Mouvement et interactions · Physique-chimie Terminale (maths complémentaires)

Deuxième loi de Newton et champ de pesanteur uniforme

Presque tous les exercices de mécanique du bac suivent la même démarche. Apprends-la comme une méthode.

Pourquoi cette loi est-elle si utile ? Elle relie une cause (les forces) à l'effet sur le mouvement (l'accélération). Si tu connais les forces, tu en déduis $\vec a_G$. En intégrant deux fois, tu obtiens la vitesse puis la position.

Quelques précisions de vocabulaire :

Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié. Un solide soumis à des forces qui se compensent y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre le est avec une bonne approximation pour des mouvements de courte durée. Le référentiel géocentrique l'est pour l'étude des satellites.
À l'équilibre, $\sum \vec F_{\text{ext}} = \vec 0$, donc $\vec a_G = \vec 0$.
Le mot « accélération » a ici un sens précis : c'est la dérivée du vecteur vitesse. Une voiture qui freine a une accélération non nulle, même si sa vitesse diminue.

Le champ de pesanteur uniforme

Quand le système n'est soumis qu'à son poids $\vec P = m\vec g$, la masse se simplifie :

$$m\,\vec a_G = m\,\vec g \quad\Longrightarrow\quad \vec a_G = \vec g$$

Le mouvement ne dépend donc pas de la masse. Avec $Oy$ vertical vers le haut : $a_x = 0$ et $a_y = -g$.

Lancer horizontal : équations horaires et chute

Un ballon est lancé depuis un point O situé à $h = 2{,}0~\text{m}$ du sol, avec une vitesse horizontale $v_0 = 5{,}0~\text{m·s}^{-1}$. On néglige les frottements. Où et quand touche-t-il le sol ?

Système et référentiel. Le ballon, assimilé à un point matériel G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Repère $(O ; x, y)$ avec $Ox$ horizontal et $Oy$ vertical vers le haut.

Bilan des forces. Uniquement le poids $\vec P = m\vec g$. La deuxième loi de Newton donne $\vec a = \vec g$, donc $a_x = 0$ et $a_y = -g$.

Vitesse par primitive. On intègre en utilisant $\vec v(0) = (v_0 ; 0)$ :

$$v_x(t) = v_0 \qquad v_y(t) = -g\,t$$

Position par primitive. Avec $\overrightarrow{OG}(0) = \vec 0$ :

$$x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = -\tfrac12 g\,t^2$$

Équation de la trajectoire. On élimine $t = x/v_0$ :

$$y = -\frac{g}{2v_0^2}\,x^2$$

C'est une parabole.

Tu as la main. Le ballon touche le sol quand $y = -h$. Calcule la durée de chute $t_{\text{sol}}$, puis l'abscisse $x_{\text{sol}}$, sur ton cahier.

$-h = -\tfrac12 g\,t_{\text{sol}}^2$ donne $t_{\text{sol}} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}0}{9{,}81}} \approx 0{,}64~\text{s}$.

Puis $x_{\text{sol}} = v_0\,t_{\text{sol}} \approx 5{,}0 \times 0{,}64 \approx 3{,}2~\text{m}$.

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Lors d'un entraînement de handball à Rennes, Camille lance un ballon horizontalement depuis le point O situé à une hauteur $h = 1{,}80~\text{m}$ au-dessus du sol. Le…

Lors d'un entraînement de handball à Rennes, Camille lance un ballon horizontalement depuis le point O situé à une hauteur $h = 1{,}80~\text{m}$ au-dessus du sol. Le vecteur vitesse initiale, horizontal, a pour valeur $v_0 = 6{,}0~\text{m·s}^{-1}$. Le ballon est modélisé par un point matériel G de masse $m$, soumis uniquement à son poids. Le champ de pesanteur est uniforme, de valeur $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.

On choisit le repère $(O ; x, y)$ avec l'axe $Ox$ horizontal dans le sens du lancer et l'axe $Oy$ vertical vers le haut. On prend $t = 0$ à l'instant du lancer.

Appliquer la deuxième loi de Newton au ballon dans un référentiel terrestre supposé galiléen, puis établir les coordonnées du vecteur accélération.
Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement.
Calculer la durée de la chute du ballon jusqu'au sol, puis la distance horizontale parcourue (portée).
Établir l'équation de la trajectoire $y(x)$.

