Discusión de sistemas con un parámetro

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $

Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $

Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.

En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discute el sistema en función del impuesto $p$.

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

En una prueba de evaluación, se pide discutir la posición relativa de tres planos según el parámetro $k \in \mathbb{R}$:\n$\pi_1: x + y + z = 1$\n$\pi_2: 2x + 3y + kz = 3$\n$\pi_3: x + ky + 3z = 1$\nMateo plantea la matriz ampliada y realiza las operaciones $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$, llegando a:\n$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 & | & 1 \\ 0 & k - 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$\nA partir de este paso, Mateo argumenta:\n«Para hacer cero la posición $(3,2)$, tendría que dividir la tercera fila entre $(k - 1)$; por tanto, si $k = 1$, la operación no es válida y el sistema pasa a ser incompatible (los planos forman un prisma).\nSi $k \neq 1$, resto a la fila 3 la fila 2 multiplicada por $(k - 1)$, obteniendo como último pivote $2 - (k - 1)(k - 2) = -k^2 + 3k$. Como este pivote se anula para $k = 0$ y $k = 3$, concluyo que para esos dos valores el sistema es compatible indeterminado y los planos se cortan en una recta; para cualquier otro valor de $k$, es compatible determinado y se cortan en un punto».\nTu cometido es evaluar el trabajo de Mateo:\na) Identifica y explica los dos errores conceptuales graves de su resolución: el relativo a la supuesta incompatibilidad cuando un coeficiente de paso se anula ($k = 1$), y el cometido al clasificar $k = 0$ y $k = 3$ sin verificar el término independiente de la fila resultante.\nb) Sustituye directamente $k = 1$ en la matriz intermedia de Mateo y resuelve el sistema resultante por Gauss. ¿Cuál es la verdadera posición relativa de los tres planos para $k = 1$?\nc) Realiza la discusión completa y rigurosa del sistema para todo $k \in \mathbb{R}$, indicando justificadamente el tipo de sistema y la posición geométrica que adoptan los planos en cada caso.

Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discute el sistema según los valores de la tasa $r$.

Halla los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvelo para $m = 2$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $

Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).

Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $

Tres calles rectas de un nuevo barrio están dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única y confluyan en una única plaza).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discute la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observa el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).

Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discute el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.

Una empresa de logística distribuye tres tipos de mercancías utilizando una flota de camiones. Las restricciones de peso, volumen y tiempo de entrega generan el siguiente sistema de ecuaciones, donde $t$ es un parámetro relacionado con el tiempo máximo permitido:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $

Discute el sistema según los valores de $t$ y resuelve para el caso $t = -2$.

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Presta especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de triangulación de Gauss.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $

En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema, donde $\beta$ representa la tasa de consumo de la presa por el depredador:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina los valores de $\beta$ para los que el ecosistema tiene un único punto de equilibrio, infinitos o ninguno.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halla la solución cuando sea compatible indeterminado:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = 0 \end{array} \right. $