Ejercicios: Valor absoluto de un número real

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.

Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.

Escribe el intervalo $(-8, 8)$ utilizando la notación de valor absoluto.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.

Resuelve la ecuación $|x - 4| = 3$.

Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.

Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.

Lucas intenta resolver en la pizarra la ecuación $|3x - 6| = -9$ y escribe el siguiente desarrollo:

$3x - 6 = -9 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

$3x - 6 = 9 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Por tanto, afirma convencido de que la ecuación tiene dos soluciones: $x = -1$ y $x = 5$.

1. a) Sin necesidad de sustituir los valores obtenidos en la ecuación original, explica qué error conceptual comete Lucas ya desde el primer paso.
2. b) Determina cuál es el verdadero conjunto de soluciones y justifica tu respuesta apoyándote en la interpretación geométrica del valor absoluto como distancia.
3. c) ¿Qué condición debería cumplir el número situado al otro lado de la igualdad para que el método de desdoblar en dos casos con signos opuestos hubiese sido válido?

En un laboratorio de metrología se analizan sensores industriales según el margen de tolerancia admisible en sus lecturas.

1. a) Escribe una inecuación con valor absoluto de la forma $|x - c| \le r$ cuyo conjunto de soluciones coincida exactamente con el intervalo cerrado $[-3, 7]$. Deduce de forma razonada los valores del centro $c$ y del radio de tolerancia $r$ a partir de los extremos del intervalo.
2. b) Sin necesidad de recalcular el centro ni el radio, modifica la inecuación anterior para describir a los sensores que deben ser desechados por sobrepasar la tolerancia permitida, es decir, aquellos cuya lectura pertenece al conjunto $(-\infty, -3) \cup (7, +\infty)$.

Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1,2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.

Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.

Expresa el intervalo cerrado $[3, 11]$ mediante una inecuación de la forma $|x - c| \le r$, determinando el valor del centro $c$ y del radio $r$.

Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología debe mantenerse a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. El experimento se arruina si la temperatura oscila en $2,5^\circ\text{C}$ o más. Escribe la condición de fracaso del experimento usando valor absoluto y resuélvela para hallar los intervalos de temperatura críticos.

Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.

El precio de una acción en bolsa es hoy de $420$ bolivianos. Un modelo financiero predice que el precio $p$ de la próxima semana cumplirá la relación $|p - 420| \le 33,60$. ¿Cuáles son los precios máximo y mínimo que contempla la predicción?

Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.

Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) establece el aviso amarillo por calor en la campiña cordobesa cuando la temperatura máxima prevista $T$ (en $^\circ\text{C}$) satisface la inecuación $|T - 39,5| \le 2,5$.

1. a) Resuelve la inecuación e interpreta el resultado determinando el intervalo cerrado de temperaturas que comprende este nivel de aviso. Señala con claridad cuál es la temperatura central de referencia y la oscilación máxima permitida.
2. b) La AEMET eleva la situación a aviso naranja si la temperatura supera estrictamente el límite superior del aviso amarillo pero no llega a alcanzar los $44,0\,^\circ\text{C}$. Modela este nuevo intervalo de temperaturas mediante una única inecuación con valor absoluto de la forma $|T - c| < r$.
3. c) Si una estación meteorológica automática registra $36,4\,^\circ\text{C}$, justifica matemáticamente si se encuentra o no dentro del rango de aviso amarillo calculando el valor numérico de $|T - 39,5|$ e interpretando la distancia obtenida.

Considera la ecuación con dos valores absolutos $|x - 1| + |x - 7| = 10$.

