Progresiones geométricas y matemática financiera

Un joven creador de contenido en una red social observa que el número de reproducciones de sus videos aumenta de forma constante. El primer día obtuvo $200$ visualizaciones, el segundo $600$, el tercero $1800$, y así sucesivamente siguiendo una progresión geométrica.

1. a) Determina la razón $r$ de la progresión.
2. b) Calcula cuántas visualizaciones recibirá el sexto día si se mantiene esta tendencia.

Para comprarse una bicicleta eléctrica, una estudiante decide hacer el "reto del ahorro semanal": guarda dinero cada semana de forma que cada entrega sea el doble de la anterior. La primera semana guarda $80$ pesos, la segunda $160$ pesos, la tercera $320$ pesos, y así sucesivamente.

1. a) Escribe el término general $a_n$ de esta progresión.
2. b) Utiliza la fórmula de la suma de una progresión geométrica para averiguar cuánto dinero habrá acumulado en total al cabo de $8$ semanas.

Dada la progresión geométrica definida por los términos $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$:

1. a) Halla la razón $r$ y el primer término $a_1$.
2. b) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión.
3. c) ¿Sería posible calcular la suma de sus infinitos términos? Justifica tu respuesta.

Se deja caer una pelota desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote, la pelota alcanza una altura igual a los $2/3$ de la altura del rebote anterior.

1. a) ¿Qué altura alcanzará después del sexto rebote?
2. b) Calcula la distancia total recorrida por la pelota (subidas y bajadas) hasta que, teóricamente, se detiene. Utiliza la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente, teniendo en cuenta que, excepto la caída inicial, todos los trayectos se realizan dos veces (subida y bajada).

Un abuelo abre una cuenta de ahorros para su nieto recién nacido con un capital inicial de $80\,000$ pesos. La entidad bancaria ofrece un interés simple anual del $2,5 \%$.

1. a) Calcula los intereses que generará la cuenta al cabo de $10$ años.
2. b) ¿A cuánto ascenderá el capital total acumulado tras ese periodo?

Un banco ofrece un depósito a interés compuesto con una tasa de interés anual del $3 \%$. Si depositamos $200\,000$ pesos y no realizamos ningún otro aporte ni retiro:

1. a) ¿Cuál será el capital final al cabo de $4$ años?
2. b) ¿Cuánto dinero habremos ganado exclusivamente en concepto de intereses?

Debido a la inflación, el precio del alquiler de una zona joven de la ciudad ha ido subiendo un $4 \%$ cada año de manera acumulativa. Si el precio actual de un estudio es de $26\,000$ pesos al mes:

1. a) ¿Cuál será el precio del alquiler dentro de $3$ años?
2. b) Identifica los elementos de la progresión geométrica que modeliza esta situación (capital inicial $C_0$ y razón $r$).

Calcula el capital final que se obtendría al invertir $1500$ pesos durante $2$ años a un interés compuesto del $4 \%$ anual, si el periodo de capitalización de los intereses es mensual (es decir, los intereses se abonan cada mes).

Una joven decide invertir sus ahorros de $\$100\,000$ en un producto financiero que ofrece un interés compuesto del $3,2 \%$ anual.

1. a) ¿Cuál será el capital final si los intereses se capitalizan anualmente durante 6 años?
2. b) ¿Cuál sería la diferencia si la capitalización fuera mensual en lugar de anual para ese mismo periodo de tiempo?

Un inversor analiza dos cuentas de ahorro distintas:

• Cuenta A: Ofrece un interés del $4 \%$ anual con capitalización trimestral.

• Cuenta B: Ofrece un interés del $4,05 \%$ anual con capitalización anual.

Determina razonadamente, calculando la Tasa Anual Equivalente (TAE) de la Cuenta A, cuál de las dos opciones es más beneficiosa para el inversor.

El valor de mercado de un modelo de consola de videojuegos se deprecia un $12 \%$ cada año que pasa. Si el precio de lanzamiento es de $19\,960$ pesos:

1. a) Escribe los tres primeros términos de la sucesión de precios anuales.
2. b) Calcula el valor de la consola después de $5$ años.

Un estudiante universitario compra una laptop de última generación por $\$48\,000$. Se estima que el valor del equipo se deprecia un $15 \%$ cada año de forma acumulativa.

1. a) ¿Cuál será el valor de la laptop tras 3 años de uso?
2. b) ¿Cuántos años deben transcurrir para que el valor de la laptop sea inferior a la cuarta parte de su precio original? (Utilizá logaritmos para el cálculo).

Un coleccionista de arte compra una escultura por $480\,000$ pesos. Se estima que su valor aumentará un $8\%$ cada año de forma constante. Al mismo tiempo, la inflación promedio prevista para la próxima década es del $2,5\%$ anual.

1. a) ¿Cuál será el valor nominal de la escultura al cabo de 10 años?
2. b) ¿Cuál será el valor real de la escultura transcurridos esos 10 años, expresado en "pesos de hoy"? Para ello, debés deflactar el valor nominal utilizando el índice de precios derivado de la inflación (que también sigue una progresión geométrica).

Una joven de 18 años quiere constituir un fondo de $\$6\,000\,000$ dentro de 20 años, cuando cumpla 38, para la entrada de una vivienda y montar su propio negocio. Si la entidad financiera le garantiza un interés medio del $3,5 \%$ anual capitalizable anualmente:

¿Qué cantidad fija debería ingresar al comienzo de cada año para alcanzar su objetivo?

Una joven emprendedora decide abrir una cuenta de ahorro para financiar su proyecto de una marca de ropa sostenible dentro de 5 años. Para ello, se compromete a ingresar $150$ pesos al principio de cada mes. La entidad bancaria le ofrece un interés nominal anual del $4,5\%$, con capitalización mensual de los intereses.

Calcula el capital total que habrá acumulado al finalizar los 5 años. Para resolverlo, debes obtener primero la tasa de interés mensual equivalente y aplicar la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica (anualidad de capitalización).

Un pequeño emprendedor solicita un préstamo de $\$600\,000$ para adquirir maquinaria. El banco le concede el préstamo a un interés del $5,5 \%$ anual, que debe devolver en cuotas mensuales iguales durante 4 años.

1. a) Calcula el importe de la mensualidad que deberá abonar.
2. b) ¿A cuánto ascenderán los intereses totales pagados al finalizar el préstamo?

Una familia solicita un préstamo hipotecario de $7\,200\,000$ pesos a devolver en 20 años mediante cuotas mensuales constantes (sistema francés). El banco aplica un interés del $3,25\%$ anual. Sin embargo, el contrato incluye una cláusula de "carencia parcial" durante los dos primeros años, en los que la familia solo pagará los intereses generados, sin amortizar nada de capital.

1. a) Calcula la cuota mensual que pagará la familia durante los dos primeros años (periodo de carencia).
2. b) Calcula la cuota mensual que deberán pagar a partir del tercer año hasta el final del préstamo. Ten en cuenta que en ese momento el capital pendiente sigue siendo el inicial, pero el tiempo restante ha disminuido.

Una intendencia quiere renovar los sistemas de iluminación de sus calles para ahorrar energía. El costo de la obra es de $60\,000\,000$ pesos. Para pagarlo, pide un préstamo al $2,8\%$ de interés anual que amortizará mediante 10 cuotas anuales iguales.

Tras pagar la quinta cuota, la intendencia recibe una subvención internacional y decide cancelar la deuda pendiente de un solo pago. Calculá cuánto dinero deberá desembolsar la intendencia en ese momento para liquidar el préstamo totalmente.