Fracciones algebraicas
Una empresa de mensajería de Montevideo cobra $\$\,80x^2+400x$ por enviar $x$ paquetes. ¿Cuánto sale cada paquete? Para saberlo hay que dividir dos polinomios, o sea, armar una fracción algebraica y simplificarla. Una fracción algebraica como $\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ se maneja igual que $\dfrac{10}{15}$: para simplificarla, sumarla o dividirla hace falta factorizar antes, así como con los números hace falta conocer sus factores. Al final de la página volvemos al costo por paquete.
Simplificar factorizando
Simplificar una fracción algebraica es cancelar los factores que numerador y denominador tienen en común. El paso imprescindible, siempre, es factorizar los dos primero: factor común, productos notables (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto), fórmula resolvente o Ruffini.
Además, la expresión solo tiene sentido si el denominador no se anula: esos valores de $x$ quedan excluidos del dominio, aunque después se cancelen.
Vamos a resolver el problema del costo de los envíos: $\dfrac{80x^2+400x}{x}$ se simplifica sacando factor común, y la regla es la misma.
Una empresa de mensajería calcula el costo de envío de $x$ paquetes mediante la fórmula $C(x) = 80x^2 + 400x$ pesos. Escribí la fracción algebraica que representa el…
Una empresa de mensajería calcula el costo de envío de $x$ paquetes mediante la fórmula $C(x) = 80x^2 + 400x$ pesos. Escribí la fracción algebraica que representa el costo medio por paquete y simplificala al máximo.
Nota: El costo medio se calcula dividiendo el costo total $C(x)$ entre el número de paquetes $x$.
Simplificá la siguiente fracción algebraica utilizando los productos notables para descomponer el numerador: $$\frac{x^2 - 25}{x - 5}$$ Indicá para qué valor de $x$ la…
Simplificá la siguiente fracción algebraica utilizando los productos notables para descomponer el numerador:
$$\frac{x^2 - 25}{x - 5}$$Indicá para qué valor de $x$ la expresión original no tiene sentido matemático.
Extrae factor común en el numerador y el denominador para simplificar al máximo la siguiente expresión: $$\frac{4x^2 + 8x}{2x^2 - 6x}$$
Extrae factor común en el numerador y el denominador para simplificar al máximo la siguiente expresión:
$$\frac{4x^2 + 8x}{2x^2 - 6x}$$Un error muy común entre los estudiantes es "tachar" términos que están sumando. Observa la siguiente ilustración y razona, sin realizar cálculos complejos, por qué la…
Un error muy común entre los estudiantes es "tachar" términos que están sumando. Observa la siguiente ilustración y razona, sin realizar cálculos complejos, por qué la igualdad planteada es falsa:
¿Qué condición debería cumplirse para que la simplificación fuera correcta?
Factorizar con Ruffini para simplificar
Cuando el polinomio es de grado 3 o más, no alcanzan los productos notables. Se busca una raíz entera (divisor del término independiente), se aplica Ruffini y queda un factor lineal por un polinomio de menor grado.
Un equipo de ingenieros aeroespaciales está analizando la resistencia de un nuevo material compuesto. La relación entre la deformación y la carga aplicada viene dada por…
Un equipo de ingenieros aeroespaciales está analizando la resistencia de un nuevo material compuesto. La relación entre la deformación y la carga aplicada viene dada por la siguiente fracción algebraica:
$$R(x) = \frac{x^3 - 7x^2 + 10x}{x^2 - 25}$$Factoriza el numerador y el denominador para simplificar la expresión al máximo y facilitar los cálculos posteriores del equipo.
El área de un cartel publicitario rectangular viene dada por la expresión polinómica $A(x) = x^2 - 1$. Si sabemos que la base del cartel mide $x + 1$, encuentra la…
El área de un cartel publicitario rectangular viene dada por la expresión polinómica $A(x) = x^2 - 1$. Si sabemos que la base del cartel mide $x + 1$, encuentra la expresión algebraica simplificada que representa la altura $h$.
Se desea diseñar un depósito de almacenamiento de grano con forma de prisma rectangular. La relación entre el volumen $V$ y el área de la base $B$ define la altura…
Se desea diseñar un depósito de almacenamiento de grano con forma de prisma rectangular. La relación entre el volumen $V$ y el área de la base $B$ define la altura $h = \frac{V}{B}$.
Si el volumen del depósito viene dado por $V(x) = x^3 - 7x + 6$ y el área de la base por $B(x) = x^2 + x - 6$, expresa la altura $h$ como un polinomio simplificado. ¿Para qué valor de $x$ la altura del depósito sería de $5$ metros?
Multiplicación y división
Igual que con fracciones numéricas: multiplicar es numerador por numerador y denominador por denominador; dividir es multiplicar por la inversa. Factorizar antes de multiplicar permite simplificar sobre la marcha.
