Ejercicios: Recta de regresión de y sobre x

Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1,5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, resultando ser $y = 0,4x + 2,1$. Estima la producción que se obtendrá si se aplican $15$ kg/ha de fertilizante.

Dada la siguiente tabla con tres pares de valores de una distribución bidimensional:

• $X$: $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$

Calcula la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional es $y = 1,2x - 0,5$. Si sabemos que la media marginal de la variable $X$ es $\bar{x} = 3$, ¿cuál es el valor exacto de la media marginal $\bar{y}$?

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia de un grupo de técnicos y su salario mensual en cientos de bolivianos, junto con la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir de la representación gráfica, estima visualmente el salario esperado para un técnico con $6$ años de experiencia y determina la ordenada al origen de la recta.

En una distribución bidimensional se sabe que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 2$ y $\sigma_y = 5$, y el coeficiente de correlación lineal es $r = -0,8$. Calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(10, 20)$.

Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de atletas. Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,5x + 14$, interpreta el significado físico de la pendiente de esta recta en el contexto del problema.

Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

Marcos ha obtenido los siguientes parámetros estadísticos al estudiar la relación entre las horas semanales de estudio de Matemáticas ($X$) y la calificación obtenida en la materia ($Y$, de $0$ a $10$) en su grupo de 1.º de Bachillerato: $\bar{x} = 6$, $\bar{y} = 6,5$, $\sigma_x^2 = 4$, $\sigma_y^2 = 2,25$ y covarianza $\sigma_{xy} = 2,4$. Para predecir qué nota obtendrá un alumno que estudia $8$ horas ($x = 8$), Marcos escribe en su cuaderno:

Sustituye $x = 8$ y concluye que la nota estimada será de $7,6$.

1. a) Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Marcos al formular la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y explica por qué son incorrectos.
2. b) Escribe la ecuación corregida de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y calcula la calificación que verdaderamente predice el modelo para $x = 8$.

Una delegación territorial de la AEMET estudia la relación entre la altitud ($X$, en cientos de metros) y la temperatura media anual ($Y$, en $^\circ\text{C}$) en cinco observatorios del Sistema Central:

• Observatorio 1: $(4; 14,3)$

• Observatorio 2: $(6; 13,3)$

• Observatorio 3: $(8; 12,0)$

• Observatorio 4: $(10; 10,9)$

• Observatorio 5: $(12; 9,5)$

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estima de forma razonada el signo que deben tener la covarianza y la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. Estima también aproximadamente cuántos grados desciende la temperatura por cada $100\text{ m}$ de ascenso.
2. b) Comprueba tu estimación calculando las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la varianza $\sigma_x^2$ y la covarianza $\sigma_{xy}$, y determina la ecuación exacta de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
3. c) Utiliza la recta para predecir la temperatura esperada a $900\text{ m}$ ($x = 9$) y a $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Valora si ambas predicciones son razonables diferenciando entre interpolación y extrapolación.

Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de bolivianos) y los ingresos generados por ventas ($Y$, en decenas de miles de bolivianos) durante $5$ meses consecutivos:

• $X$: $17,50 \quad 21 \quad 24,50 \quad 28 \quad 31,50$

• $Y$: $84 \quad 98 \quad 105 \quad 126 \quad 133$

Calcula la recta de regresión de los ingresos en función de la inversión y estima los ingresos esperados si se invierten $35\,000$ bolivianos.

En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes resúmenes estadísticos para una muestra de $50$ personas:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima la altura de una persona cuyo fémur mide $48$ cm. Justifica brevemente la fiabilidad de esta estimación.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0,5x + 4$ y $x = 1,6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.

En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1,5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.

Se ha estudiado la relación entre la cantidad de impurezas en una aleación metálica ($X$, en $\%$ ) y su resistencia a la tracción ($Y$, en MPa). Tras analizar $20$ muestras, se obtuvo $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, y una recta de regresión de $Y$ sobre $X$ dada por $y = -15x + 481,5$. Calcula la covarianza de la distribución si se sabe que la varianza de las impurezas es $\sigma_x^2 = 0,8$.

