Notación científica

Escribe en notación científica los siguientes números, ajustando la mantisa para que esté comprendida entre $1$ y $10$:

1. a) $0,000000456$
2. b) $34500000000$
3. c) $0,0023 \cdot 10^5$
4. d) $456 \cdot 10^{-4}$

Justifica si las siguientes expresiones están correctamente escritas en notación científica estandarizada. En caso negativo, corrígelas para que la mantisa $N$ cumpla $1 \le |N| < 10$:

1. a) $12,4 \cdot 10^3$
2. b) $0,85 \cdot 10^{-2}$
3. c) $1 \cdot 10^6$
4. d) $-45,2 \cdot 10^{-8}$

El diámetro de un glóbulo rojo humano es de aproximadamente $0,0075$ mm. Expresa esta cantidad en metros utilizando la notación científica.

La fortuna estimada de una de las personas más ricas del sector tecnológico asciende a $185000$ millones de dólares. Escribe esta cifra en notación científica.

Redondea los siguientes números para que tengan exactamente tres cifras significativas y, a continuación, exprésalos en notación científica:

1. a) $4567892$
2. b) $0,00034091$
3. c) $98,99$

Indica el orden de magnitud y el número de cifras significativas de las siguientes medidas experimentales:

1. a) $4,05 \cdot 10^8$ m
2. b) $1,200 \cdot 10^{-5}$ kg
3. c) $9 \cdot 10^{12}$ s

Ordena de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a notación científica normalizada y comparando sus órdenes de magnitud:

$A = 0,0045 \cdot 10^{-3}$

$B = 450 \cdot 10^{-8}$

$C = 0,45 \cdot 10^{-5}$

$D = 45000 \cdot 10^{-11}$

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones mentalmente (sin uso de calculadora), aplicando las propiedades de las potencias, y expresa el resultado en notación científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $\frac{8 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-7}}$
3. c) $(1,5 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^{-2})$

Efectúa las siguientes sumas y restas de números en notación científica que tienen el mismo exponente. Extrae factor común y da el resultado final:

1. a) $3,2 \cdot 10^5 + 4,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 3,2 \cdot 10^{-4}$
3. c) $5,15 \cdot 10^{12} + 2,03 \cdot 10^{12}$

En un examen, Sergio debe calcular la siguiente suma y ofrecer el resultado en notación científica:

Sergio escribe en su hoja:

«Como $3,5 + 2,5 = 6,0$ y $10^4 \cdot 10^5 = 10^9$, el resultado es $6,0 \cdot 10^9$».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Sergio al realizar la operación y explica por qué su razonamiento contradice las propiedades de las potencias y del factor común.
2. b) Resuelve correctamente la operación paso a paso, mostrando la igualación previa de exponentes, y expresa el resultado en notación científica formal.

Según datos del Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), el consumo eléctrico medio por hogar en España es de unos $9\text{ kWh}$ diarios, equivalentes a $3,24 \cdot 10^7\text{ J}$. Se desea calcular la energía anual total consumida por una urbanización de $50$ viviendas ($5 \cdot 10^1$ hogares) durante un año común de $365$ días ($3,65 \cdot 10^2$ días).

1. a) Sin emplear calculadora, haz una estimación previa redondeando las mantisas al entero más cercano para predecir exclusivamente el orden de magnitud (la potencia de $10$) del resultado final.
2. b) Efectúa el cálculo algebraico exacto expresando el resultado en notación científica.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial coincidió con el orden de magnitud obtenido y argumenta por qué estimar previamente el exponente ayuda a evitar errores típicos al introducir potencias en la calculadora.