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Trajectoire dans un champ de pesanteur : lancer oblique, portée, énergie

Si la vitesse initiale fait un angle $\alpha$ avec l'horizontale, la méthode est la même. Seules les conditions initiales changent : $\vec v(0) = (v_0\cos\alpha\ ;\ v_0\sin\alpha)$.

Le mouvement est plan : le vecteur accélération n'a pas de composante suivant la direction horizontale perpendiculaire à $\vec v_0$. Le mouvement reste donc dans le plan vertical contenant $\vec v_0$.

Le mouvement est rectiligne uniforme suivant $Ox$ (pas de force horizontale) et rectiligne uniformément accéléré suivant $Oy$. C'est ce qu'on appelle parfois, en histoire des sciences, l'« indépendance des mouvements » de Galilée. C'est simplement la conséquence de la projection de $\sum \vec F = m\vec a$ sur les deux axes.

Fais varier l'angle : à vitesse initiale donnée, la portée est maximale pour $\alpha = 45^\circ$ (quand le départ et l'arrivée sont à la même hauteur).

Aspect énergétique

Seul le poids travaille, donc l'énergie mécanique se conserve :

$$\tfrac12 m v^2 + m g y = \tfrac12 m v_0^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = v_0^2 - 2 g y$$

C'est utile quand on veut la vitesse à une altitude donnée, sans connaître la date. Le théorème de l'énergie cinétique $\Delta E_c = W(\vec P)$ donne le même résultat.

Portée et flèche

Un joueur de rugby botte un ballon avec $v_0 = 10~\text{m·s}^{-1}$ et $\alpha = 30^\circ$, depuis le sol. On néglige les frottements.

Flèche (altitude maximale). Au sommet, $v_y = 0$ : $-g\,t_S + v_0\sin\alpha = 0$, donc $t_S = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$. On reporte dans $y(t)$ :

$$y_S = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} = \frac{10^2 \times 0{,}25}{2 \times 9{,}81} \approx 1{,}3~\text{m}$$

Portée. Le ballon retombe quand $y = 0$, donc $t = 2t_S$ (symétrie). Alors

$$x = v_0\cos\alpha \times 2t_S = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} = \frac{100 \times 0{,}866}{9{,}81} \approx 8{,}8~\text{m}$$

Tu as la main. Utilise la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la valeur de la vitesse au sommet. Vérifie ton résultat avec $v_x$.

$v_S^2 = v_0^2 - 2 g y_S = 100 - 2 \times 9{,}81 \times 1{,}27 \approx 75$, donc $v_S \approx 8{,}7~\text{m·s}^{-1}$. C'est bien $v_x = v_0\cos 30^\circ \approx 8{,}7~\text{m·s}^{-1}$ : au sommet, il ne reste que la composante horizontale.

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Lors d'un match à Villeurbanne, une joueuse de basket lance le ballon depuis un point O situé à $2{,}00~\text{m}$ du sol. Le vecteur vitesse initiale, de valeur $v_0$,…

Lors d'un match à Villeurbanne, une joueuse de basket lance le ballon depuis un point O situé à $2{,}00~\text{m}$ du sol. Le vecteur vitesse initiale, de valeur $v_0$, fait un angle $\alpha = 55^\circ$ avec l'horizontale. Le centre C du panier est situé à la hauteur $3{,}05~\text{m}$, à la distance horizontale $D = 4{,}60~\text{m}$ de la verticale passant par O. Le ballon est modélisé par un point matériel soumis uniquement à son poids. On prend $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$. On choisit un repère $(O ; x, y)$ d'origine le point de lancer, $Ox$ horizontal vers le panier et $Oy$ vertical vers le haut.

Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du centre de masse du ballon en fonction de $v_0$, $\alpha$ et $g$.
Établir l'équation de la trajectoire :

$$y(x) = -\frac{g\,x^2}{2 v_0^2\cos^2\alpha} + x\tan\alpha$$

Déterminer la valeur de $v_0$ pour que le ballon passe exactement par le centre C du panier.
Calculer, pour cette valeur de $v_0$, la durée du trajet entre O et C, puis la valeur de la vitesse du ballon lorsqu'il arrive en C, en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.
La joueuse lance en réalité avec $v_0 = 7{,}40~\text{m·s}^{-1}$ (même angle). Déterminer, en justifiant, si le ballon passe au-dessus ou au-dessous du point C lorsqu'il atteint l'abscisse $x = D$.

