Técnicas de recuento

Una plataforma de streaming permite personalizar el perfil de usuario eligiendo un avatar entre 4 animales distintos (león, panda, gato y lobo) y un color de fondo entre 3 opciones (azul, verde y naranja).

1. a) Describe el espacio muestral $E$ de las posibles combinaciones de perfil.

1. b) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Utiliza el principio multiplicativo para justificarlo.

En el menú de la cantina de tu liceo podés elegir un primer plato entre ensalada, pasta o arroz; un segundo entre pollo o pescado; y un postre entre fruta o yogur.

1. a) Representá mediante un diagrama de árbol todas las opciones posibles de menú completo.
2. b) Si elegís un menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que incluya "pasta" de primero?

Cinco amigos (Ana, Beto, Clara, David y Elena) van al cine y se sientan en una fila de cinco butacas consecutivas.

1. a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en la fila?
2. b) Si deciden que Ana y Beto deben sentarse siempre en los dos extremos de la fila, ¿cuántas disposiciones diferentes son posibles ahora?

Un diseñador de moda está creando una colección cápsula. Para el desfile final, tiene que organizar a 6 modelos en una fila única.

• a) ¿De cuántas formas distintas pueden desfilar las 6 modelos?

• b) Si entre las modelos hay dos que son hermanas y el diseñador insiste en que deben desfilar una inmediatamente después de la otra, ¿de cuántas formas se puede organizar ahora la fila?

• c) Si el diseñador decide que las dos hermanas no pueden estar juntas en ningún caso, ¿cuántas opciones tiene?

Un candado de combinación para una taquilla tiene un código de 3 cifras. Cada cifra puede ser un número del $1$ al $5$.

1. a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden crear si los números se pueden repetir?
2. b) ¿Cuántas combinaciones hay si los tres números deben ser distintos?

En un torneo local de ajedrez participan 8 jugadores. Se van a repartir tres trofeos diferentes para el primer, segundo y tercer clasificado.

1. a) ¿De cuántas formas distintas pueden repartirse los tres premios?
2. b) Si el campeón del año pasado vuelve a participar y estamos seguros de que quedará entre los tres primeros, ¿cuántas clasificaciones de podio son posibles ahora?

Una plataforma de contenido en streaming utiliza un código de seguridad para el control parental. El código consta de 2 letras (de un alfabeto de 26, sin la Ñ) seguidas de 3 dígitos (del 0 al 9).

• a) ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si se pueden repetir letras y números?

• b) Si un usuario olvida su código pero recuerda que empieza por la letra "A" y termina en el número "7", ¿cuántas combinaciones posibles tendría que probar?

• c) Si el código se generase de forma aleatoria sin permitir repetición de ningún carácter (letras o números), ¿cuál sería la probabilidad de que el código fuera "BX123"?

Una empresa de logística organiza sus rutas utilizando un código de barras de $10$ franjas verticales. Cada franja puede ser de color negro, gris o blanco. Por motivos de legibilidad del escáner, no se permiten códigos donde haya tres franjas consecutivas del mismo color.

1. ¿Cuántos códigos diferentes de $10$ franjas se pueden formar en total (sin restricciones)?

2. Si se elige un código al azar entre todos los posibles (sin restricciones), ¿cuál es la probabilidad de que las franjas en las posiciones impares sean todas negras y las de las posiciones pares sean todas blancas o grises?

Un grupo de música tiene preparadas 10 canciones para su nuevo álbum, pero la discográfica les dice que solo pueden incluir 4 de ellas.

1. a) ¿Cuántas selecciones diferentes de 4 canciones pueden hacer si no importa el orden en el que se elijan?
2. b) ¿Cómo se llaman este tipo de agrupaciones en combinatoria? Justifica tu respuesta.

Un grupo de 12 estudiantes de 1° de bachillerato fue seleccionado para asistir a un congreso sobre sostenibilidad. El liceo debe elegir a 4 de ellos para formar una comisión de portavoces.

• a) ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir la comisión si no hay distinción de cargos?

• b) Si entre los 12 estudiantes hay 7 chicas y 5 chicos, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión esté formada exactamente por 2 chicos y 2 chicas?

En un torneo de debate intercentros participan $12$ estudiantes: $7$ chicas y $5$ chicos. Para la fase final, se debe elegir un equipo de $4$ representantes de forma aleatoria. Calcula la probabilidad de que el equipo elegido cumpla simultáneamente que:

• Haya representación de ambos sexos.

• El número de chicas sea estrictamente mayor que el de chicos.

Un sistema de seguridad informática requiere que las contraseñas tengan exactamente $8$ caracteres. Estos deben elegirse entre las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los $10$ dígitos numéricos ($0-9$). Una contraseña se considera "robusta" si contiene al menos dos dígitos numéricos y no repite ningún carácter. Si un programa genera una contraseña aleatoria que cumple la condición de no repetir caracteres, calculá la probabilidad de que esta sea "robusta".

Una urna contiene $n$ bolas blancas y $4$ bolas rojas. Se extraen dos bolas simultáneamente (o sucesivamente sin devolución). Si se sabe que la probabilidad de que las dos bolas sean blancas es igual a $1/3$, determina el número total de bolas que hay en la urna. (Nota: deberás plantear una ecuación combinatoria y resolverla para hallar el valor de $n$).