Realiza el siguiente producto de fracciones algebraicas y simplifica el resultado antes de multiplicar los términos si es posible: $$\frac{x + 3}{5} \cdot \frac{10}{x^2…
Realiza el siguiente producto de fracciones algebraicas y simplifica el resultado antes de multiplicar los términos si es posible:
$$\frac{x + 3}{5} \cdot \frac{10}{x^2 - 9}$$Resuelve la siguiente división de fracciones algebraicas transformándola en un producto cruzado y simplificando el resultado final: $$\frac{x^2}{x - 1} : \frac{x}{x -…
Resuelve la siguiente división de fracciones algebraicas transformándola en un producto cruzado y simplificando el resultado final:
$$\frac{x^2}{x - 1} : \frac{x}{x - 1}$$Una empresa de logística urbana utiliza drones para repartir paquetes. El área de la base de las cajas de transporte es rectangular y sus dimensiones, en decímetros,…
Una empresa de logística urbana utiliza drones para repartir paquetes. El área de la base de las cajas de transporte es rectangular y sus dimensiones, en decímetros, vienen dadas por las expresiones que se muestran en la imagen. Calcula la expresión simplificada que representa el área total de la base de la caja multiplicando ambas dimensiones.
Las dimensiones son $Largo = \frac{x^2 - 1}{x}$ y $Ancho = \frac{x+2}{x-1}$. Calcula el área del rectángulo simplificando el producto de ambas fracciones.
Un analista financiero está comparando la rentabilidad de dos fondos de inversión. La diferencia de rentabilidad entre ambos se expresa mediante el cociente de dos…
Un analista financiero está comparando la rentabilidad de dos fondos de inversión. La diferencia de rentabilidad entre ambos se expresa mediante el cociente de dos fracciones algebraicas:
$$\left( \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 4} \right) : \left( \frac{x^2 + 3x}{x - 2} \right)$$Resuelve la división y simplifica el resultado final para que el analista pueda presentar un informe más claro a sus clientes.
Simplificá al máximo la siguiente expresión algebraica, factorizando previamente todos los polinomios mediante productos notables y la regla de Ruffini: $$\frac{x^4 -…
Simplificá al máximo la siguiente expresión algebraica, factorizando previamente todos los polinomios mediante productos notables y la regla de Ruffini:
$$\frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^3 - x^2 - 9x + 9} \cdot \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 + x - 6}$$Suma y resta
Con el mismo denominador, se suman los numeradores y el denominador queda igual. Con denominadores distintos hace falta un común denominador: se factoriza cada denominador y se toma el mínimo común múltiplo (cada factor con su mayor exponente).
Calcula la suma de las siguientes fracciones algebraicas. Al tener el mismo denominador, recuerda que solo debes operar con los numeradores: $$\frac{3x + 1}{x + 2} +…
Calcula la suma de las siguientes fracciones algebraicas. Al tener el mismo denominador, recuerda que solo debes operar con los numeradores:
$$\frac{3x + 1}{x + 2} + \frac{x + 7}{x + 2}$$En un estudio sobre la propagación de una noticia en redes sociales, se ha determinado que el tiempo de respuesta de los usuarios (en segundos) depende de dos variables…
En un estudio sobre la propagación de una noticia en redes sociales, se ha determinado que el tiempo de respuesta de los usuarios (en segundos) depende de dos variables combinadas en la siguiente operación:
$$\frac{3x}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} - \frac{8}{x^2-4}$$Realiza la operación reduciendo a común denominador y simplifica el resultado para obtener una única fracción algebraica que modele este comportamiento.
Dos ciclistas recorren la misma distancia $d$. El primero lo hace a una velocidad media de $x$ km/h y el segundo a una velocidad media de $x+5$ km/h. La diferencia de…
Dos ciclistas recorren la misma distancia $d$. El primero lo hace a una velocidad media de $x$ km/h y el segundo a una velocidad media de $x+5$ km/h. La diferencia de tiempo (en horas) que tardan en completar el recorrido viene dada por la expresión:
$$T(x) = \frac{d}{x} - \frac{d}{x+5}$$Si la distancia es constante $d = 100$ km, opera la resta de fracciones algebraicas y obtén una única expresión que relacione la diferencia de tiempo con la velocidad $x$.
Demuestra, mediante el desarrollo y simplificación de la parte izquierda de la igualdad, que la siguiente expresión es una identidad (el resultado es constante):…
Demuestra, mediante el desarrollo y simplificación de la parte izquierda de la igualdad, que la siguiente expresión es una identidad (el resultado es constante):
$$\frac{x + 2}{x^2 - 1} \cdot \frac{x + 1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = 0$$Operaciones combinadas y fracciones complejas
Cuando se mezclan sumas, restas, productos y paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis, respetando que la multiplicación y la división se hacen antes que la suma y la resta. Una fracción compleja tiene fracciones en su numerador o denominador: se reduce cada piso a una única fracción y se divide al final.