Efectúa las siguientes sumas y restas ajustando previamente los exponentes para poder extraer factor común. Expresa el resultado final en notación científica:

1. a) $4,5 \cdot 10^7 + 3,8 \cdot 10^8$
2. b) $9,2 \cdot 10^{-5} - 6,1 \cdot 10^{-6}$

Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado final en notación científica, redondeando a tres cifras significativas:

$\frac{(2,5 \cdot 10^6) \cdot (4,2 \cdot 10^{-3})}{3,1 \cdot 10^{-4} + 1,9 \cdot 10^{-5}}$

En un laboratorio de microelectrónica se analizan dos partículas cuyas cargas eléctricas, $A$ y $B$, vienen dadas en notación científica estricta: $A = a \cdot 10^p$ y $B = b \cdot 10^q$, con $1 \le a, b < 10$ y $p, q \in \mathbb{Z}$. Se desconocen sus valores individuales, pero se han determinado experimentalmente su producto y su cociente:

1. a) Plantea el sistema que relaciona ambas cantidades y resuelve algebraicamente el valor exacto de $A$ y de $B$.
2. b) Escribe $A$ y $B$ en notación científica formal, especificando con claridad para cada uno su mantisa y su orden de magnitud, y verifica que las mantisas obtenidas cumplen estrictamente la condición $1 \le |m| < 10$.

Al medir la distancia entre dos ciudades mediante un sistema GPS se obtiene un valor real de $456321$ m. Un mapa turístico aproxima esta distancia dando un valor de $4,56 \cdot 10^5$ m. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos al usar la aproximación del mapa. Expresa ambos errores en notación científica.

De acuerdo con los informes del Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico (MITECO), la capacidad total máxima de los embalses en España es de $5,60 \cdot 10^4\text{ hm}^3$. Tras un año de precipitaciones escasas, la reserva hidráulica peninsular se encuentra al $38,0\,\%$ de dicha capacidad máxima.

Dato: $1\text{ hm}^3 = 10^6\text{ m}^3 = 10^9\text{ L}$.

1. a) Modela la situación expresando en notación científica el volumen de agua almacenada tanto en metros cúbicos ($\text{m}^3$) como en litros ($\text{L}$).
2. b) Si el consumo conjunto estimado para todos los usos (urbano, regadío e industrial) es de $3,20 \cdot 10^7\text{ m}^3$ diarios y se interrumpiese por completo todo nuevo aporte de agua, calcula cuántos días completos de abastecimiento quedarían. Expresa la división en notación científica y traduce el resultado final a días enteros, indicando cuál es su orden de magnitud.

Se ha medido la arista de un cubo perfecto con un instrumento de precisión y se sabe que su longitud está comprendida en el intervalo $[1,25 \cdot 10^{-2}, 1,26 \cdot 10^{-2}]$ m. Determina el intervalo en el que se encuentra el volumen del cubo expresado en $\text{mm}^3$, dando los extremos en notación científica. Calcula la cota de error absoluto si tomamos como volumen estimado el punto medio de dicho intervalo.

Un disco duro de servidor tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ TB (Terabytes). Sabiendo que $1\text{ TB} = 1024\text{ GB}$, $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$, $1\text{ MB} = 1024\text{ KB}$ y $1\text{ KB} = 1024\text{ B}$ (Bytes). Calcula cuántos bytes exactos puede almacenar el disco duro y expresa el resultado en notación científica.

La masa de la Tierra es de aproximadamente $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la del planeta Júpiter es de $1,90 \cdot 10^{27}$ kg. ¿Cuántas veces es más masivo Júpiter que la Tierra? Expresa el resultado en notación científica y también en formato decimal estándar.

La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente $3 \cdot 10^5$ km/s. Un "año luz" es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un año terrestre ($365,25$ días). Calcula a cuántos kilómetros equivale un año luz y expresa el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.

Sabiendo que $18$ gramos de agua contienen $6,022 \cdot 10^{23}$ moléculas (número de Avogadro), calcula la masa en gramos de una única molécula de agua. Da el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.

El volumen total de agua de todos los océanos de la Tierra se estima en $1,332 \cdot 10^9\text{ km}^3$. Si suponemos que una gota de agua estándar tiene un volumen promedio de $0,05$ ml, determina el número total de gotas de agua que hay en los océanos. Expresa el resultado en notación científica. (Recuerda que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$).

Dadas las magnitudes físicas $A = 3,2 \cdot 10^5$ y $B = 5,1 \cdot 10^{-4}$, calcula el valor de la expresión algebraica $\frac{A^3}{\sqrt{B}}$. Expresa el resultado final en notación científica con tres cifras significativas e indica claramente cuál es su orden de magnitud.

