Sucesos dependientes e independientes

Observá la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de deporte preferido por un grupo de 100 adolescentes:

Se elige un adolescente al azar. Calculá:

1. a) $P(F)$, la probabilidad de que le guste el fútbol.
2. b) $P(F|H)$, la probabilidad de que le guste el fútbol sabiendo que es un chico.
3. c) A la vista de los resultados, ¿son independientes los sucesos "ser chico" y "gustar el fútbol"?

Se realizó una encuesta en un liceo sobre el uso de dos redes sociales: Instagram ($I$) y TikTok ($T$). Los resultados muestran que el $70\%$ de los alumnos usa Instagram, el $50\%$ usa TikTok y el $35\%$ usa ambas plataformas. Determiná si el uso de Instagram es independiente del uso de TikTok en este liceo.

En un liceo de Montevideo, se realizó un estudio sobre los hábitos de desayuno y el curso que hacen los alumnos, obteniendo los siguientes datos:

Se elige un alumno al azar. Comprobá si el evento "desayunar en casa" es independiente del evento "estar en 1° de Bachillerato".

Sean $A$ y $B$ dos eventos asociados a un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el evento $A$ es $P(A) = 0,6$ y la probabilidad de que ocurra el evento $B$ es $P(B) = 0,3$. Si se sabe que los eventos son independientes, calculá la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Dos componentes electrónicos de un dron, $A$ y $B$, funcionan de forma independiente. La probabilidad de que falle el componente $A$ es de $0,05$ y la probabilidad de que falle el componente $B$ es de $0,08$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el dron pueda seguir volando si para ello es necesario que al menos uno de los dos componentes funcione correctamente.

1. b) Calcula la probabilidad de que falle exactamente uno de los dos componentes.

Un estudiante de bachillerato tiene dos despertadores independientes en su celular. El primero ($D_1$) funciona el $95\%$ de las mañanas y el segundo ($D_2$) funciona el $90\%$ de las veces.

1. a) Calculá la probabilidad de que el estudiante se quede dormido porque no suene ninguno de los dos despertadores.

1. b) Si sabemos que al menos uno de los despertadores sonó, ¿cuál es la probabilidad de que el despertador $D_1$ haya fallado?

Extraemos dos cartas de un mazo de baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera al mazo.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un Rey?
2. b) Sabiendo que la primera carta fue un Rey, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un Rey?
3. c) ¿Son estos eventos dependientes o independientes?

Una urna contiene 5 bolas amarillas y 3 bolas lilas. Extraemos dos bolas de la urna de forma consecutiva y sin devolución.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento, indicando la probabilidad de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una urna contiene $n$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas sin devolución. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es exactamente $\frac{1}{3}$, determina mediante una ecuación algebraica cuántas bolas blancas había inicialmente en la urna.

Un programador de videojuegos está probando el sistema de "críticos" de un personaje. El personaje tiene una probabilidad de $0,2$ de asestar un golpe crítico ($C$). Sin embargo, el sistema está diseñado para que, si el último golpe fue crítico, la probabilidad de que el siguiente también lo sea baje a $0,1$ debido al enfriamiento de la habilidad. Si el último golpe no fue crítico, la probabilidad del siguiente se mantiene en $0,2$.

1. a) ¿Son los sucesos "primer golpe crítico" y "segundo golpe crítico" independientes? Razoná la respuesta.

1. b) Calculá la probabilidad de que, en una secuencia de dos golpes, el personaje no aseste ningún crítico.

Un sistema de seguridad de doble autenticación envía un código al celular del usuario. Si el primer mensaje no llega (lo cual ocurre con una probabilidad de $0,12$), el sistema intenta un segundo envío. Sin embargo, debido a la saturación de la red, si el primer envío falló, la probabilidad de que el segundo también falle aumenta a $0,45$. Por otro lado, si el primer envío fue exitoso, la probabilidad de que el usuario reciba un segundo mensaje de confirmación es de $0,98$.

Calculá la probabilidad de que un usuario reciba el segundo mensaje, independientemente de lo que haya ocurrido con el primero.

En un entrenamiento de básquetbol, un jugador lanza dos tiros libres consecutivos. La probabilidad de encestar el primero es de $0,7$. Si encesta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de encestar el segundo es de $0,8$. Si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de encestar el segundo baja a $0,4$.

Si sabemos que el jugador encestó solo uno de los dos lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo?

En un centro de inteligencia, un software de reconocimiento facial analiza imágenes. La probabilidad de que identifique correctamente a un individuo si este está en la base de datos es de $0,95$. Sin embargo, el software tiene un margen de error y a veces identifica erróneamente a personas que no están en la base de datos con una probabilidad de $0,02$.

Sabiendo que solo el $1\%$ de las personas que pasan por una aduana están en la base de datos, calcula:

1. a) La probabilidad de que el software dé una alerta (identifique a alguien).
2. b) Si el software ha identificado a una persona, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté en la base de datos?

Tres laboratorios farmacéuticos ($L_1$, $L_2$ y $L_3$) fabrican el mismo tipo de test de antígenos. $L_1$ produce el $45\%$ del total, $L_2$ el $30\%$ y $L_3$ el resto. Se sabe que el porcentaje de tests defectuosos es del $1\%$ para $L_1$, del $2\%$ para $L_2$ y del $3\%$ para $L_3$.

Si elegimos dos tests al azar de un gran lote donde están mezclados todos los fabricantes (podés considerar que la extracción es con reposición debido al gran volumen):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?
2. b) Sabiendo que el primero resultó defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también lo sea? Justificá si estos eventos son dependientes o independientes.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,58$.

1. a) Calculá $P(A \cap B)$.

1. b) Determiná si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

1. c) Calculá la probabilidad condicional $P(A | \bar{B})$, siendo $\bar{B}$ el suceso contrario de $B$.

Dos sucesos $A$ y $B$ cumplen que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$. Determiná el intervalo de valores posibles para la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y, basándote en eso, razoná por qué los sucesos $A$ y $B$ no pueden ser nunca incompatibles. ¿Qué valor debería tener $P(A \cap B)$ para que $A$ y $B$ fueran independientes?

Se lanzan dos dados tetraédricos (caras numeradas del 1 al 4). Sean los sucesos:

• $A$: "La suma de las caras es un número primo".

• $B$: "El producto de las caras es un múltiplo de 4".

• $C$: "Al menos uno de los dados muestra un 1".

Estudiá la independencia de los sucesos $A$ y $B$, y de los sucesos $B$ y $C$. ¿Existe alguna relación de dependencia entre el resultado del primer dado y el resultado del segundo? Explicalo matemáticamente.