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Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre deux plaques planes parallèles, séparées de $d$ et soumises à une tension $U$, règne un champ électrique uniforme, perpendiculaire aux plaques, de valeur :

$$E = \frac{U}{d}$$

Il est orienté de la plaque reliée à la borne $+$ vers la plaque reliée à la borne $-$.

Une particule de charge $q$ y subit la force électrique $\vec F = q\,\vec E$. Si $q>0$, $\vec F$ a le sens de $\vec E$. Si $q<0$ (électron), $\vec F$ est de sens contraire.

Pourquoi négliger le poids ? Pour un électron, $m g \approx 9 \times 10^{-30}~\text{N}$, alors que $eE$ vaut souvent $10^{-15}~\text{N}$ ou plus : le rapport est d'environ $10^{14}$. Cette justification est attendue dans une copie.

Déviation d'un électron

Un électron ($m = 9{,}11\times10^{-31}~\text{kg}$, $e = 1{,}60\times10^{-19}~\text{C}$) entre en O, à égale distance de deux plaques de longueur $L = 4{,}0~\text{cm}$ séparées de $d = 2{,}0~\text{cm}$, avec $\vec v_0$ horizontale, $v_0 = 1{,}0\times10^{7}~\text{m·s}^{-1}$. La tension est $U = 100~\text{V}$. La plaque supérieure est reliée à la borne $+$. Axe $Ox$ horizontal, $Oy$ vertical vers le haut.

Champ et force. $E = U/d = 100/0{,}020 = 5{,}0\times10^{3}~\text{V·m}^{-1}$. Le champ est dirigé vers le bas (de $+$ vers $-$). L'électron est négatif : la force est dirigée vers le haut.

Deuxième loi de Newton, poids négligé : $a_x = 0$ et $a_y = \dfrac{eE}{m} = \dfrac{1{,}60\times10^{-19}\times 5{,}0\times10^{3}}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 8{,}8\times10^{14}~\text{m·s}^{-2}$.

Équations horaires. $x(t) = v_0\,t$ et $y(t) = \tfrac12 a_y\,t^2$. D'où $y = \dfrac{a_y}{2v_0^2}\,x^2$ : la trajectoire est une parabole.

Tu as la main. Calcule la durée de traversée $t_S = L/v_0$ puis l'ordonnée de sortie $y_S$. L'électron sort-il des plaques sans les toucher ? (Il faut $y_S < d/2$.)

$t_S = 0{,}040/1{,}0\times10^{7} = 4{,}0\times10^{-9}~\text{s}$. Donc $y_S = \tfrac12\times 8{,}8\times10^{14}\times(4{,}0\times10^{-9})^2 \approx 7{,}0\times10^{-3}~\text{m}$, soit $0{,}70~\text{cm}$ $< 1{,}0~\text{cm}$ : l'électron sort sans toucher la plaque.

Principe de l'accélérateur linéaire

Dans le même champ, une particule peut être accélérée dans le sens de $\vec E$ ou en sens inverse. Le travail de la force électrique entre les deux plaques vaut $W = qU$. Le théorème de l'énergie cinétique donne $\tfrac12 m v^2 = |q|\,U$ si elle part du repos. Un accélérateur linéaire enchaîne plusieurs de ces zones.

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Dans un tube cathodique de laboratoire, un faisceau d'électrons est dévié par un condensateur plan. Un électron de masse $m = 9{,}11\times10^{-31}~\text{kg}$ et de…

Dans un tube cathodique de laboratoire, un faisceau d'électrons est dévié par un condensateur plan. Un électron de masse $m = 9{,}11\times10^{-31}~\text{kg}$ et de charge $-e$ avec $e = 1{,}60\times10^{-19}~\text{C}$ pénètre en O, à égale distance de deux plaques horizontales, avec une vitesse $\vec{v}_0$ horizontale de valeur $v_0 = 2{,}0\times10^{7}~\text{m·s}^{-1}$.