La ley de gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Sabiendo que la constante $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^5$ km. Calcula la fuerza de atracción $F$ en Newtons, utilizando notación científica en todos los cálculos intermedios.

El Producto Interno Bruto (PIB) mundial en un año determinado fue de aproximadamente $8,5 \cdot 10^{13}$ bolivianos. Si la población mundial en ese momento era de $7,8 \cdot 10^9$ habitantes, calcula el PIB per cápita medio. Si se proyecta que la población crecerá un $1,2\%$ anual y el PIB crecerá un $2,5\%$ anual, estima el PIB per cápita al cabo de $10$ años. Expresa todos los resultados en notación científica.

Un algoritmo de cifrado de máxima seguridad utiliza claves de $256$ bits, lo que significa que el número total de claves posibles es $2^{256}$. Utilizando las propiedades de los logaritmos decimales y sabiendo que $\log_{10} 2 \approx 0,30103$, expresa el número total de combinaciones en notación científica estándar $N \cdot 10^n$, donde $1 \le N < 10$.

La energía liberada por un terremoto se relaciona empíricamente con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la fórmula $\log_{10} E = 11,8 + 1,5M$, donde $E$ se mide en ergios. Calcula la energía liberada por un terremoto de magnitud $7,5$ y por otro de magnitud $8,5$. ¿Cuántas veces es mayor la energía del segundo respecto al primero? Expresa los resultados de energía en notación científica.

Para operar la suma de magnitudes astronómicas:

un grupo de alumnos plantea tres métodos de trabajo:

• Método 1: Desplazar todas las comas para igualar los tres sumandos al menor exponente común ($10^8$), operar las mantisas resultantes y normalizar al final a notación científica.

• Método 2: Desplazar las comas para igualar todos los sumandos al orden de magnitud del término dominante ($10^{11}$), operar con las mantisas decimales y aplicar el criterio de cifras significativas.

• Método 3: Desarrollar todas las cantidades escribiendo todos sus ceros en notación decimal ordinaria, operar en columna y transformar el resultado obtenido a notación científica.

1. a) Aplica de forma detallada los métodos 1 y 2, mostrando las transformaciones numéricas intermedias.
2. b) Evalúa comparativamente los tres caminos. Justifica por qué el Método 2 es el más adecuado y consistente con el trabajo experimental en ciencias aplicadas, analizando qué ocurre con las cifras significativas del término $2,50 \cdot 10^8\text{ m}$ frente a la precisión de la medida principal, y explica por qué los Métodos 1 y 3 son ineficientes o carecen de sentido físico.

Considera dos números reales estrictamente positivos expresados en notación científica: $X = a \cdot 10^p$ e $Y = b \cdot 10^q$, con $p, q \in \mathbb{Z}$ y cumpliendo la condición canónica $1 \le a < 10$ y $1 \le b < 10$.

1. a) Demuestra formalmente que si $p > q$, entonces necesariamente $X > Y$, basándote de manera rigurosa en las desigualdades que acotan a las mantisas $a$ y $b$, sin recurrir a ejemplos numéricos particulares.
2. b) Irene afirma: «Al sumar dos números en notación científica $X + Y$ con $p > q$, el orden de magnitud del resultado siempre es exactamente $p$». Analiza si la afirmación de Irene es verdadera o falsa. Si es falsa, aporta un contraejemplo numérico en notación científica y deduce cuál es la condición analítica exacta que debe cumplir la suma de mantisas alineadas para que el orden de magnitud pase a ser $p + 1$. Demuestra además si es matemáticamente posible o imposible que el orden de magnitud de la suma llegue a ser $p + 2$.

Una muestra de material radiactivo utilizada en la datación de fósiles contiene inicialmente $N_0 = 4,5 \cdot 10^{20}$ núcleos. La cantidad de núcleos decae exponencialmente según la ley $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-4}\text{ años}^{-1}$. Calcula el número de núcleos que quedarán sin desintegrar al cabo de $5000$ años. Expresa el resultado final en notación científica con dos cifras significativas.