Ecuaciones con radicales

Resuelve la siguiente ecuación radical y comprueba la validez de la solución obtenida:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Resuelve la siguiente ecuación radical y explica por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

Resuelve la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de $15\text{ cm}$ de altura tiene un volumen de $471\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y halla el radio de su base (utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$).

Halla la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifica el resultado:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Resuelve la siguiente ecuación irracional. Te resultará más sencillo si aplicas un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

Resuelve la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Te será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Ten especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Resuelve la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considera cuidadosamente los casos del valor absoluto:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Demuestra algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales. Basa tu demostración en el análisis del dominio de definición de los radicales implicados, sin necesidad de elevar al cuadrado ambos miembros.

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puedes aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de cuadrados) para simplificar el proceso:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $3$ segundos en llegar al suelo.

El costo de producción $C$ (en miles de bolivianos) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el presupuesto exacto destinado para la producción de este lote es de $25$ miles de bolivianos, ¿cuántas unidades se pueden fabricar?

La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad del objeto y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despeja algebraicamente la velocidad $v$ en función de $m$, $m_0$ y $c$. Posteriormente, calcula a qué fracción de la velocidad de la luz $c$ debe viajar una nave espacial para que su masa relativista sea exactamente el doble de su masa en reposo.

Diseña una ecuación con un radical de la forma $\sqrt{a \cdot x + b} = x - 2$, donde $a$ y $b$ sean números enteros, que cumpla simultáneamente estas dos condiciones:

1) Al elevar ambos miembros al cuadrado y trasponer términos, la ecuación de segundo grado resultante tenga como candidatos a solución $x = 7$ y $x = -1$.

2) Al comprobar dichos candidatos en la ecuación original con el radical, $x = 7$ sea una solución válida y $x = -1$ resulte ser una solución espuria (falsa).

Explica de forma deductiva cómo determinas los valores de los coeficientes $a$ y $b$ a partir de la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática, escribe la ecuación definitiva y realiza la comprobación explícita de ambos valores en la ecuación construida.

Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razona tu respuesta analizando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante y las condiciones de validez del radical.

En el diseño del sistema de frenado de un prototipo de tranvía en Cochabamba, la distancia de parada $x$ (en metros, con $x \ge -2,5$) respecto a una baliza de control está regulada por la ecuación con valor absoluto y radical:

$|\sqrt{2x + 5} - 4| = k$

donde $k$ es una constante física de calibración ($k \ge 0$).

1. a) Para el ajuste particular $k = 1$, desdobla la ecuación en dos ecuaciones con radicales según la definición de valor absoluto, resuélvelas y comprueba las soluciones válidas de $x$.
2. b) Realiza una discusión completa del número de soluciones reales que posee la ecuación en función de los valores del parámetro $k \ge 0$. Determina los intervalos o valores exactos de $k$ para los cuales la ecuación tiene:

• Exactamente dos soluciones reales distintas.

• Exactamente una solución real.

• Ninguna solución real.

1. c) Justifica tus deducciones relacionando el recorrido del radical aritmético $\sqrt{2x + 5} \ge 0$ con la interpretación geométrica del valor absoluto como distancia al valor $4$ en la recta real.

Calcula la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente usando la fórmula de la distancia y resuélvela.

En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la distancia horizontal desde el inicio de la rampa hasta la base del muro es $x$. Si por normativa de seguridad y pendiente la rampa debe medir exactamente $4\text{ m}$ más que la distancia horizontal $x$, plantea y resuelve la ecuación irracional para hallar $x$.

Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje $P$ situado en el suelo entre ambas torres. La distancia horizontal entre las torres es de $35\text{ m}$. Si el punto $P$ se sitúa a $x$ metros de la torre $A$, la longitud total del cable viene dada por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si se dispone de exactamente $50\text{ m}$ de cable y se quiere usar en su totalidad sin cortes, determina a qué distancia $x$ se debe situar el anclaje $P$.