1. a) Interpreta geométricamente $|x - 1|$ y $|x - 7|$ como las distancias de un número real $x$ a los puntos $1$ y $7$ en la recta numérica. ¿Cuánto vale la suma de estas dos distancias si $x$ se sitúa en cualquier punto del interior del segmento $[1, 7]$?
2. b) A partir del razonamiento anterior, explica por qué es imposible que existan soluciones dentro del intervalo $[1, 7]$ y estima razonadamente, aprovechando la simetría de la recta real y sin realizar cálculos algebraicos, cuáles deben ser las dos soluciones exactas de la ecuación.
3. c) Resuelve la ecuación formalmente estudiando los tres intervalos determinados por los puntos críticos $x = 1$ y $x = 7$ (o definiendo el primer miembro como una función a trozos) y comprueba si tu estimación inicial era correcta.

Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 2x| < 3$.

El sistema de navegación de un submarino requiere que su profundidad ideal $h$ (en metros, donde $h > 0$) se mantenga en el rango $|h - 250| \le 30$. Sin embargo, las fuertes corrientes marinas introducen una perturbación, de modo que la profundidad real $h_r$ del submarino cumple $|h_r - h| \le 12$. Calcula el intervalo absoluto de profundidades reales entre las que puede moverse el submarino en el peor de los casos.

Discute el número de soluciones de la ecuación $|x - 4| + |x + 1| = k$ en función de los valores del parámetro real $k$.

Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.

Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.

Resuelve la inecuación fraccionaria $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1,5$ y $|t - 15| \le 2,5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.

Para resolver la inecuación $|2x - 3| \le |x + 3|$, dos estudiantes de secundaria proponen caminos diferentes:

• Método A: Dividir la recta real en tres intervalos a partir de los puntos críticos que anulan cada valor absoluto ($x = -3$ y $x = 1,5$), reescribir la expresión sin barras en cada zona y resolver los tres sistemas resultantes.

• Método B: Como ambos miembros son no negativos para cualquier $x \in \mathbb{R}$, elevar ambos miembros al cuadrado obteniendo $(2x - 3)^2 \le (x + 3)^2$, y resolver mediante la factorización de una diferencia de cuadrados $(2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \le 0$.

1. a) Aplica el Método B factorizando la diferencia de cuadrados (sin desarrollar los binomios al cuadrado) para hallar el conjunto de soluciones en forma de intervalo.
2. b) Justifica formalmente por qué el Método B es matemáticamente riguroso en este ejercicio y explica por qué dejaría de ser aplicable de forma directa si la inecuación fuese $|2x - 3| \le |x + 3| - 4$.
3. c) Compara la carga algebraica y el riesgo de error entre ambos métodos. ¿Cuál de los dos resulta más ventajoso para inecuaciones de la forma $|A(x)| \le |B(x)|$?

En una prueba escrita, Mateo intenta deducir y aplicar propiedades del valor absoluto, pero comete errores conceptuales encadenados:

«Por la desigualdad triangular sabemos que $|a| = |(a - b) + b| \le |a - b| + |b|$, de donde al restar $|b|$ se obtiene $|a| - |b| \le |a - b|$. Como la distancia nunca es negativa, podemos concluir que siempre $|a - b| = |a| - |b|$. Por lo tanto, para resolver la inecuación $|x - 4| \ge 5$, basta con escribir $|x| - 4 \ge 5$, es decir, $|x| \ge 9$, cuya solución es $(-\infty, -9] \cup [9, +\infty)$».

1. a) Señala con precisión los dos fallos de razonamiento lógico cometidos por Mateo y aporta un contraejemplo numérico sencillo con valores concretos de $a$ y $b$ que refute la igualdad $|a - b| = |a| - |b|$.
2. b) A partir del paso correcto de Mateo ($|a| - |b| \le |a - b|$), intercambia los papeles de $a$ y $b$ para deducir rigurosamente la desigualdad triangular inversa: $\big||a| - |b|\big| \le |a - b|$. ¿Qué condición deben cumplir los signos de $a$ y $b$ para que dicha expresión alcance la igualdad?
3. c) Resuelve de forma correcta la inecuación $|x - 4| \ge 5$ e interpreta sobre la recta real por qué la solución obtenida por Mateo estaba desplazada respecto a la solución verdadera.