Les deux plaques, de longueur $L = 6{,}0~\text{cm}$, sont séparées de $d = 4{,}0~\text{cm}$. Elles sont soumises à une tension $U = 200~\text{V}$ : la plaque supérieure est reliée à la borne négative du générateur, la plaque inférieure à la borne positive. Entre les plaques, le champ électrique $\vec{E}$ est supposé uniforme, vertical, de valeur $E = U/d$. On choisit le repère $(O ; x, y)$ avec $Ox$ horizontal dans le sens de $\vec{v}_0$ et $Oy$ vertical vers le haut. On prend $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.

Représenter, sur un schéma, les plaques, le champ $\vec{E}$ et la force électrique $\vec{F}$ subie par l'électron. Justifier le sens de $\vec{F}$.
Calculer les valeurs de la force électrique et du poids de l'électron. Justifier que le poids soit négligé.
Établir les coordonnées du vecteur accélération, puis montrer que le mouvement est plan.
Établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$, puis l'équation de la trajectoire $y(x)$.
Calculer la durée de traversée des plaques, puis la valeur absolue de la déviation verticale $|y_S|$ à la sortie des plaques. Vérifier que l'électron ne heurte pas une plaque.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée et la sortie, calculer la valeur de la vitesse de l'électron à la sortie des plaques.

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Mouvement dans un champ de gravitation : satellites et lois de Kepler

La loi de gravitation universelle donne, pour un satellite de masse $m$ à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ :

$$\vec F_{A/S} = -\,\frac{G\,m\,M}{r^2}\;\vec u_{r}$$

où $\vec u_r$ est le vecteur unitaire dirigé de l'astre vers le satellite. La force est donc attractive, dirigée vers le centre de l'astre.

La dernière relation est la troisième loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire. Plus l'orbite est grande, plus la vitesse est faible et plus la période est longue.

En Python, tu peux tester la troisième loi de Kepler avec des données astronomiques :

import numpy as np

G = 6.67e-11

r = np.array([4.217e8, 6.709e8, 10.704e8])  # rayons en m

T = np.array([152842, 306806, 618192])  # périodes en s (1 jour = 86 400 s)

print(T**2 / r**3)  # quasi constant

print(4 * np.pi**2 / (G * np.mean(T**2 / r**3)))  # masse de l'astre

Si $T^2/r^3$ est quasi constant, la loi est vérifiée.

Les trois lois de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La planète va plus vite près du Soleil.
Le rapport $T^2/a^3$ est le même pour tous les astres qui orbitent autour du même corps ($a$ = demi-grand axe, égal à $r$ pour un cercle).

Vitesse et période d'un satellite

Un satellite évolue à l'altitude $h = 400~\text{km}$ autour de la Terre. $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$, $M_T = 5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$, $R_T = 6{,}37\times10^{6}~\text{m}$.

Rayon de l'orbite. $r = R_T + h = 6{,}37\times10^{6} + 4{,}00\times10^{5} = 6{,}77\times10^{6}~\text{m}$. Attention : $r$ se mesure depuis le centre de la Terre.

Vitesse. $v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times 5{,}97\times10^{24}}{6{,}77\times10^{6}}} \approx 7{,}67\times10^{3}~\text{m·s}^{-1}$.

Tu as la main. Calcule la période $T = 2\pi r/v$, en secondes puis en minutes.

$T = \dfrac{2\pi \times 6{,}77\times10^{6}}{7{,}67\times10^{3}} \approx 5{,}5\times10^{3}~\text{s} \approx 92~\text{min}$.

Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste immobile pour un observateur terrestre. Trois conditions sont nécessaires : orbite circulaire dans le plan équatorial, même sens de rotation que la Terre, et période égale à la période de rotation sidérale de la Terre, $T_S = 86\,164~\text{s}$.

Avec la troisième loi, $r = \left(\dfrac{G M_T\,T_S^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4{,}22\times10^{7}~\text{m}$, soit une altitude d'environ $3{,}6\times10^{4}~\text{km}$.

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Un satellite d'observation de masse $m$ décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude $h = 800~\text{km}$. On étudie son mouvement dans le référentiel…

Un satellite d'observation de masse $m$ décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude $h = 800~\text{km}$. On étudie son mouvement dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Le satellite est soumis uniquement à la force de gravitation exercée par la Terre.