El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el costo de extracción por tonelada ($Y$, en miles de bolivianos). La recta trazada es la de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir del gráfico, obtén las coordenadas de los dos puntos marcados sobre la recta, calcula su ecuación exacta y estima el costo de extracción para una profundidad de $120$ metros.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a todos los valores de la variable $Y$ se les multiplica por $2$, ¿cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$?

En un centro meteorológico se relaciona la presión atmosférica ($X$, en hPa) con la probabilidad de precipitación ($Y$, en $\%$). Sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(1013, 40)$, la desviación típica de la presión es $5$ hPa, la de la probabilidad es $20\%$, y el coeficiente de correlación lineal es $-0,85$, halla la ecuación de la recta de regresión que permite estimar la probabilidad de lluvia conociendo la presión atmosférica.

A partir de los microdatos de la Encuesta de Presupuestos Familiares del Instituto Nacional de Estadística (INE), se extrae una muestra de $5$ hogares para analizar el gasto mensual en alimentación ($Y$, en cientos de bolivianos) en función de los ingresos netos mensuales del hogar ($X$, en miles de bolivianos):

• Hogar A: $(1,5; 3,0)$

• Hogar B: $(2,0; 3,8)$

• Hogar C: $(2,5; 4,5)$

• Hogar D: $(3,0; 5,1)$

• Hogar E: $(3,5; 6,1)$

1. a) Modela la relación lineal entre ambas variables calculando la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ (detalla el cálculo de $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$ y $\sigma_{xy}$).
2. b) Interpreta el significado socioeconómico de la pendiente $m_{yx} = 1,5$ y de la ordenada en el origen $n = 0,75$ en el contexto real, prestando especial atención a las unidades de medida de cada variable.
3. c) Estima el gasto en alimentación para un hogar con ingresos de $2800$ bolivianos mensuales y para otro con ingresos de $8500$ bolivianos mensuales. Justifica cuál de las dos estimaciones ofrece mayor garantía estadística basándote en el rango de los datos observados.

En una investigación sobre convivencia escolar en 1.º de Bachillerato, se analiza el número de faltas injustificadas de asistencia ($X$) y la calificación en la evaluación final ($Y$) de una muestra de alumnos. Se obtienen los siguientes estadísticos: $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 6$, $\sigma_x^2 = 5$, $\sigma_y^2 = 3,2$ y $\sigma_{xy} = -3,6$.

Se plantean dos tareas de predicción:

• Tarea 1: Estimar la calificación esperada ($Y$) para un alumno con $x = 6$ faltas.

• Tarea 2: Estimar el número probable de faltas ($X$) que habrá tenido un alumno cuya nota final ha sido $y = 3,3$.

Para resolver la Tarea 2, dos profesores proponen métodos distintos:

• El profesor A calcula la recta de $Y$ sobre $X$, sustituye $y = 3,3$ y despeja algebraicamente el valor de $x$.

• El profesor B sostiene que despejar es incorrecto y que debe hallarse la recta de $X$ sobre $Y$ para sustituir directamente $y = 3,3$.

1. a) Justifica cuál de los dos métodos es estadísticamente riguroso atendiendo al criterio de mínimos cuadrados que define a las rectas de regresión.
2. b) Halla las ecuaciones de ambas rectas de regresión ($Y$ sobre $X$, y $X$ sobre $Y$).
3. c) Aplica los dos métodos para la Tarea 2, compara los resultados numéricos obtenidos y explica a qué se debe la discrepancia entre ambos utilizando el coeficiente de determinación lineal $r^2$.

Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.

En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ viene dada por $y = 0,18x + 5$, y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ por $x = 5y - 10$. Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y halla el porcentaje exacto de la variabilidad de la potencia eléctrica que queda explicada por la irradiancia solar.

