Ejercicios: Ecuaciones racionales

Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Determina el número real $x$ que satisface la igualdad entre estas dos fracciones algebraicas:

$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$

Resuelve la siguiente ecuación racional:

$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$

Marcos tiene que resolver en clase la siguiente ecuación racional:

En su cuaderno escribe los siguientes pasos:

1. Factoriza el denominador de la derecha: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.

2. Multiplica toda la ecuación por $(x-3)(x+1)$ y simplifica: $x(x+1) - 3(x-3) = 12$.

3. Desarrolla y reduce términos: $x^2 + x - 3x + 9 = 12 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.

4. Aplica la fórmula cuadrática y obtiene $x = 3$ y $x = -1$.

5. Concluye: «La ecuación tiene dos soluciones reales: $x_1 = 3$ y $x_2 = -1$».

Identifica el error conceptual cometido por Marcos, explica con rigor matemático por qué su conclusión final es falsa comprobando qué ocurre al sustituir esos valores en la ecuación original y determina cuál es el verdadero conjunto de soluciones.

Para resolver la ecuación racional:

dos alumnos proponen estrategias distintas antes de operar:

• Alba propone multiplicar directamente cada término por el producto de los dos denominadores visibles, $(x-1)\cdot(x^2-1)$, para no tener que factorizar.

• Mateo insiste en que primero se debe factorizar $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ para multiplicar toda la ecuación únicamente por el mínimo común múltiplo, $(x-1)(x+1)$.

Compara ambos caminos: justifica qué inconvenientes algebraicos (grado de la ecuación resultante, volumen de cálculo y posible aparición de soluciones extrañas) presenta la propuesta de Alba frente a la de Mateo. Después, resuelve la ecuación aplicando el método óptimo, indicando las restricciones iniciales del dominio y verificando la validez de las soluciones obtenidas.

Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.

Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto completo. Plantea una ecuación racional y calcula la velocidad media a la que circula el tren inicialmente.

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Un grupo de estudiantes alquila un bus para una excursión por un precio total de $2\,800\text{ \text{Bs}\ }$. A última hora se anotan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $28\text{ \text{Bs}\ }$ menos. Plantea una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.

Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$

Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera la altura en $5\text{ cm}$, el área total seguiría siendo la misma. Plantea una ecuación racional y determina las dimensiones originales del cartel.

Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Tras unas lluvias torrenciales en la cuenca del Amazonas, los bomberos deben achicar el agua acumulada en un paso subterráneo. La motobomba municipal habitual tardaría $6\text{ horas}$ en vaciarlo en solitario. Al incorporar una segunda motobomba más moderna de refuerzo, ambas funcionando simultáneamente consiguen vaciarlo por completo en $2,4\text{ horas}$.

1. a) Estima y razona: Antes de plantear ninguna ecuación, justifica por qué el tiempo que tardaría la bomba moderna sola debe ser necesariamente menor de $6\text{ horas}$ pero estrictamente mayor de $2,4\text{ horas}$. Además, explica si esperas que tarde más o menos de $3\text{ horas}$ comparando las $2,4\text{ horas}$ con lo que tardarían juntas si la moderna tardase exactamente $3\text{ horas}$.
2. b) Plantea la ecuación racional del trabajo conjunto por hora tomando como incógnita $t$ (tiempo en horas que tardaría la bomba de refuerzo en solitario), indicando las restricciones de dominio de la variable.
3. c) Resuelve la ecuación y comprueba si tu resultado exacto coincide con la estimación que realizaste.

Un aficionado al ciclismo realiza un entrenamiento de ida y vuelta en un tramo llano de $20\text{ km}$ de ida y $20\text{ km}$ de vuelta ($40\text{ km}$ en total) en Castilla-La Mancha. Según datos de una estación cercana de AEMET, sopló un viento constante de $5\text{ km/h}$ en la dirección de la carretera durante toda la jornada, de forma que a la ida pedaleó con viento a favor y a la vuelta con viento en contra. El ciclista completó el recorrido total en exactamente $3\text{ horas}$, manteniendo un esfuerzo constante (la misma velocidad media $v$ que llevaría sin viento).