Données :

constante de gravitation : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ;
masse de la Terre : $M_T = 5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$ ;
rayon de la Terre : $R_T = 6{,}37\times10^{6}~\text{m}$.
Donner l'expression vectorielle de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite, en utilisant le vecteur unitaire $\vec{u}_n$ orienté vers le centre de la Terre.
En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que le mouvement est uniforme et que la valeur de la vitesse est $v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{R_T + h}}$.
Calculer la valeur de la vitesse du satellite.
Établir l'expression de la période de révolution $T$ du satellite, puis calculer sa valeur en minutes.

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On souhaite déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites galiléens, supposés en orbite circulaire autour de Jupiter. Le mouvement est étudié…

On souhaite déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites galiléens, supposés en orbite circulaire autour de Jupiter. Le mouvement est étudié dans un référentiel « jovicentrique » supposé galiléen. Les données sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

Satellite	Période de révolution $T$ (jours)	Rayon de l'orbite $r$ ($10^{5}~\text{km}$)
Io	1,769	4,217
Europe	3,551	6,709
Ganymède	7,155	10,704

Données : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ; 1 jour $= 86\,400~\text{s}$.

Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton à un satellite de masse $m$ en mouvement circulaire uniforme autour de Jupiter de masse $M_J$, que $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M_J}$.
Calculer le rapport $T^2/r^3$ pour chaque satellite, en jours$^2$ par $(10^{5}~\text{km})^3$, et conclure quant à la validité de la troisième loi de Kepler.
Le programme Python suivant doit calculer la masse de Jupiter à partir des données de Ganymède. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER.

import numpy as np

G = 6.67e-11

T = 7.155 * 86400          # période en secondes

r = 10.704e5 * 1e3         # rayon en mètres

rapport = ...              # À COMPLÉTER : calcul de T**2 / r**3

M_J = ...                  # À COMPLÉTER : calcul de la masse de Jupiter

print(f"M_J = {M_J:.2e} kg")

Calculer la masse de Jupiter et commenter le résultat en le comparant à la masse de la Terre, $5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$.

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Un opérateur de télécommunications exploite un satellite géostationnaire de masse $m$ pour retransmettre des émissions télévisées à destination de la France. Données :…

Un opérateur de télécommunications exploite un satellite géostationnaire de masse $m$ pour retransmettre des émissions télévisées à destination de la France.

Données :

constante de gravitation : $G = 6{,}67\times10^{-11}~\text{m}^3\text{·kg}^{-1}\text{·s}^{-2}$ ;
masse de la Terre : $M_T = 5{,}97\times10^{24}~\text{kg}$ ;
rayon de la Terre : $R_T = 6{,}37\times10^{6}~\text{m}$ ;
période de rotation sidérale de la Terre : $T_S = 86\,164~\text{s}$ ;
célérité de la lumière dans le vide : $c = 3{,}00\times10^{8}~\text{m·s}^{-1}$.
Définir un satellite géostationnaire. Justifier qualitativement que son orbite est circulaire, située dans le plan équatorial, et que sa période de révolution est égale à $T_S$.
Établir, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, l'expression de la vitesse $v$ d'un satellite en orbite circulaire de rayon $r$, puis celle de $r^3$ en fonction de $T$.
Calculer l'altitude $h$ du satellite géostationnaire et la valeur de sa vitesse.
Un récepteur est situé à la verticale du satellite. Calculer la durée minimale d'un aller-retour d'un signal radio entre ce récepteur et le satellite.
Un satellite d'observation en orbite circulaire basse, à l'altitude de $400~\text{km}$, survole régulièrement la même région de l'équateur. Déterminer, en justifiant, le rapport entre sa période de révolution et celle du satellite géostationnaire. Commenter.

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Fluides au repos : poussée d'Archimède

Un objet plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit des forces de pression de la part de ce fluide. La pression augmente avec la profondeur : le bas de l'objet est plus pressé que le haut. La résultante de ces forces est dirigée vers le haut : c'est l'origine de la poussée d'Archimède.

On ne demande pas de la démontrer, mais d'expliquer qualitativement son origine : elle vient de la différence de pression entre le bas et le haut de l'objet.

Même raisonnement pour un ballon rempli d'hélium : il s'élève si la poussée de l'air l'emporte sur son poids total (enveloppe + gaz), c'est-à-dire si $\rho_{\text{air}}\,V\,g > (m_{\text{enveloppe}} + \rho_{\text{He}}\,V)\,g$. Sa force ascensionnelle est la différence entre ces deux valeurs.

