Operaciones con funciones

Dadas las funciones $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina la expresión simplificada de la función suma $(f + g)(x)$ y de la función diferencia $(f - g)(x)$.

Una empresa de mensajería determina que sus ingresos mensuales (en pesos) vienen dados por la función $I(x) = 600x$, donde $x$ es el número de paquetes enviados. Por otro lado, sus costos totales se rigen por la función $C(x) = 200x + 48\,000$.

Obtené la expresión de la función beneficio $B(x) = (I - C)(x)$ y explicá qué representa el término independiente de la función resultante en este contexto.

Un taller artesanal de repostería tiene dos tipos de costos mensuales. El costo de hornos y energía viene dado por la función $F(x) = 20x^2 + 8\,000$, donde $x$ es la cantidad de tortas elaboradas. Por otro lado, los costos de ingredientes y personal siguen la función $V(x) = 1\,200x + 20\,000$.

Calculá la expresión de la función de Costo Total $C(x)$ como suma de ambas y determiná el costo que supone para el taller elaborar 100 tortas en un mes.

Un joven emprendedor vende remeras de diseño. Sus ingresos por la venta de $x$ unidades vienen dados por la función $I(x) = 25x$, mientras que los costos de producción son $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Hallá la expresión analítica de la función Beneficio, definida como $B(x) = (I - C)(x)$. Indicá cuántas remeras debe vender para que el beneficio sea nulo (punto de equilibrio).

Dadas las funciones $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ y $g(x) = x + 5$, calcula el dominio de la función producto $(f \cdot g)(x)$ y de la función cociente $(\frac{f}{g})(x)$. ¿Qué valores de $x$ deben excluirse en cada caso?

Dadas las funciones $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ y $g(x) = \frac{x - 1}{x}$.

Calcula la expresión simplificada de la función Cociente $Q(x) = (f / g)(x)$ y determina su dominio de definición, teniendo en cuenta las restricciones de las funciones originales y de la propia operación.

Considera las funciones $f(x) = 2x - 3$ y $g(x) = x^2 + 1$. Calcula el valor de las siguientes composiciones en los puntos indicados:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

Dadas las funciones $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ y $g(x) = x^2 + 1$.

Obtén la expresión de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ y calcula su valor para $x = 2$. ¿Pertenece el valor $x = -2$ al dominio de esta nueva función? Justifica tu respuesta.

En un laboratorio de biología, el número de individuos de una población de insectos en función del tiempo $t$ (en días) sigue la función $N(t) = 3t + 100$. Se ha observado que el área que ocupa dicha población (en $m^2$) depende del número de individuos según la función $A(n) = \sqrt{n}$.

Halla la función $(A \circ N)(t)$ que exprese el área ocupada en función del tiempo y calcula cuántos metros cuadrados ocuparán después de 25 días.

Una tienda online aplica un descuento del $15\%$ sobre el precio de sus productos, lo que se puede expresar como $d(x) = 0,85x$. Además, por cada compra se cobra una comisión fija de gestión de $2$ pesos, representada por $c(x) = x + 2$. En ambos casos, $x$ es el precio base del producto, en pesos.

El esquema muestra el orden en que se aplican las funciones en cada opción: en la Opción A primero se aplica el descuento y después la comisión; en la Opción B, al revés.

1. a) Halla la expresión de $(c \circ d)(x)$ y explica qué representa en el contexto del problema.
2. b) Halla la expresión de $(d \circ c)(x)$ y explica si el precio final es el mismo que en el apartado anterior.

Halla la expresión algebraica de la función compuesta $(g \circ f)(x)$ siendo $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = \sqrt{x - 1}$. Indica cuál es el dominio de la función resultante.

La figura muestra el esquema de la composición: el valor $x$ entra en $f$ y el resultado que sale de $f$ entra en $g$.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{x + 3}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, se pide realizar un estudio exhaustivo de su composición. La figura muestra la gráfica de $f$.

1. Determina la expresión algebraica de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcula de forma razonada el dominio de definición de $(g \circ f)(x)$. Ten en cuenta que para que la composición exista, $x$ debe pertenecer al dominio de $f$ y $f(x)$ debe pertenecer al dominio de $g$.

3. ¿Es posible calcular $(f \circ g)(0)$? Justifica tu respuesta analizando los dominios de ambas funciones.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

y la función lineal $g(x) = x - 2$.

1. Determina la expresión de la función compuesta $(f \circ g)(x)$. Ten cuidado, ya que el resultado será también una función definida a trozos y los intervalos de definición de $f$ se verán afectados por la traslación de $g$.

2. Calcula los puntos de corte de $(f \circ g)(x)$ con el eje de abscisas ($OX$).

3. Estudia la continuidad de la función resultante $(f \circ g)(x)$ en el punto donde cambia su definición.

En el estudio de un mercado, la oferta de un producto depende del precio $p$ según la función $O(p) = 2p - 10$. Halla la función inversa $O^{-1}$, que permite conocer el precio necesario para obtener una cantidad determinada de oferta. ¿Cuál sería el precio si queremos que la oferta sea de 40 unidades?

