Ejercicios: Ecuaciones con radicales

Resuelve la siguiente ecuación radical y comprueba la validez de la solución obtenida:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Resuelve la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Halla la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifica el resultado:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $3$ segundos en llegar al suelo.

Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de $15\text{ cm}$ de altura tiene un volumen de $471\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y halla el radio de su base (utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$).

Resuelve la siguiente ecuación radical y explica por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

Lucía está resolviendo la ecuación irracional $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ y presenta en la pizarra los siguientes pasos:

1) Eleva al cuadrado ambos miembros: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

2) Agrupa términos: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0$.

3) Concluye: «Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = 5$».

1. a) Señala el error conceptual que ha cometido Lucía en su conclusión y explica por qué la operación de elevar al cuadrado miembros completos puede introducir valores que no resuelven la ecuación de partida.
2. b) Escribe la resolución completa y correcta, realizando la comprobación rigurosa de cada candidato en la ecuación original para determinar el conjunto final de soluciones válidas.

Considera la ecuación con un radical $\sqrt{5x - 4} = x - 2$:

1. a) Sin elevar al cuadrado, deduce una cota inferior para la incógnita teniendo en cuenta que el radical aritmético toma valores no negativos y que, por tanto, debe cumplirse $x - 2 \ge 0$. A partir de esa cota, estima cuál de los números enteros $x = 1$, $x = 4$ o $x = 8$ puede ser la solución real, evaluando mentalmente ambos miembros.
2. b) Resuelve algebraicamente la ecuación aislando el radical y elevando al cuadrado ambos miembros.
3. c) Comprueba los valores obtenidos en la ecuación de partida y explica cómo tu estimación previa permitía descartar de antemano la solución falsa generada por el método algebraico.

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Calcula la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente usando la fórmula de la distancia y resuélvela.

El costo de producción $C$ (en miles de bolivianos) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el presupuesto exacto destinado para la producción de este lote es de $25$ miles de bolivianos, ¿cuántas unidades se pueden fabricar?

Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en metros) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando la aceleración de la gravedad como $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, plantea la ecuación y halla la longitud de un péndulo cuyo periodo de oscilación es exactamente de $2,5$ segundos.

Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Resuelve la siguiente ecuación irracional. Te resultará más sencillo si aplicas un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la distancia horizontal desde el inicio de la rampa hasta la base del muro es $x$. Si por normativa de seguridad y pendiente la rampa debe medir exactamente $4\text{ m}$ más que la distancia horizontal $x$, plantea y resuelve la ecuación irracional para hallar $x$.

Diseña una ecuación con un radical de la forma $\sqrt{a \cdot x + b} = x - 2$, donde $a$ y $b$ sean números enteros, que cumpla simultáneamente estas dos condiciones:

1) Al elevar ambos miembros al cuadrado y trasponer términos, la ecuación de segundo grado resultante tenga como candidatos a solución $x = 7$ y $x = -1$.

2) Al comprobar dichos candidatos en la ecuación original con el radical, $x = 7$ sea una solución válida y $x = -1$ resulte ser una solución espuria (falsa).

Explica de forma deductiva cómo determinas los valores de los coeficientes $a$ y $b$ a partir de la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática, escribe la ecuación definitiva y realiza la comprobación explícita de ambos valores en la ecuación construida.

En las obras de modernización de una estación de bombeo de la Autoridad de Fiscalización y Control Social de Agua Potable y Saneamiento Básico (AAPS), dos compuertas reguladoras de caudal registran lecturas de nivel vinculadas mediante la siguiente ecuación con dos radicales:

$\sqrt{2x + 15} - \sqrt{x - 1} = 3$

donde $x$ representa el calado de seguridad de la balsa en decímetros ($x \ge 1$).

1. a) Plantea y resuelve la ecuación aislando convenientemente un radical y desarrollando las dos elevaciones al cuadrado necesarias.
2. b) Comprueba la validez de los candidatos obtenidos sustituyéndolos en la ecuación original.
3. c) A diferencia de lo que ocurre habitualmente en ecuaciones irracionales con dos elevaciones al cuadrado, analiza y justifica por qué en este caso ambos valores numéricos resultan ser soluciones reales válidas, prestando especial atención al signo de los miembros justo antes de la segunda elevación al cuadrado.

Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Ten especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje $P$ situado en el suelo entre ambas torres. La distancia horizontal entre las torres es de $35\text{ m}$. Si el punto $P$ se sitúa a $x$ metros de la torre $A$, la longitud total del cable viene dada por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si se dispone de exactamente $50\text{ m}$ de cable y se quiere usar en su totalidad sin cortes, determina a qué distancia $x$ se debe situar el anclaje $P$.

Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razona tu respuesta analizando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante y las condiciones de validez del radical.

Resuelve la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considera cuidadosamente los casos del valor absoluto:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Resuelve la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Te será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad del objeto y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despeja algebraicamente la velocidad $v$ en función de $m$, $m_0$ y $c$. Posteriormente, calcula a qué fracción de la velocidad de la luz $c$ debe viajar una nave espacial para que su masa relativista sea exactamente el doble de su masa en reposo.

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puedes aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de cuadrados) para simplificar el proceso:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Demuestra algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales. Basa tu demostración en el análisis del dominio de definición de los radicales implicados, sin necesidad de elevar al cuadrado ambos miembros.

Para resolver la ecuación con radicales de distinto índice $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[4]{2x - 1} = 6$, dos compañeros de clase plantean estrategias diferentes:

• Método de Marcos: Aislar la raíz cuadrada, $\sqrt{2x - 1} = 6 - \sqrt[4]{2x - 1}$, elevar al cuadrado ambos miembros, aislar la raíz cuarta resultante y volver a elevar a la cuarta potencia para eliminar todos los radicales.

• Método de Sara: Definir la incógnita auxiliar $t = \sqrt[4]{2x - 1}$, expresar la ecuación en función de $t$, resolver la ecuación polinómica resultante y deshacer el cambio.

1. a) Analiza comparativamente ambos caminos: indica razonadamente el grado de la ecuación polinómica que obtendría Marcos tras sus elevaciones sucesivas y argumenta cuál de los dos métodos es más eficiente y seguro para evitar errores operativos y raíces espurias de grado alto.
2. b) Resuelve la ecuación aplicando el método de Sara. Justifica por qué una de las soluciones obtenidas para $t$ debe descartarse de inmediato antes de calcular $x$, y halla la solución real única de la ecuación.

En el diseño del sistema de frenado de un prototipo de tranvía en Cochabamba, la distancia de parada $x$ (en metros, con $x \ge -2,5$) respecto a una baliza de control está regulada por la ecuación con valor absoluto y radical:

$|\sqrt{2x + 5} - 4| = k$

donde $k$ es una constante física de calibración ($k \ge 0$).

1. a) Para el ajuste particular $k = 1$, desdobla la ecuación en dos ecuaciones con radicales según la definición de valor absoluto, resuélvelas y comprueba las soluciones válidas de $x$.
2. b) Realiza una discusión completa del número de soluciones reales que posee la ecuación en función de los valores del parámetro $k \ge 0$. Determina los intervalos o valores exactos de $k$ para los cuales la ecuación tiene:

• Exactamente dos soluciones reales distintas.

• Exactamente una solución real.

• Ninguna solución real.

1. c) Justifica tus deducciones relacionando el recorrido del radical aritmético $\sqrt{2x + 5} \ge 0$ con la interpretación geométrica del valor absoluto como distancia al valor $4$ en la recta real.