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Un ballon sonde de la station météorologique de Trappes est gonflé avec de l'hélium. Son enveloppe, de volume $V = 10~\text{m}^3$ une fois gonflée, a une masse…

Un ballon sonde de la station météorologique de Trappes est gonflé avec de l'hélium. Son enveloppe, de volume $V = 10~\text{m}^3$ une fois gonflée, a une masse $m_e = 2{,}0~\text{kg}$. On étudie le ballon à proximité du sol, dans l'air immobile.

Données :

masse volumique de l'air : $\rho_{\text{air}} = 1{,}20~\text{kg·m}^{-3}$ ;
masse volumique de l'hélium dans le ballon : $\rho_{\text{He}} = 0{,}17~\text{kg·m}^{-3}$ ;
intensité de la pesanteur : $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$.
Expliquer qualitativement l'origine de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le ballon.
Donner l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède $\vec{\Pi}$ et calculer sa valeur.
Calculer la masse d'hélium contenue dans le ballon, puis la valeur du poids de l'ensemble {enveloppe + hélium}.
Le ballon doit emporter une sonde de masse $m_s$. Déterminer la masse maximale $m_{s,\max}$ pour que le ballon puisse décoller, en justifiant le critère utilisé.

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Fluides en mouvement : débit et relation de Bernoulli

Pour un écoulement permanent (les grandeurs ne dépendent pas du temps en un point donné) d'un fluide incompressible, le même volume traverse chaque section par seconde.

Les sujets de bac fournissent cette relation. Il faut savoir l'exploiter : quand $v$ augmente à altitude constante, $P$ diminue. C'est l'effet Venturi.

Effet Venturi

Dans une conduite horizontale, l'eau ($\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$) a un débit $D_v = 0{,}50~\text{L·s}^{-1}$. La section passe de $S_1 = 10~\text{cm}^2$ à $S_2 = 2{,}5~\text{cm}^2$. Quelle est la différence de pression $P_1 - P_2$ ?

Conversions. $D_v = 0{,}50\times10^{-3}~\text{m}^3\text{·s}^{-1}$, $S_1 = 1{,}0\times10^{-3}~\text{m}^2$, $S_2 = 2{,}5\times10^{-4}~\text{m}^2$.

Vitesses. $v_1 = D_v/S_1 = 0{,}50~\text{m·s}^{-1}$ et $v_2 = D_v/S_2 = 2{,}0~\text{m·s}^{-1}$.

Bernoulli avec $z_1 = z_2$ : $P_1 + \tfrac12\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac12\rho v_2^2$.

Tu as la main. Isole $P_1 - P_2$ et calcule-le.

$P_1 - P_2 = \tfrac12\rho\,(v_2^2 - v_1^2) = 0{,}5\times 1000\times(4{,}0 - 0{,}25) \approx 1{,}9\times10^{3}~\text{Pa}$. La pression est plus faible dans le rétrécissement.

Vidange d'un réservoir

Un réservoir ouvert, de section $S$, se vide par un orifice de section $s \ll S$. Pour un point A à la surface et un point B à la sortie, tous deux à la pression atmosphérique, Bernoulli donne $\tfrac12\rho v_A^2 + \rho g h = \tfrac12\rho v_B^2$. Avec $S\,v_A = s\,v_B$ et $s \ll S$, on néglige $v_A$ et :

$$v_B = \sqrt{2gh}$$

C'est la relation de Torricelli. La hauteur diminue selon $S\,\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = -\,s\sqrt{2gh}$. Comme $\dfrac{\mathrm{d}\sqrt h}{\mathrm{d}t} = \dfrac{h'}{2\sqrt h}$, on trouve $\dfrac{\mathrm{d}\sqrt h}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{s}{S}\sqrt{\dfrac g2}$ : constante. Donc

$$\sqrt{h(t)} = \sqrt{h_0} - \frac{s}{S}\sqrt{\frac g2}\;t \qquad t_{\text{vidange}} = \frac{S}{s}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$

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Une conduite horizontale transporte de l'eau en écoulement permanent. L'eau est assimilée à un fluide incompressible de masse volumique…

Une conduite horizontale transporte de l'eau en écoulement permanent. L'eau est assimilée à un fluide incompressible de masse volumique $\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$. La conduite présente un rétrécissement (effet Venturi) : sa section passe de $S_1 = 12~\text{cm}^2$ à $S_2 = 3{,}0~\text{cm}^2$. Le débit volumique est $D_v = 0{,}60~\text{L·s}^{-1}$.

