Ecuaciones racionales

Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Para resolver la ecuación racional:

dos alumnos proponen estrategias distintas antes de operar:

• Alba propone multiplicar directamente cada término por el producto de los dos denominadores visibles, $(x-1)\cdot(x^2-1)$, para no tener que factorizar.

• Mateo insiste en que primero se debe factorizar $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ para multiplicar toda la ecuación únicamente por el mínimo común múltiplo, $(x-1)(x+1)$.

Compara ambos caminos: justifica qué inconvenientes algebraicos (grado de la ecuación resultante, volumen de cálculo y posible aparición de soluciones extrañas) presenta la propuesta de Alba frente a la de Mateo. Después, resuelve la ecuación aplicando el método óptimo, indicando las restricciones iniciales del dominio y verificando la validez de las soluciones obtenidas.

Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Marcos tiene que resolver en clase la siguiente ecuación racional:

En su cuaderno escribe los siguientes pasos:

1. Factoriza el denominador de la derecha: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.

2. Multiplica toda la ecuación por $(x-3)(x+1)$ y simplifica: $x(x+1) - 3(x-3) = 12$.

3. Desarrolla y reduce términos: $x^2 + x - 3x + 9 = 12 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.

4. Aplica la fórmula cuadrática y obtiene $x = 3$ y $x = -1$.

5. Concluye: «La ecuación tiene dos soluciones reales: $x_1 = 3$ y $x_2 = -1$».

Identifica el error conceptual cometido por Marcos, explica con rigor matemático por qué su conclusión final es falsa comprobando qué ocurre al sustituir esos valores en la ecuación original y determina cuál es el verdadero conjunto de soluciones.

Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.

Un grupo de estudiantes alquila un bus para una excursión por un precio total de $2\,800\text{ \text{Bs}\ }$. A última hora se anotan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $28\text{ \text{Bs}\ }$ menos. Plantea una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.

Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantea una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.

Dada la ecuación racional con parámetro $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene infinitas soluciones, y para qué valores no tiene ninguna solución.

Considera la siguiente ecuación racional dependiente del parámetro real $k$:

David la resuelve en la pizarra con este procedimiento:

1. Factoriza el denominador $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ y multiplica todo por dicho mínimo común múltiplo: $k(x+2) + 2(x-1) = x+5$.

2. Desarrolla y agrupa términos: $kx + 2k + 2x - 2 = x + 5 \implies (k+1)x = 7 - 2k$.

3. Despeja la incógnita: $x = \frac{7-2k}{k+1}$.

David concluye: «Para cualquier valor real de $k$, la ecuación siempre tiene una única solución dada por esa fórmula».

1. a) Señala los dos errores graves de razonamiento cometidos por David: uno de carácter algebraico al despejar en presencia de un parámetro y otro relativo a la definición y dominio de las funciones racionales.
2. b) Realiza una discusión completa y rigurosa en función del parámetro $k$: precisa para qué valores de $k$ la ecuación no tiene solución (detallando el motivo en cada caso), para cuáles tiene una solución única válida y si existe algún valor de $k$ para el que tenga infinitas soluciones.

Diseña razonadamente una ecuación racional que cumpla estrictamente todas y cada una de las siguientes condiciones:

1. Debe contener al menos dos fracciones algebraicas con denominadores distintos no constantes.

2. Los únicos valores excluidos del dominio de la ecuación deben ser $x = -2$ y $x = 3$.

3. Al aplicar el procedimiento estándar (multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar fracciones), la ecuación polinómica de segundo grado resultante debe tener como soluciones candidatas $x = 3$ y $x = 5$.

4. Al contrastar con las restricciones del dominio, el valor $x = 3$ debe ser descartado por ser una solución falsa o extraña, resultando $x = 5$ como la única solución válida de la ecuación.

Muestra la deducción inversa paso a paso para construir dicha ecuación (partiendo de las raíces buscadas y reconstruyendo las fracciones algebraicas) y resuelve formalmente la ecuación que has obtenido para demostrar que satisface todas las condiciones exigidas.