Un grupo de estudiantes de 1° de bachillerato está realizando un experimento de química sobre la velocidad de reacción. Obtuvieron una expresión compleja que necesitan…
Un grupo de estudiantes de 1° de bachillerato está realizando un experimento de química sobre la velocidad de reacción. Obtuvieron una expresión compleja que necesitan simplificar antes de ingresar los datos en su software de simulación:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x^2 - x}{x + 1}$$Operá siguiendo la jerarquía de las operaciones y simplificá el resultado final.
Se está diseñando un microchip donde el flujo de datos por un canal se rige por la suma de dos inversos de capacidad. La expresión resultante es: $$C_{total} =…
Se está diseñando un microchip donde el flujo de datos por un canal se rige por la suma de dos inversos de capacidad. La expresión resultante es:
$$C_{total} = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}}$$Simplifica esta "fracción de fracciones" (fracción compleja) para obtener una única expresión algebraica lineal o cuadrática que defina el flujo total.
Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado hasta obtener una fracción irreducible: $$\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{x}{x^2 - 4} \right) : \left(…
Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado hasta obtener una fracción irreducible:
$$\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{x}{x^2 - 4} \right) : \left( \frac{x}{x + 2} - \frac{2}{x^2 + 4x + 4} \right)$$Las "fracciones continuas" son expresiones donde los denominadores contienen a su vez otras fracciones. Simplifica la siguiente estructura para convertirla en una única…
Las "fracciones continuas" son expresiones donde los denominadores contienen a su vez otras fracciones. Simplifica la siguiente estructura para convertirla en una única fracción algebraica racional:
$$x - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}$$Parámetros y descomposición
A veces hay que hallar un número desconocido para que una fracción se pueda simplificar o para que dos expresiones sean iguales.
Divisibilidad. Si $P(x)$ es divisible por $(x-a)$, entonces $P(a)=0$ (teorema del resto). Esto da una ecuación para el parámetro.
Igualdad de fracciones. Para hallar $A$ y $B$ en $\dfrac{8x-11}{x^2-x-6}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}$, se factoriza $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, se suma el lado derecho y se igualan los numeradores: $8x-11=A(x+2)+B(x-3)$. Esa igualdad vale para todo $x$, así que se pueden elegir valores convenientes ($x=3$ y $x=-2$) o comparar coeficientes.
En el diseño de un nuevo parque inteligente, los arquitectos quieren que la proporción entre la zona de césped y la zona de juegos siga una regla específica. Para que el…
En el diseño de un nuevo parque inteligente, los arquitectos quieren que la proporción entre la zona de césped y la zona de juegos siga una regla específica. Para que el proyecto sea aprobado, la siguiente fracción algebraica debe poder simplificarse:
$$F(x) = \frac{x^2 + kx - 12}{x - 3}$$Calcula el valor de la constante $k$ para que el numerador sea divisible por el denominador y realiza la simplificación.
Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que la siguiente igualdad entre fracciones sea válida para cualquier valor de $x$ que no anule los…
Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que la siguiente igualdad entre fracciones sea válida para cualquier valor de $x$ que no anule los denominadores:
$$\frac{8x - 11}{x^2 - x - 6} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2}$$Halla el valor de los coeficientes $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12$ es divisible por $(x - 2)$ y que al simplificar la fracción…
Halla el valor de los coeficientes $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12$ es divisible por $(x - 2)$ y que al simplificar la fracción algebraica $\frac{P(x)}{x^2 - x - 6}$ se obtiene un polinomio de primer grado. Una vez hallados $a$ y $b$, realiza dicha simplificación.
Modelos con fracciones algebraicas
Las fracciones algebraicas aparecen al comparar magnitudes: costo medio, costo por cliente, altura de un prisma ($h=V/B$) o área de un rectángulo. La estrategia es siempre la misma: escribir la expresión, factorizar y simplificar.
Volviendo al principio: el costo medio por paquete es $\dfrac{80x^2+400x}{x}=80x+400$ pesos. Por ejemplo, con $10$ paquetes cada uno sale $\$\,1.200$.
En el departamento de marketing de una empresa de cosméticos, determinaron que el costo total de una campaña publicitaria en redes sociales viene dado por la expresión…
En el departamento de marketing de una empresa de cosméticos, determinaron que el costo total de una campaña publicitaria en redes sociales viene dado por la expresión $C(x) = \frac{80x^2 + 400x}{x - 1}$, donde $x$ es el número de días que dura la campaña ($x > 1$). Por otro lado, el número de clientes nuevos alcanzados se estima mediante $N(x) = \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 1}$.
Obtené y simplificá la expresión de la "Inversión por Cliente" ($IC$), definida como el cociente entre el costo total y el número de clientes alcanzados: $IC(x) = \frac{C(x)}{N(x)}$.