Desde la orilla del lago Titicaca, en Copacabana, Valentina mide la distancia a dos boyas: una está a 15 m y la otra a 20 m, y entre las dos direcciones hay un ángulo de $40^\circ$. ¿Cómo calcula la distancia entre las boyas sin ir hasta ellas? El Teorema de Seno necesita un lado y su ángulo opuesto, y aquí no los tenemos. Para esto sirve el Teorema de Coseno: una versión generalizada de Pitágoras que funciona en cualquier triángulo.
Una generalización de Pitágoras
Si el ángulo $C$ fuera de $90^\circ$, $\cos C = 0$ y la fórmula que sigue se convierte exactamente en el teorema de Pitágoras. El teorema del coseno agrega un término de corrección cuando el ángulo no es recto.
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En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, el tercer lado sale directamente sustituyendo en la fórmula.
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Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
Dos tramos rectos de una senda homologada en la comarca de Cazorla miden $b = 7\text{ km}$ y $c = 8\text{ km}$, y se bifurcan formando un ángulo…
Dos tramos rectos de una senda homologada en la comarca de Cazorla miden $b = 7\text{ km}$ y $c = 8\text{ km}$, y se bifurcan formando un ángulo $\widehat{A} = 58^\circ$. El comité del parque quiere trazar un camino recto directo que conecte los dos extremos libres (lado $a$).
a) Antes de realizar ningún cálculo con calculadora: teniendo en cuenta que $58^\circ$ es muy próximo a $60^\circ$ y que los lados son casi iguales ($7\text{ km}$ y $8\text{ km}$), haz una estimación razonada de cuánto medirá aproximadamente el lado $a$. ¿Entre qué dos valores extremos debe encontrarse obligatoriamente por la desigualdad triangular?
b) Aplica el teorema del coseno con $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ para calcular la longitud exacta de $a$ redondeando a dos cifras decimales.
c) Contrasta tu estimación previa con el resultado obtenido y justifica si el valor es físicamente verosímil.
Si conoces los tres lados, despeja el coseno del ángulo que te interese. El signo del resultado dice si el ángulo es agudo (coseno positivo) u obtuso (coseno negativo).
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En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo de lados conocidos $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ y $c = 9\text{ cm}$, se desea hallar la amplitud de sus tres ángulos combinando el teorema del…
En un triángulo de lados conocidos $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ y $c = 9\text{ cm}$, se desea hallar la amplitud de sus tres ángulos combinando el teorema del coseno con el teorema del seno para ahorrar tiempo de cálculo. Dos compañeros proponen estrategias distintas para el primer paso:
Marcos propone: «Calculemos primero el ángulo menor, $\widehat{A}$, usando el teorema del coseno y, después, despejemos el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del seno».
Sara rebate: «Es mucho más seguro calcular primero el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del coseno y, a partir de él, hallar $\widehat{A}$ con el teorema del seno».
a) Justifica matemáticamente cuál de los dos métodos es preferible y explica qué riesgo o ambigüedad matemática entraña el otro al emplear la función inversa $\operatorname{arcsen}$ en el intervalo $[0^\circ, 180^\circ]$.
b) Siguiendo la estrategia correcta, determina razonadamente si el triángulo es acutángulo u obtusángulo examinando únicamente el signo de $\cos \widehat{C}$, y calcula el valor de los tres ángulos del triángulo redondeados al grado más próximo.
El teorema es la herramienta cuando dos distancias y el ángulo entre ellas se pueden medir, pero la distancia buscada no: topografía, navegación, composición de fuerzas, cuerdas de una circunferencia.
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Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el…
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ m y $CB = 180,2$ m, y el…
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ m y $CB = 180,2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1,5 horas de vuelo?
En los problemas difíciles el teorema aparece como una ecuación: la incógnita puede ser un lado desconocido, o dos triángulos comparten un lado y se arma un sistema.
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Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y…
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.
El teorema también sirve en el espacio, siempre que encuentres un triángulo plano dentro de la figura. Primero se calculan las longitudes necesarias con Pitágoras y después se aplica el teorema del coseno.
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Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema…
Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.