Relation de Bernoulli entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

$$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B$$

Rappeler la relation entre le débit volumique, la section et la vitesse d'écoulement, puis calculer les vitesses $v_1$ et $v_2$ de l'eau dans chacune des deux sections.
En utilisant la relation de Bernoulli, calculer la différence de pression $P_1 - P_2$ entre les deux sections.
Indiquer, en justifiant, dans quelle section la pression est la plus faible.

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Entraîne-toi★★★

Un réservoir cylindrique ouvert à l'air libre, de diamètre $D = 1{,}0~\text{m}$, contient de l'eau (fluide incompressible, de masse volumique…

Un réservoir cylindrique ouvert à l'air libre, de diamètre $D = 1{,}0~\text{m}$, contient de l'eau (fluide incompressible, de masse volumique $\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$) sur une hauteur initiale $h_0 = 1{,}5~\text{m}$. Un orifice circulaire de diamètre $d = 2{,}0~\text{cm}$ percé à la base du réservoir permet l'écoulement de l'eau vers l'extérieur, à l'air libre. On note $S$ la section du réservoir, $s$ celle de l'orifice, $h(t)$ la hauteur d'eau à l'instant $t$ et $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$. On suppose l'écoulement quasi permanent à chaque instant, et la pression égale à la pression atmosphérique à la surface libre et à la sortie de l'orifice.

Relation de Bernoulli entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

$$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B$$

En appliquant la relation de Bernoulli entre la surface libre (point A) et la sortie de l'orifice (point B), et la conservation du débit volumique, établir l'expression de la vitesse $v_B$ d'éjection en fonction de $g$, $h$, $S$ et $s$.
Calculer le rapport $S/s$. Justifier que l'on puisse écrire $v_B \approx \sqrt{2gh}$, puis calculer $v_B$ et le débit volumique pour $h = h_0$.
En exprimant la conservation du volume d'eau, montrer que la hauteur vérifie $\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{s}{S}\sqrt{2gh}$.
On résout cette équation par la méthode d'Euler avec un pas $\Delta t = 1{,}0~\text{s}$. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER du programme suivant, qui détermine la durée de vidange.

import numpy as np

g = 9.81

S = np.pi * (1.0 / 2) ** 2

s = np.pi * (0.020 / 2) ** 2

dt = 1.0

t = 0.0

h = 1.5

while h > 0:

    dhdt = ...             # À COMPLÉTER : dérivée de h

    h = ...                # À COMPLÉTER : nouvelle valeur de h (Euler)

    t = t + dt

print(f"Durée de vidange : {t:.0f} s")

On admet que la solution exacte est $h(t) = \left(\sqrt{h_0} - \dfrac{s}{S}\sqrt{\dfrac{g}{2}}\,t\right)^2$. En déduire la durée théorique de vidange et la comparer à la valeur attendue du programme.

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À s'entraîner ! 3 exercices de niveau moyen dans cette section

★★☆ Dans un tube cathodique de laboratoire, un faisceau d'électrons est dévié par un…★★☆ On souhaite déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites…★★☆ Un ballon sonde de la station météorologique de Trappes est gonflé avec de l'hélium. Son…

L'essentiel

En resumen

Méthode : système, référentiel galiléen, bilan des forces, $\sum\vec F = m\vec a_G$, projection, primitives avec les conditions initiales.
Champ de pesanteur uniforme : $\vec a = \vec g$, mouvement plan, $x(t)$ uniforme, $y(t)$ parabolique. L'énergie mécanique se conserve sans frottements.
Champ électrique uniforme : $E = U/d$, $\vec a = q\vec E/m$ (poids négligé). La trajectoire est une parabole, et $\tfrac12 mv^2 = |q|U$ pour une particule partant du repos.
Gravitation : orbite circulaire uniforme, $v=\sqrt{GM/r}$, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$, avec $r = R + h$. Un satellite géostationnaire est équatorial et sa période égale $T_S$.
Fluides : $\Pi = \rho_{\text{fluide}}V_{\text{imm}}g$ vers le haut. $D_v = S\,v$ se conserve, et la relation de Bernoulli (fournie) explique l'effet Venturi.