Recta de regresión de y sobre x

Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de bolivianos) y los ingresos generados por ventas ($Y$, en decenas de miles de bolivianos) durante $5$ meses consecutivos:

• $X$: $17,50 \quad 21 \quad 24,50 \quad 28 \quad 31,50$

• $Y$: $84 \quad 98 \quad 105 \quad 126 \quad 133$

Calcula la recta de regresión de los ingresos en función de la inversión y estima los ingresos esperados si se invierten $35\,000$ bolivianos.

En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, resultando ser $y = 0,4x + 2,1$. Estima la producción que se obtendrá si se aplican $15$ kg/ha de fertilizante.

Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de atletas. Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,5x + 14$, interpreta el significado físico de la pendiente de esta recta en el contexto del problema.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el costo de extracción por tonelada ($Y$, en miles de bolivianos). La recta trazada es la de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir del gráfico, obtén las coordenadas de los dos puntos marcados sobre la recta, calcula su ecuación exacta y estima el costo de extracción para una profundidad de $120$ metros.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.

El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las dos rectas de regresión: la Recta A (en azul) y la Recta B (en verde). Identifica razonadamente, basándote en las propiedades de las pendientes, cuál de las dos rectas es la de regresión de $Y$ sobre $X$ y halla su ecuación sabiendo que ambas se cortan en el punto $(80, 40)$ y que la azul pasa por $(100, 56)$.

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ viene dada por $y = 0,18x + 5$, y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ por $x = 5y - 10$. Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y halla el porcentaje exacto de la variabilidad de la potencia eléctrica que queda explicada por la irradiancia solar.

En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.

Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales observados $y_i$ y los estimados por la recta $\hat{y}_i$) es igual a $150$. Si la varianza marginal de la variable $Y$ es $\sigma_y^2 = 4$, halla el coeficiente de determinación $R^2$ utilizando la relación $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, y calcula el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que la varianza marginal de $X$ es $\sigma_x^2 = 9$.

Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a todos los valores de la variable $Y$ se les multiplica por $2$, ¿cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$?

En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.

En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1,5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.