Considera la función $f(x) = \sqrt{2x - 6}$.

1. a) Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Determina el dominio y el recorrido tanto de $f(x)$ como de $f^{-1}(x)$ y comprueba la relación existente entre ellos.

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de altura definida por la función $h(t) = -t^2 + 10t - 16$, donde $h$ es la altura en decenas de metros y $t$ es el tiempo en minutos desde que se activa el sensor, con $t \in [2, 8]$. En la figura se muestra la gráfica de la trayectoria.

1. a) Explica por qué la función $h(t)$ no tiene inversa en todo su dominio $[2, 8]$.

1. b) Restringe el dominio de $h(t)$ al intervalo donde el dron está descendiendo para que la función sea inyectiva.

1. c) Calcula la expresión de la función inversa $h^{-1}(x)$ para dicho intervalo de descenso. ¿Qué información nos proporciona esta función inversa en el contexto del problema?

Considera la función exponencial $f(x) = 3 \cdot 2^{x-1} + 4$.

1. Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ despejando la variable $x$ paso a paso.

2. Determina el dominio y el recorrido tanto de $f(x)$ como de $f^{-1}(x)$. Explica la relación que existe entre el recorrido de una y el dominio de la otra.

3. Comprueba analíticamente que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Dada la función $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba que tu resultado es correcto realizando la composición $(f \circ f^{-1})(x)$ y verificando que obtienes la función identidad.

Dada la gráfica de la función $f(x) = x + 3$, dibuja de forma esquemática su función inversa $f^{-1}(x)$ utilizando la simetría respecto a la recta $y = x$. Escribe la expresión analítica de ambas funciones.

En la figura tienes la gráfica de $f$ (en azul) y la recta $y = x$ (discontinua, en naranja). Cada marca de los ejes corresponde a una unidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla la función inversa de $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3}$. Una vez obtenida, realiza las siguientes comprobaciones para verificar que tu cálculo es correcto:

1. a) Calcula $(f \circ f^{-1})(x)$.
2. b) Comprueba que el punto $(4, 13)$ pertenece a la gráfica de $f$ y que el punto $(13, 4)$ pertenece a la de $f^{-1}$.

Un estacionamiento del centro utiliza dos funciones para calcular el precio del estacionamiento. La función $f(x) = |x - 5|$ representa un ajuste por franja horaria y $g(x) = 2x + 3$ representa el precio base, donde $x$ es el número de horas estacionado.

1. Definí la función suma $S(x) = (f + g)(x)$ como una función definida por tramos.

2. Representá gráficamente $S(x)$ e identificá sus puntos de inflexión o cambios de pendiente.

3. Si un conductor deja su auto $x = 2$ horas, ¿cuál es el precio total? ¿Y si lo deja $x = 10$ horas? Comentá la diferencia de comportamiento de la función antes y después de $x = 5$.

En el mercado de valores, el precio de una acción $P$ (en pesos) depende del índice de confianza $I$ según la función $P(I) = \frac{40I}{I + 10}$. A su vez, el índice de confianza depende de la inversión en tecnología $x$ (en millones de pesos) mediante $I(x) = \sqrt{x} + 2$.

1. Obtené la función $(P \circ I)(x)$ que relaciona directamente el precio de la acción con la inversión en tecnología.

2. Calculá la inversión necesaria para que el precio de la acción sea de $20$ pesos.

3. Determiná la función inversa $(P \circ I)^{-1}(y)$. ¿Qué restricciones debe tener $y$ para que esta inversa tenga sentido físico en este mercado?

Un estudio de mercado para una nueva aplicación para celular determina que la función de ingresos mensuales es $R(x) = 20\,000x - 80x^2$ y la función de costos es $C(x) = 4\,000x + 120\,000$, donde $x$ es la cantidad de suscripciones premium vendidas.

1. Hallá la función de beneficio neto $B(x) = (R - C)(x)$.

2. Determiná la cantidad de suscripciones necesarias para que el beneficio sea máximo utilizando las propiedades de las funciones cuadráticas.

3. ¿Para qué valores de $x$ la empresa tiene pérdidas? Resolvé la inecuación $(R - C)(x) < 0$.

En un laboratorio de biología, la población de una bacteria en un tiempo $t$ (horas) viene dada por la función $P(t) = \frac{100}{1 + 9 \cdot e^{-0,5t}}$. La gráfica muestra la evolución de $P(t)$ durante las primeras 12 horas.

1. Si llamamos $f(t) = e^{-0,5t}$, expresa $P(t)$ como una combinación de operaciones básicas (suma, producto, cociente) entre funciones constantes y la función $f(t)$.

2. Calcula el tiempo $t$ necesario para que la población alcance las 50 bacterias. Para ello, deberás invertir la función $P(t)$ de forma algebraica.

3. ¿Cuál es el límite de la población cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to \infty$)? Interpreta el resultado desde el punto de vista de las operaciones con funciones (qué ocurre con el denominador al crecer $t$).