1. a) Modela la situación planteando una ecuación racional donde la incógnita sea $v$ (en $\text{km/h}$), expresando el tiempo de ida y el tiempo de vuelta en función de $v$.
2. b) Determina las restricciones del dominio: ¿qué condición física y algebraica mínima debe cumplir la velocidad $v$ para que el ciclista pueda regresar contra el viento?
3. c) Resuelve la ecuación para hallar $v$ y calcula por separado el tiempo exacto que invirtió en la ida y en la vuelta.

Dada la ecuación racional con parámetro $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene infinitas soluciones, y para qué valores no tiene ninguna solución.

En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se sabe que el valor de la resistencia $R_2$ es $5\ \Omega$ mayor que el de $R_1$, y que la resistencia equivalente del circuito es de $6\ \Omega$. Plantea y resuelve una ecuación racional para hallar el valor de ambas resistencias.

Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantea una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.

Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$

En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0,04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo constante para aumentar su concentración (la cantidad de sal permanece invariable). Si se evaporan $x\text{ L}$ de agua, la nueva concentración debe ser de $0,1\text{ kg/L}$. Plantea la ecuación racional correspondiente y calcula la cantidad de agua que debe evaporarse.

Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando productos notables antes de operar:

$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$

Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ metros están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la parte superior de cada poste hasta la base del poste opuesto. El punto donde se cruzan los cables se encuentra a una altura de $2,4\text{ m}$ del suelo. Sabiendo que la altura del cruce $h$ cumple la relación geométrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (donde $h_1$ y $h_2$ son las alturas de los postes), plantea una ecuación racional y calcula la altura de ambos postes.

Diseña razonadamente una ecuación racional que cumpla estrictamente todas y cada una de las siguientes condiciones:

1. Debe contener al menos dos fracciones algebraicas con denominadores distintos no constantes.

2. Los únicos valores excluidos del dominio de la ecuación deben ser $x = -2$ y $x = 3$.

3. Al aplicar el procedimiento estándar (multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar fracciones), la ecuación polinómica de segundo grado resultante debe tener como soluciones candidatas $x = 3$ y $x = 5$.

4. Al contrastar con las restricciones del dominio, el valor $x = 3$ debe ser descartado por ser una solución falsa o extraña, resultando $x = 5$ como la única solución válida de la ecuación.

Muestra la deducción inversa paso a paso para construir dicha ecuación (partiendo de las raíces buscadas y reconstruyendo las fracciones algebraicas) y resuelve formalmente la ecuación que has obtenido para demostrar que satisface todas las condiciones exigidas.

Considera la siguiente ecuación racional dependiente del parámetro real $k$:

David la resuelve en la pizarra con este procedimiento:

1. Factoriza el denominador $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ y multiplica todo por dicho mínimo común múltiplo: $k(x+2) + 2(x-1) = x+5$.

2. Desarrolla y agrupa términos: $kx + 2k + 2x - 2 = x + 5 \implies (k+1)x = 7 - 2k$.

3. Despeja la incógnita: $x = \frac{7-2k}{k+1}$.

David concluye: «Para cualquier valor real de $k$, la ecuación siempre tiene una única solución dada por esa fórmula».

1. a) Señala los dos errores graves de razonamiento cometidos por David: uno de carácter algebraico al despejar en presencia de un parámetro y otro relativo a la definición y dominio de las funciones racionales.
2. b) Realiza una discusión completa y rigurosa en función del parámetro $k$: precisa para qué valores de $k$ la ecuación no tiene solución (detallando el motivo en cada caso), para cuáles tiene una solución única válida y si existe algún valor de $k$ para el que tenga infinitas soluciones.