Loi de décroissance radioactive, demi-vie, activité et datation
Un hôpital de Marseille prépare une dose de technétium 99m pour un examen d'imagerie médicale. Quelques heures plus tard, la dose n'est plus utilisable : elle a « perdu » presque toute son activité. Comment prévoir cette baisse ? Et comment la même idée permet-elle de dater un morceau de bois trouvé près de Lascaux ? C'est ce que tu vas comprendre ici.
Une désintégration au hasard, une loi exponentielle
Un noyau radioactif se désintègre de façon aléatoire : on ne peut pas prévoir quand un noyau donné va se désintégrer. En revanche, avec un très grand nombre de noyaux, le comportement global est parfaitement prévisible.
Voici une simulation de 100 noyaux qui se désintègrent au hasard.
Tu remarques que, à chaque durée égale, le nombre de noyaux est divisé par la même quantité. Cela signifie que le nombre de noyaux qui disparaissent pendant une courte durée $\mathrm{d}t$ est proportionnel au nombre $N$ de noyaux présents :
$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$$où $\lambda > 0$ est la constante radioactive. Le signe « − » traduit que $N$ diminue. Plus il y a de noyaux, plus il y en a qui se désintègrent : c'est la raison de cette proportionnalité.
Vérifions : si $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, alors $N'(t) = -\lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$, et $N(0) = N_0\,\mathrm{e}^{0} = N_0$. Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $y = K\mathrm{e}^{at}$ ; la condition initiale impose $K = N_0$.
L'unité de $\lambda$ est l'inverse d'un temps : $\lambda\,t$ est sans dimension, donc $\lambda$ s'exprime en $\text{s}^{-1}$, $\text{h}^{-1}$, $\text{an}^{-1}$…
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$. a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$. b)…
La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$.
- a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$.
- b) Donner l'unité de la constante radioactive $\lambda$.
- c) Établir la relation entre $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$.
Temps de demi-vie
Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée : $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$.
Conséquence : après $k$ demi-vies, il reste $N_0/2^k$ noyaux.
| Durée | $0$ | $t_{1/2}$ | $2\,t_{1/2}$ | $3\,t_{1/2}$ | $10\,t_{1/2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Noyaux restants | $N_0$ | $N_0/2$ | $N_0/4$ | $N_0/8$ | $\approx N_0/1\,000$ |
Demi-vie effective
En médecine, un radionucléide injecté disparaît de deux façons indépendantes : par désintégration (constante $\lambda_{phys}$) et par élimination biologique (constante $\lambda_{bio}$). Chaque processus fait disparaître une fraction des noyaux proportionnelle à $N$ : les vitesses de disparition s'additionnent, donc les constantes aussi.
$$\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio} \quad\text{et}\quad t_{eff} = \frac{\ln 2}{\lambda_{eff}}$$L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux. a) Calculer le…
L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux.
- a) Calculer le nombre de noyaux restants après $8,02$ jours.
- b) Calculer le nombre de noyaux restants après $24,06$ jours.
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$. a) Calculer…
Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
- a) Calculer l'activité surfacique après $60,4$ ans.
- b) Calculer la durée nécessaire pour que cette activité soit inférieure à $10\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.
Activité d'un échantillon
Ce que l'on mesure en pratique (avec un compteur), ce n'est pas $N$, mais le nombre de désintégrations par seconde.
Comme $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, le nombre de désintégrations par unité de temps vaut $\lambda N$ :
$$A(t) = \lambda\,N(t) = \lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$$L'activité décroît donc avec la même loi que $N$ et avec la même demi-vie : $A(t_{1/2}) = A_0/2$. Les préfixes usuels sont le kBq, le MBq, le GBq.
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$. a) Donner la…
Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.
- a) Donner la définition de l'activité $A$ et son unité.
- b) Calculer l'activité de l'échantillon.
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est…
Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est $A_0 = 600\ \text{MBq}$.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$.
- b) Calculer l'activité de la dose à $14\,\text{h}$, puis à $20\,\text{h}$.
- c) Déterminer à quelle heure l'activité sera de $75\ \text{MBq}$.
Exploiter des mesures : vérifier le modèle
Comment savoir si des mesures suivent bien une décroissance exponentielle ? On linéarise. Si $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, alors
$$\ln A = \ln A_0 - \lambda t$$C'est une fonction affine de $t$. En traçant $\ln A$ en fonction de $t$, on obtient une droite de coefficient directeur $-\lambda$ si le modèle est valable.
