabrican un lote de piezas trabajando en equipo. La primera impresora tarda $x$ horas en completar el trabajo sola, y la segunda tarda $x+3$ horas. La porción del trabajo que realizan juntas en una hora es la suma de sus tasas de trabajo individuales. Escribe y simplifica la fracción algebraica que representa dicha porción de trabajo por hora.

En una instalación solar fotovoltaica para autoconsumo en una explotación agraria de la Región de Murcia, se conectan en paralelo dos ramales de paneles cuyas resistencias internas son $R_1$ y $R_2$. La resistencia equivalente $R_{eq}$ del circuito viene dada por la relación física:

Debido a las oscilaciones térmicas durante la jornada, las resistencias de cada ramal (en ohmios) dependen de la temperatura $T$ del panel (en grados Celsius, con $T > 10$) según los modelos racionales:

1. a) Escribe las expresiones de $\frac{1}{R_1}$ y $\frac{1}{R_2}$ factorizando previamente sus términos y calcula la suma $\frac{1}{R_{eq}}$ reduciendo al mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. b) Obtén la expresión simplificada de $R_{eq}$ como una única fracción algebraica en función de $T$.
3. c) Si en las horas de máxima insolación estival se registra una temperatura de $T = 30\text{ }^\circ\text{C}$, calcula el valor exacto de $R_{eq}$ expresado como fracción irreducible y determina si se mantiene por debajo del límite reglamentario de seguridad de $0,7$ ohmios.

Dos cañerías de la red de distribución del Canal de Isabel II vierten agua simultáneamente a un depósito de retención en Madrid. La cañería moderna $A$ tarda $x$ horas en llenar el depósito completo en solitario, mientras que la cañería antigua $B$, con menor caudal, tarda $x + 4$ horas (con $x > 0$).

1. a) Estima: Sin realizar operaciones algebraicas exactas, considera el caso en que $x = 6$ horas (la tubería $A$ tarda 6 horas y la $B$ tarda 10 horas). Razona de forma cualitativa entre qué dos números enteros de horas debe situarse obligatoriamente el tiempo total de llenado conjunto $T$. (Pista: compara el caudal del sistema con dos situaciones hipotéticas: dos cañerías idénticas a la rápida o dos idénticas a la lenta).
2. b) Calcula: Sabiendo que los caudales horarios se suman (satisfaciendo la relación $\frac{1}{T(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$), opera y simplifica para expresar el tiempo conjunto $T(x)$ como una única fracción algebraica irreducible.
3. c) Comprueba y generaliza: Calcula el valor exacto de $T(6)$ a partir de la fórmula hallada, conviértelo a horas y minutos, y comprueba si tu estimación del apartado (a) fue correcta. A continuación, analiza el signo de la diferencia algebraica $T(x) - \frac{x}{2}$ y demuestra formalmente por qué el tiempo conjunto nunca podrá reducirse a la mitad del tiempo de la tubería más rápida, sea cual sea el valor de $x$.

En un laboratorio de óptica aplicada del CSIC, se ajusta un banco de pruebas que contiene una lente convergente delgada de distancia focal $f$ conocida y fija ($f > 0$). La distancia desde el objeto luminoso hasta la lente es $s$ (con $s > f$) y la distancia desde la lente hasta la imagen enfocada sobre una pantalla es $s'$. Dichas variables satisfacen la ecuación de Descartes:

1. a) Despeja $s'$ como una única fracción algebraica en función de $s$ y $f$. A partir de ella, obtén la expresión simplificada de la distancia total entre el objeto y la pantalla de proyección, $L(s) = s + s'$, como una única fracción algebraica con el denominador factorizado.
2. b) Problema inverso: Para verificar de forma puramente algebraica que la separación total entre objeto y pantalla nunca puede ser inferior a cuatro veces la distancia focal ($L(s) \ge 4f$), plantea la resta $D(s) = L(s) - 4f$, reduce a común denominador y factoriza completamente el numerador resultante reconociendo una identidad notable.
3. c) Analiza el signo del numerador y del denominador de la fracción obtenida para $D(s)$ teniendo en cuenta que $s > f$. Concluye rigurosamente por qué $L(s) \ge 4f$ y deduce razonadamente qué posición debe ocupar el objeto ($s$ en función de $f$) para lograr que la distancia entre objeto y pantalla sea exactamente la mínima posible ($4f$).

Demuestra que la siguiente igualdad algebraica es cierta para cualquier valor de las variables $x$ e $y$ que no anule los denominadores, desarrollando las operaciones y simplificando el miembro izquierdo:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Una lancha motora viaja por un canal desde el embarcadero hasta una boya a una velocidad $v+w$ (donde $w$ es la velocidad de la corriente a favor) y regresa a una velocidad $v-w$ (corriente en contra). La distancia entre los puntos es $d$. Obtén la expresión simplificada de la velocidad media del recorrido completo, dada por $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, y comprueba si es equivalente a la expresión $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

Determina los valores numéricos de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que se cumpla la siguiente identidad de descomposición en fracciones simples para todo $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Un circuito mixto tiene una resistencia equivalente entre los terminales A y B dada por la fórmula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Si los valores de las resistencias en ohmios vienen dados por las expresiones algebraicas $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ y $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcula la expresión simplificada de la resistencia equivalente $R_{eq}$.

Realiza las operaciones indicadas con tres variables y demuestra que el resultado final se simplifica a un número entero constante:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

En un laboratorio de química se tienen dos disoluciones de un mismo ácido. La primera tiene una concentración $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ y la segunda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Se mezclan volúmenes iguales de ambas disoluciones, por lo que la concentración de la mezcla resultante es la media aritmética de ambas concentraciones, es decir, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtén la expresión algebraica simplificada de la concentración final de la mezcla $C_m$.

El área superficial de un envase cilíndrico diseñado para minimizar el uso de material plástico viene dada por la expresión $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para analizar la tasa de cambio del material respecto al radio $x$, un ingeniero necesita calcular y simplificar la expresión del cociente de diferencias $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realiza esta operación y expresa el resultado como una única fracción algebraica simplificada en términos de $x$ y $h$.