Estadística descriptiva bidimensional

En el estudio de las relaciones entre dos variables, es fundamental distinguir si existe una dependencia exacta o una relación estadística. Indicá en cuáles de los siguientes casos la relación es funcional (existe una fórmula exacta) y en cuáles es estadística (existe una tendencia pero con variabilidad):

• a) El número de litros de nafta cargados en una estación de servicio y el costo total a pagar.

• b) La nota obtenida en un examen de Matemática y el número de horas que el alumno dedicó a estudiar esa semana.

• c) El tiempo que permanece encendida una lámpara de bajo consumo y el gasto energético registrado por el contador.

• d) La estatura de una persona y el número de calzado que utiliza.

• e) La temperatura máxima diaria en una ciudad y el número de helados vendidos en un quiosco de esa misma ciudad.

Un grupo de 20 adolescentes ha sido clasificado según su hábito de lectura (Lector frecuente / No lector) y su preferencia por el formato de libros (Papel / Digital). Los datos obtenidos son:

• 8 son lectores frecuentes y prefieren el formato papel.

• 4 son lectores frecuentes y prefieren el formato digital.

• 2 no son lectores pero prefieren el formato papel.

• 6 no son lectores y prefieren el formato digital.

Organiza esta información en una tabla de frecuencias conjuntas (tabla de contingencia), incluyendo los totales marginales en las filas y columnas.

A partir de la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de dispositivo principal usado para estudiar y el curso del alumno (4º ESO o 1º Bachillerato), responde a las preguntas planteadas:

• a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta de los alumnos que están en 1º de Bachillerato y usan principalmente el portátil?

• b) Determina la frecuencia marginal de los alumnos que usan Tablet.

• c) ¿Cuántos alumnos en total han participado en el estudio?

• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos totales son de 4º de ESO?

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas de las variables $X$ (número de hijos) e $Y$ (número de habitaciones en la vivienda):

1. a) Calcula las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.
2. b) Determina la media y la varianza de la variable $Y$ condicionada a que $X = 1$.
3. c) Calcula la covarianza $S_{xy}$ y dictamina si las variables son independientes o presentan algún tipo de asociación.

Dadas las siguientes parejas de variables, indicá si esperás encontrar una correlación positiva, negativa o nula:

• a) El número de kilómetros recorridos por un auto y la cantidad de combustible que queda en el tanque.

• b) El promedio de notas de bachillerato y la cantidad de horas que pasa un estudiante jugando a los videojuegos.

• c) La edad de una persona y su número de cédula de identidad.

• d) Los ingresos mensuales de una persona y la cantidad de dinero que ahorra al mes.

• e) La velocidad media de un atleta en una carrera y el tiempo que demora en completarla.

Se dispone de una variable bidimensional $(X, Y)$ donde $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ e $Y$ el consumo eléctrico de un centro comercial en $kW$. Sabemos que el centro medio de la distribución es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente de $b = 15$:

• a) Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando la forma punto-pendiente: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) ¿Cuál sería el consumo esperado para una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes en kg ($X$) y el costo del envío en pesos ($Y$). Se analizaron 5 envíos con los siguientes resultados:

Calculá:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Las desviaciones estándar marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.

Se realizó una encuesta a 10 estudiantes de 1° de bachillerato sobre la cantidad de horas semanales que dedican a hacer deporte ($X$) y su frecuencia cardíaca en reposo ($Y$). Los resultados se representaron en la siguiente nube de puntos:

Observando el gráfico, respondé a las siguientes preguntas:

• a) ¿La correlación entre las variables es positiva o negativa? Explicá qué significa esto en el contexto del problema.

• b) ¿Creés que la correlación es fuerte o débil? Justificá tu respuesta basándote en la proximidad de los puntos a una posible línea recta.

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, con la gráfica que mejor lo represente:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Un analista de redes sociales recopiló datos sobre el número de videos cortos publicados por un grupo de creadores de contenido ($X$) y el número de nuevos seguidores obtenidos en una semana ($Y$). La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

A partir del gráfico:

1. Indicá si existe correlación entre ambas variables y, en caso afirmativo, determiná su signo y su fuerza aproximada.

2. ¿Se trata de una relación funcional o estadística? Justificá tu respuesta.

3. Estimá razonadamente cuál de los siguientes valores podría corresponder al coeficiente de correlación lineal de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Se realizó un estudio sobre la relación entre el tiempo que un estudiante de 1° de bachillerato dedica a jugar videojuegos diariamente en horas ($X$) y su tiempo de reacción medido en milisegundos en un test específico ($Y$). Los parámetros obtenidos son:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ y la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calculá el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Interpretá el resultado obtenido en función del contexto del problema. ¿Qué ocurre con la capacidad de reacción a medida que aumentan las horas de juego?

Un club de básquetbol quiere predecir la cantidad de puntos anotados por sus jugadores ($Y$) en función de los minutos jugados ($X$). Luego de analizar a los jugadores, se obtienen los siguientes datos:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Cantidad de jugadores analizados: $n = 10$.

1. Calculá el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Si un jugador juega $25$ minutos, realizá una estimación de los puntos que anotará utilizando la recta de regresión correspondiente.

Se analiza la relación entre el tiempo de estudio semanal ($X$, en horas) y la nota media ($Y$) de un grupo de estudiantes. Se sabe que la covarianza es $S_{xy} = 4,5$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,75$. Si a todos los estudiantes se les premia con 1 punto extra en su nota media y, además, deciden estudiar el doble de horas la semana siguiente:

1. a) Demuestra matemáticamente cómo varían la nueva covarianza $S'_{xy}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r'$.
2. b) ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones del modelo lineal tras estos cambios? Justifica la respuesta basándote en las propiedades de los parámetros bidimensionales.