Avec Python, on peut obtenir $\lambda$ par régression linéaire :
import numpy as np
t = np.array([0, 2, 4, 6, 8])
A = np.array([800, 635, 504, 400, 317]) / 10 # valeurs en kBq : 80,0 ; 63,5 ; 50,4 ; 40,0 ; 31,7 (dixièmes de kBq divisés par 10)
pente, ordonnee = np.polyfit(t, np.log(A), 1)
lam = -pente
print(lam, np.log(2) / lam)
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers : | $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | |---|---|---|---|---|---| | $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0…
On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers :
| $t$ (h) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| $A$ (kBq) | 80,0 | 63,5 | 50,4 | 40,0 | 31,7 |
- a) Montrer que ces données sont compatibles avec une décroissance exponentielle $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
- b) Déterminer $\lambda$ en traçant ou en calculant $\ln(A)$ en fonction de $t$ ; en déduire $t_{1/2}$.
- c) Calculer le nombre initial de noyaux $N_0$.
- d) Proposer un programme Python (en quelques lignes) permettant d'obtenir $\lambda$ par régression linéaire sur $\ln A$.
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours.…
Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours. Les deux processus sont indépendants et leurs constantes s'additionnent : $\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$.
- a) Calculer $\lambda_{phys}$ et $\lambda_{bio}$ en $\text{jour}^{-1}$.
- b) En déduire la demi-vie effective $t_{eff}$.
- c) L'activité initiale dans l'organisme est de $370\ \text{MBq}$. Calculer l'activité restante au bout de $30$ jours.
- d) Justifier pourquoi la demi-vie effective est inférieure aux deux demi-vies individuelles.
Datation par radioactivité
Une population de noyaux est une « horloge » : si on connaît $\lambda$ et le rapport entre l'état actuel et l'état initial, on en déduit la durée écoulée.
Datation au carbone 14
Un être vivant échange du carbone avec son environnement : sa proportion de carbone 14 est constante. À sa mort, il n'en reçoit plus et le carbone 14 ($t_{1/2} = 5\,730$ ans) décroît. De $A = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ on tire :
$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{A_0}{A}$$Datation uranium-plomb
Pour une roche très ancienne, on utilise l'uranium 238 ($t_{1/2} = 4{,}47 \times 10^9$ ans), qui devient du plomb 206 stable. Si la roche ne contenait pas de plomb à l'origine, chaque noyau d'uranium disparu a donné un noyau de plomb : $N_{Pb} = N_0 - N_U$. Avec $N_U = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ :
$$\frac{N_{Pb}}{N_U} = \mathrm{e}^{\lambda t} - 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \frac{N_{Pb}}{N_U}\right)$$On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est…
On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est $\dfrac{A}{A_0} = 0,30$. Le carbone 14 a une demi-vie $t_{1/2} = 5\,730$ ans.
- a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ de l'échantillon en fonction de $\lambda$ et de $A/A_0$.
- c) Calculer l'âge de l'échantillon.
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux…
Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux intermédiaires. On mesure dans la roche $N_U = 3,0 \times 10^{18}$ noyaux d'uranium et $N_{Pb} = 1,0 \times 10^{18}$ noyaux de plomb. On suppose qu'à l'origine la roche ne contenait pas de plomb.
- a) Exprimer $N_U(t)$ en fonction de $N_0$, puis $N_{Pb}$ en fonction de $N_0$ et $N_U$.
- b) Établir l'expression de l'âge $t$ en fonction de $t_{1/2}$ et du rapport $\dfrac{N_{Pb}}{N_U}$.
- c) Calculer l'âge de la roche.
- d) Discuter les limites de cette méthode de datation.
Retour au début : la dose de technétium 99m est inutilisable après quelques demi-vies de 6 h (son activité est alors divisée par 8, 16…), et l'activité du carbone 14 d'un bois ancien, comparée à celle d'un bois vivant, donne la date de sa mort.
L'essentiel
-
La désintégration est aléatoire, mais pour un grand nombre de noyaux : $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, donc $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
-
$\lambda$ est la constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$, $\text{h}^{-1}$, $\text{an}^{-1}$…).
-
Temps de demi-vie : $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ; après $k$ demi-vies, il reste $N_0/2^k$.
-
Activité : $A = \lambda N = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, en becquerels (Bq).
-
Linéarisation : $\ln A = \ln A_0 - \lambda t$ ; une droite valide le modèle.
-
Datation : $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}$ (carbone 14) ou $t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \dfrac{N_{Pb}}{N_U}\right)$ (uranium-plomb).