Sucesión decreciente
Dejas caer una pelota de básquet en el patio del colegio: cada rebote llega menos alto que el anterior. Un celular pierde valor mes a mes, y un jarro de api caliente se enfría minuto a minuto. En todos estos procesos cada término es menor que el anterior. Mirar los primeros valores te da una pista, pero en Matemática hay que demostrarlo para todo $n$. Eso es lo que vas a aprender aquí.
Qué significa que una sucesión decrezca
Una primera forma de explorar es calcular los primeros términos. Por ejemplo, $a_n = 5 - 2n$ da $3, 1, -1, -3, \ldots$: baja. En cambio $d_n = (-1)^n \cdot n$ da $-1, 2, -3, 4, \ldots$: sube y baja, así que no es monótona.
Pero calcular algunos términos no demuestra nada: solo sugiere. Una sucesión puede bajar al principio y subir después.
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos:…
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es…
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es obligatoriamente una sucesión decreciente".
El criterio de la diferencia
El plan es siempre el mismo: escribes $a_{n+1}$ (reemplazando cada $n$ entre paréntesis por $n+1$), restas, simplificas y estudias el signo.
Con una fórmula lineal es inmediato: si $a_n = -4n + 7$, entonces $a_{n+1} - an = -4(n+1) + 7 - (-4n + 7) = -4 < 0$. Una función lineal con pendiente negativa siempre da una sucesión decreciente. Así también se resuelve la bajada de un alpinista en el Illimani con $h_n = 3500 - 150n$: la diferencia es $-150 < 0$.
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo…
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo número natural $n$.
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a…
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a cero para cualquier $n \ge 1$.
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicamente y llega a una afirmación que sea cierta para todo $n \ge 1$.
Sucesiones definidas por recurrencia
Cuando la sucesión viene dada por $a_{n+1}$ en función de $a_n$, muchas veces no hace falta la fórmula cerrada: la diferencia $a_{n+1} - a_n$ ya aparece en la ley de formación.
Si la recurrencia es más complicada, hay dos herramientas:
-
Una desigualdad conocida sobre los términos. Por ejemplo, en $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{3}{a_n}\right)$ la diferencia es $a_{n+1} - a_n = \frac{3 - a_n^2}{2a_n}$, y el signo depende de si $a_n$ es mayor o menor que $\sqrt{3}$.
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El principio de inducción: se prueba que vale para el primer caso y que, si vale para $n$, vale para $n+1$.
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta…
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y…
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Demuestra mediante el principio de inducción matemática que $C_{n+1} < C_n$ para todo $n \ge 1$, concluyendo que la secuencia de concentraciones es estrictamente decreciente.
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia…
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sabiendo que todos los términos de la sucesión cumplen que $x_n > \sqrt{3}$, demuestra analíticamente que $x_{n+1} < x_n$ para todo $n \ge 1$, probando así que la sucesión de aproximaciones es estrictamente decreciente.
El criterio del cociente
Cuando los términos son positivos y aparecen potencias o factoriales, dividir es más cómodo que restar. Antes de usarlo, ve cuándo conviene: con $b_n = \dfrac{3n+8}{n+2}$ conviene la diferencia (es una fracción sin potencias); con $c_n = \dfrac{4^n}{n!}$ conviene el cociente.
Las progresiones geométricas con razón entre $0$ y $1$ modelan pérdidas porcentuales:
Lo mismo pasa con la pelota de goma que sube $\frac{3}{4}$ de la altura anterior en cada rebote: si cae desde $5$ m, $h_n = 5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, con cociente $\frac{3}{4} < 1$.
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es…
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es estrictamente decreciente.
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $315\,000$ bolivianos,…
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $315\,000$ bolivianos, encuentra la expresión del término general $V_n$ que indica su valor después de $n$ años y demuestra matemáticamente que la sucesión $(V_n)$ es decreciente.
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ metros. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura…
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ metros. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura máxima del rebote anterior. Sea $h_n$ la altura máxima alcanzada tras el $n$-ésimo impacto con el suelo. Escribe el término general de la sucesión y demuestra que es estrictamente decreciente.
Decreciente a partir de un término
Algunas sucesiones no bajan desde el principio: suben o se mantienen un rato y después bajan para siempre. Hay que ubicar desde qué $n$ decrece.
Fíjate en esta otra situación: $d_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ da $-1;\ \tfrac{1}{2};\ -\tfrac{1}{3};\ \tfrac{1}{4};\ \ldots$ Sube y baja, no es monótona. Pero si le tomamos valor absoluto, $e_n = |d_n| = \dfrac{1}{n}$, y entonces
$$e_{n+1} - en = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0,$$así que $(e_n)$ sí es estrictamente decreciente.
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de…
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de $n$ la sucesión comienza a ser estrictamente decreciente.
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el…
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el criterio del cociente, determina analíticamente a partir de qué valor exacto de $n$ la sucesión se vuelve estrictamente decreciente.
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada…
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada término y demuestra paso a paso que $(e_n)$ sí es una sucesión estrictamente decreciente.