En una competición de e-sports, se mide la edad de los jugadores ($X$) y su tiempo de reacción ante un estímulo visual ($Y$, en milisegundos). La nube de puntos sugiere una relación lineal inversa. Se dispone de la siguiente información simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49400$ (para $n = 10$ jugadores).

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
2. b) Un jugador de 32 años (fuera del rango de la muestra original que era de 18 a 25 años) entra en el estudio. Si su tiempo de reacción fuera de 280 ms, ¿cómo afectaría este nuevo punto a la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razona tu respuesta sin necesidad de recalcular todo.

Se ha obtenido la recta de regresión que relaciona el tiempo de uso diario de una red social en minutos ($X$) con el nivel de batería consumido en porcentaje ($Y$). La ecuación de la recta es:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estima el porcentaje de batería consumido si un usuario utiliza la red social durante $120$ minutos.

• b) Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,92$, ¿crees que la estimación anterior es fiable? Justifica tu respuesta.

Una plataforma de streaming analiza la relación entre la temperatura exterior media en grados Celsius ($X$) y el número de horas que sus usuarios pasan viendo series en un fin de semana ($Y$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ obtenida es:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Si un fin de semana la temperatura media es de $8 ^\circ C$, ¿cuántas horas se estima que pasará un usuario viendo series?

2. Si el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, ¿qué fiabilidad tiene la predicción anterior? Explica el significado de este valor.

La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por 6 alumnos en un examen de Matemáticas ($X$) y en uno de Economía ($Y$):

1. Halla la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Obtén la ecuación de la recta de regresión de Economía ($Y$) sobre Matemáticas ($X$).

3. ¿Qué nota se esperaría en Economía para un alumno que ha sacado un $10$ en Matemáticas?

En un estudio sobre hábitos saludables, se mide la distancia recorrida en bicicleta a la semana en km ($X$) y el gasto en mantenimiento de la bicicleta en pesos ($Y$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 4,80x + 600$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,85$.

1. Justificá si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

   • a) Existe una dependencia funcional entre los km recorridos y el gasto.

   • b) La relación entre las variables es directa.

   • c) Si un ciclista no recorre ningún km ($x=0$), el modelo estima un gasto de $600$ pesos.

2. Si el gasto medio anual es de $\bar{y} = 1\,320$ pesos, ¿cuál es la media de km recorridos semanalmente $\bar{x}$?

Se investiga si el precio de un modelo de celular de segunda mano ($Y$, en pesos) depende de su antigüedad ($X$, en meses). Los datos de 100 celulares muestran que:

$\bar{x} = 18$ meses; $\bar{y} = 18\,000$ pesos; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 3\,200$ y $r = -0,88$.

1. Calculá la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Hallá la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente de la recta en este contexto?

4. Estimá el precio de un celular que tiene un año y medio de antigüedad. ¿Es muy confiable esta estimación? ¿Por qué?

En un estudio sobre el rendimiento de una nueva placa solar, se han determinado las dos rectas de regresión que relacionan la intensidad lumínica captada ($X$, en cientos de lux) y la energía eléctrica generada ($Y$, en vatios). Las ecuaciones obtenidas son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcula, justificando cada paso:

1. a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) e interpreta su signo y su fuerza.
3. c) ¿Qué porcentaje de la varianza de la energía generada queda explicada por la intensidad lumínica a través del modelo lineal?

Un equipo de analistas de datos de una conocida red de microblogging estudia la relación entre el número de palabras de un post ($X$) y el número de "me gusta" recibidos ($Y$). Tras analizar una muestra aleatoria, se conocen los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 45$ palabras

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,64$, determina:

1. a) La desviación típica de la variable $Y$.
2. b) La ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
3. c) Si un post tiene un número de "me gusta" que es el doble de la media $\bar{y}$, ¿cuál sería la predicción para su número de palabras?

Un estudio sociológico relaciona el índice de digitalización de un hogar ($X$, escala 1-10) con el ahorro anual ($Y$, en miles de pesos). Se conoce que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -48x + 600$ y que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$.

1. a) Si la varianza de los índices de digitalización es $\sigma_x^2 = 4$, ¿cuál es la varianza de la variable ahorro $\sigma_y^2$?
2. b) Si un hogar tiene un índice de digitalización de 8, estimá su ahorro anual y calculá el error típico de la estimación (desviación típica residual), definida como $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son $4x - 5y + 12 = 0$ y $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica cuál de ellas es la de $Y$ sobre $X$ y cuál la de $X$ sobre $Y$. Justifica tu respuesta utilizando el hecho de que el producto de sus pendientes debe ser igual a $r^2$ y que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Determina los valores medios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Se investiga la relación entre la altitud de una localidad ($X$, en metros) y la presión atmosférica ($Y$, en mb). Los datos de 5 localidades muestran una correlación casi perfecta ($r = -0,99$). Las desviaciones típicas son $\sigma_x = 400$ y $\sigma_y = 45$.

Si la presión media es de $950$ mb a una altitud media de $600$ metros:

1. a) Halla la ecuación de la recta de regresión para predecir la presión en función de la altitud.

1. b) ¿A qué altitud se esperaría una presión de $1013$ mb? Evalúa la fiabilidad de esta respuesta considerando si se trata de una interpolación o extrapolación (las altitudes de las 5 localidades van de $100$ m a $1300$ m).

1. c) Si se descubriera que los medidores de altitud tenían un error sistemático y todas las altitudes reales son $50$ metros superiores a las registradas, ¿cómo afectaría esto a la pendiente de la recta de regresión?