En una caja de herramientas hay 5 destornilladores de estrella y 3 de punta plana. Se eligen 2 destornilladores al azar, uno tras otro y sin devolver el primero a la caja.

1. a) Calcula la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo.

1. b) Calcula la probabilidad de que el segundo sea de punta plana sabiendo que el primero fue de estrella.

1. c) Si el experimento se hiciera con devolución (reemplazamiento), ¿cómo cambiaría la probabilidad del apartado a)? Calcula su nuevo valor y compáralo con el del apartado a).

Puedes ayudarte de un diagrama de árbol que tú mismo dibujes.

En una caja de herramientas hay $15$ bombillas LED, de las cuales se sabe que $3$ están defectuosas. Si extraemos $4$ bombillas una a una y sin devolución:

1. Calcula la probabilidad de que la cuarta bombilla extraída sea la segunda defectuosa que aparece en el proceso.

2. Si las extracciones se hiciesen con devolución, ¿cambiaría la probabilidad anterior? Justifica la respuesta utilizando técnicas de recuento.

Un examen tipo test consta de $5$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder al azar. Sin embargo, tiene una estrategia: para cada pregunta, descarta una de las opciones que sabe con seguridad que es falsa (por ser absurda) y elige al azar entre las tres restantes.

1. Calcula la probabilidad de que obtenga exactamente $3$ aciertos.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una pregunta?

En una clase de 1° de bachillerato hay 30 alumnos. Se sabe que 18 de ellos salvaron el último escrito de Matemática y 12 salvaron el de Inglés. Si hay 5 alumnos que salvaron ambas materias:

1. a) Calculá la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, este haya salvado Matemática o Inglés.
2. b) Calculá la probabilidad de que no haya salvado ninguna de las dos materias.

Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del $1$ al $10$. Consideramos los siguientes sucesos:

$A = \text{"Obtener un número primo"}$

$B = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$

1. a) Escribí los elementos que forman los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$.
2. b) Calculá las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cup B)$ aplicando la Regla de Laplace.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$.

Calculá las siguientes probabilidades utilizando las propiedades de la probabilidad:

• a) $P(A \cup B)$

• b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilidad de que no ocurra ni A ni B).

• c) $P(A | \bar{B})$ (Probabilidad de A condicionada a que no ocurra B).

Se realizó una encuesta a 200 jóvenes sobre sus hábitos de lectura y de consumo de televisión. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Si elegimos un joven al azar de esta encuesta, calculá:

• a) La probabilidad de que lea habitualmente y vea la televisión menos de 2 horas al día.

• b) Sabiendo que el joven lee habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión más de 2 horas al día?

• c) ¿Son los sucesos "Leer habitualmente" y "Ver la televisión más de 2 horas al día" independientes? Justificá la respuesta matemáticamente.

En una liga de básquetbol local, se analizó la efectividad de los lanzamientos de tres puntos de un jugador. Se sabe que si anota el primer triple, la probabilidad de anotar el segundo es de $0,7$. Sin embargo, si falla el primero, la probabilidad de anotar el segundo es solo de $0,4$. Se sabe que la probabilidad de anotar el primer triple de un partido es de $0,5$.

• a) Dibujá el diagrama de árbol asociado al experimento de lanzar dos triples consecutivos.

• b) Calculá la probabilidad de que el jugador anote exactamente uno de los dos lanzamientos.

• c) Si sabemos que el jugador falló el segundo lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera anotado el primero?

Una empresa tecnológica fabrica auriculares inalámbricos en dos plantas, una en Uruguay y otra en Vietnam. La planta de Uruguay produce el $40\%$ del total y Vietnam el resto. Se ha detectado que el $3\%$ de los auriculares de Uruguay tienen fallas de conexión, mientras que en la planta de Vietnam esta falla aparece en el $6\%$ de la producción.

• a) Si compramos unos auriculares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcionen correctamente?

• b) Si compramos unos auriculares y resultan tener fallas de conexión, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido fabricados en la planta de Uruguay?

Un analista de datos estudia el comportamiento de los usuarios en una plataforma de streaming. Dispone de la siguiente información sobre una muestra de $500$ usuarios:

• El $65\%$ son menores de $25$ años.

• El $40\%$ de los usuarios utiliza la plataforma principalmente para ver documentales.

• Entre los que no ven documentales, el $70\%$ son menores de $25$ años.

Si se selecciona un usuario al azar y resulta ser menor de $25$ años, calcula la probabilidad de que su preferencia principal sean los documentales. Utiliza una tabla de contingencia para organizar la información.

Se sabe que en una determinada ciudad el $20\%$ de los días llueve ($LL$), el $10\%$ hace mucho viento ($V$) y el $5\%$ se dan ambas condiciones simultáneamente.

1. Calculá la probabilidad de que en un día elegido al azar no llueva y no haga viento.

2. Sabiendo que un día no llovió, ¿cuál es la probabilidad de que hiciera mucho viento?

3. ¿Son los sucesos "llover" y "hacer mucho viento" independientes? Demostralo matemáticamente.