Parámetros y propiedades generales
A veces la sucesión tiene una letra (un parámetro) y te piden para qué valores es decreciente. Se plantea $a_{n+1} - an < 0$ y se exige que valga para todos los $n \ge 1$.
También puedes demostrar propiedades generales. Por ejemplo, si $(u_n)$ y $(v_n)$ son positivas y estrictamente decrecientes, el producto $w_n = u_n v_n$ también lo es:
$$u_{n+1}v_{n+1} < u_n v_{n+1} < u_n v_n.$$La primera desigualdad sale de multiplicar $u_{n+1} < u_n$ por $v_{n+1} > 0$; la segunda, de multiplicar $v_{n+1} < v_n$ por $u_n > 0$.
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea…
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente…
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente en todo su dominio natural $n \ge 1$.
Se desea diseñar un algoritmo que genere una sucesión de aproximaciones numéricas con la estructura $a_n = \dfrac{k \cdot n + 10}{n + p}$, donde $k$ y $p$ son parámetros…
Se desea diseñar un algoritmo que genere una sucesión de aproximaciones numéricas con la estructura $a_n = \dfrac{k \cdot n + 10}{n + p}$, donde $k$ y $p$ son parámetros reales fijados. El algoritmo debe satisfacer simultáneamente tres requisitos técnicos:
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El primer valor generado debe ser exactamente $a_1 = 3$.
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Al avanzar en el proceso ($n$ cada vez mayor), los términos se aproximan tanto como se quiera a $2$ sin llegar nunca a ser menores o iguales a $2$ (es decir, $2$ es la cota inferior estricta y límite de la sucesión).
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La sucesión debe ser estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
- a) Determina de forma razonada los valores únicos de los parámetros $k$ y $p$ a partir de los requisitos 1 y 2.
- b) Con los valores hallados, demuestra rigurosamente mediante la definición de la diferencia $a_{n+1} - a_n < 0$ que la sucesión cumple el requisito 3 para cualquier $n \ge 1$.
- c) Investiga qué sucedería con la monotonía si, manteniendo el valor obtenido de $p$, se modificase el parámetro $k$ pasando a ser $k = 5$. Demuestra si la nueva sucesión sería estrictamente decreciente o estrictamente creciente.
Radicales, logaritmos y factoriales
Algunas sucesiones necesitan un truco previo para ver el signo de la diferencia.
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes…
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es estrictamente decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar si $c_{n+1} < c_n$.
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas…
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas parciales $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ es estrictamente decreciente y encuentra una expresión algebraica simplificada para $S_n$ aplicando las propiedades de los logaritmos.
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural…
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural $n$, demuestra mediante el criterio del cociente que $(a_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente.
Cotas, supremo e ínfimo
Una sucesión decreciente baja, pero ¿hasta dónde? Para hablar de eso usamos las cotas.
Si $(a_n)$ es decreciente, su primer término $a_1$ es cota superior (y es el máximo). El ínfimo, en cambio, hay que buscarlo.
Un ejemplo de sucesión no monótona: $a_n = 2 - (-1)^n$ da $3, 1, 3, 1, \ldots$ No crece ni decrece, pero está acotada: el supremo es $3$ y el ínfimo es $1$, y ambos pertenecen a la sucesión (son máximo y mínimo).
El ínfimo no siempre es un término. En $a_n = 1 + \frac{2}{3^n}$ el ínfimo es $1$, pero ningún término vale $1$: se acercan tanto como quieras, sin llegar.
Un caso del mundo real: una pieza de metal que se enfría en una sala a $20\,°\text{C}$ tiene temperaturas $T_n = 20 + 80 \cdot 0{,}85^n$. Es decreciente, y como $80 \cdot 0{,}85^n > 0$, está acotada inferiormente por $20$. El descenso entre el minuto $n$ y el $n+1$ es $T_n - T_{n+1} = 80 \cdot 0{,}85^n(1 - 0{,}85) = 12 \cdot 0{,}85^n$ grados, que cada vez es menor.
Otro: el error $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ con $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Como $S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$, resulta $E_n = \dfrac{1}{2 \cdot 3^n}$, con cociente $\frac{1}{3} < 1$: decreciente y acotada inferiormente por $0$.
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, donde…
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, donde $n$ representa el tiempo transcurrido en minutos. Demuestra que $(T_n)$ es una sucesión decreciente y calcula algebraicamente la expresión del descenso de temperatura exacto que ocurre entre el minuto $n$ y el minuto $n+1$.
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite…
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite teórico de la serie infinita. Demuestra que $(E_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente y exprésala de forma cerrada en función de $n$.
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente,…
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente, determina a partir de qué valor de $n$ la diferencia entre dos términos consecutivos es menor en valor absoluto que $10^{-4}$.
Vuelve al principio: si la pelota de básquet pierde el $20\,\%$ de su altura en cada rebote, $h_n = h_0 \cdot 0{,}8^n$ y $\dfrac{h_{n+1}}{h_n} = 0{,}8 < 1$ con términos positivos: la sucesión es estrictamente decreciente. Además está acotada inferiormente por $0$, el valor al que se va acercando.