Asíntotas y ramas infinitas en funciones racionales

Calcula los siguientes límites analizando el término de mayor grado de cada polinomio:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$ de las siguientes funciones racionales comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Calcula los siguientes límites de funciones con raíces:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$

Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina el valor de los límites en el infinito e indica la ecuación de su asíntota horizontal:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Halla la ecuación de la asíntota horizontal de las siguientes funciones. Si no tiene, indícalo razonadamente:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

El número de usuarios de una red social educativa, medido en miles, sigue la evolución temporal $t$ (en meses) según la función:

1. Calcula el número de usuarios iniciales (en $t=0$).

2. Determina a cuánto tenderá el número de usuarios a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

3. ¿Existe algún valor de $t$ para el cual la función no sea continua? Razona si dicho valor tiene sentido en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites y determina, a partir de ellos, las asíntotas horizontales de cada función:

1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$

Para la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la siguiente tabla de valores para investigar su comportamiento cuando $x$ se acerca a $0$.

A partir de la tabla, deduce el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Existe el límite global en $x=0$?

Dada la función $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica cuál es su dominio de definición.
2. b) Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está definida: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) ¿Qué tipo de rama infinita presenta la función en $x = 4$?

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Determina su dominio de definición.

2. Calcula los límites laterales en los puntos donde la función no está definida.

3. Especifica cuáles de esos puntos corresponden a una asíntota vertical y cuáles a una discontinuidad evitable (punto desplazado).

Considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Si sabemos que la función pasa por el punto $(0, -1)$, halla el valor de $k$.

2. Con el valor de $k$ obtenido, realiza un estudio completo de las asíntotas de la función y sitúa las ramas infinitas de la misma respecto a sus asíntotas verticales.

Estudia el comportamiento en el infinito de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculando:

1. a) La existencia de una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$.

1. b) La posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ (indica si la función va por encima o por debajo de la recta).

Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Al no tener asíntotas horizontales ni verticales, determina la ecuación de su asíntota oblicua y representa esquemáticamente su comportamiento en el infinito mediante el siguiente gráfico de referencia:

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es $y = 2x + 5$. Una vez hallados los parámetros, estudia si la gráfica de la función se encuentra por encima o por debajo de dicha asíntota cuando $x \to +\infty$.

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 1}{x^2 + x}$. Una vez obtenida:

1. a) Calcula el punto donde la gráfica de la función corta a dicha asíntota oblicua.
2. b) Determina, mediante el estudio del límite de la diferencia $[f(x) - (mx+n)]$, si la función se acerca a la asíntota por encima o por debajo cuando $x \to +\infty$.

Asocia cada una de las siguientes funciones con su comportamiento en $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportamientos:

1. a) Tiende a $+\infty$ (Rama parabólica).
2. b) Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$.
3. c) Tiene una asíntota horizontal en $y = 5$.

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, identifica las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y describe el comportamiento de la función mediante límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Determina el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $g(x) = \frac{ax + 5}{bx - 4}$ tenga una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallados, comprueba si la función es creciente o decreciente en su dominio.

Calcula todas las asíntotas de la siguiente función definida a trozos y estudia el comportamiento de sus ramas infinitas:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica específicamente los límites laterales en los puntos donde existan asíntotas verticales.