Se dispone de un conjunto de datos bivariantes $(x_i, y_i)$ donde la variable $X$ toma los valores $1, 2, 3, 4$ y la variable $Y$ toma los valores $2, k, 5, 8$. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,9$, plantea una ecuación y determina el valor exacto del parámetro $k$.

En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0,6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.

Un ingeniero civil estudia la relación entre la carga soportada por una viga ($X$, en toneladas) y su deformación máxima ($Y$, en milímetros). Se han perdido algunos datos del informe original, pero se sabe que la media de la carga es $\bar{x} = 15$, la varianza de la carga es $\sigma_x^2 = 16$, la covarianza es $\sigma_{xy} = 18$, el coeficiente de correlación es $r = 0,9$ y la ordenada al origen de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $b = 2$. Calcula la media de la deformación $\bar{y}$, la desviación estándar $\sigma_y$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las dos rectas de regresión: la Recta A (en azul) y la Recta B (en verde). Identifica razonadamente, basándote en las propiedades de las pendientes, cuál de las dos rectas es la de regresión de $Y$ sobre $X$ y halla su ecuación sabiendo que ambas se cortan en el punto $(80, 40)$ y que la azul pasa por $(100, 56)$.

En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.

Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales observados $y_i$ y los estimados por la recta $\hat{y}_i$) es igual a $150$. Si la varianza marginal de la variable $Y$ es $\sigma_y^2 = 4$, halla el coeficiente de determinación $R^2$ utilizando la relación $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, y calcula el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que la varianza marginal de $X$ es $\sigma_x^2 = 9$.

Un laboratorio universitario analiza la relación entre dos variables físicas continuas, $X$ e $Y$, y obtiene las ecuaciones generales de sus dos rectas de regresión lineal por mínimos cuadrados. Por un fallo de etiquetado en el software, no se guardó qué recta corresponde a cada regresión:

• Recta 1 ($r_1$): $2x - 5y + 11 = 0$

• Recta 2 ($r_2$): $8x - 5y - 7 = 0$

1. a) Deduce de forma razonada cuál de las dos es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la de $X$ sobre $Y$. Para ello, analiza las dos asignaciones posibles y demuestra analíticamente que una de ellas es matemáticamente imposible basándote en la propiedad del producto de sus pendientes $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$ y en el rango admisible del coeficiente de correlación lineal.
2. b) Halla las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución bidimensional y calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Sabiendo además que la desviación típica de $X$ es $\sigma_x = 2,5$, reconstruye analíticamente el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$ y de la varianza $\sigma_y^2$.

Un analista deportivo de un club de fútbol analiza la relación entre los kilómetros recorridos a alta intensidad por partido ($X$, en km) y las recuperaciones de balón en campo rival ($Y$) de los jugadores. Tras introducir los datos en un programa, presenta un informe con los siguientes resultados:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 0,8x - 1,2$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y + 2,1$

El informe contiene tres afirmaciones realizadas por el analista:

1. «Como ambas pendientes son positivas, existe una correlación lineal positiva y muy intensa entre ambas variables».

2. «Para estimar la distancia que debería correr un jugador para lograr $y = 5$ recuperaciones, basta con despejar la variable $x$ de la primera recta, lo que resulta en $x = 7,75\text{ km}$».

3. «Si cambiamos la unidad de medida de la distancia $X$ de kilómetros a metros ($X' = 1000X$), tanto la covarianza $\sigma_{x'y}$ como la pendiente $m_{yx}'$ de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ quedarán multiplicadas por $1000$».

Evalúa críticamente el informe:

1. a) Demuestra analíticamente que las dos ecuaciones proporcionadas contienen una contradicción estadística insalvable que invalida el modelo.
2. b) Explica el error de fundamentación que comete el analista en la afirmación 2.
3. c) Analiza algebraicamente la afirmación 3 a partir de las definiciones de covarianza y varianza: deduce cómo varían en realidad $\sigma_{x'y}$ y la pendiente $m_{yx}'$ ante el cambio de escala $X' = k\cdot X$ y dictamina si la afirmación es verdadera o falsa.