Charge et décharge d'un condensateur
Tu appuies sur le bouton d'un appareil photo : le flash met plusieurs secondes à « se recharger », puis il se vide en un millième de seconde. Pourquoi cette lenteur à la charge et cette rapidité à la décharge ? Pour le comprendre, il faut étudier un circuit qui associe un condensateur et un conducteur ohmique.
Le condensateur : charge et énergie
Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Quand on le soumet à une tension $u_C$, l'armature reliée à la borne positive porte une charge $+q$ et l'autre une charge $-q$.
L'énergie emmagasinée est $E_C = \dfrac{1}{2}\,C\,u_C^2$, en joules.
Un condensateur de capacité $C = 470\ \mu\text{F}$ est soumis à une tension $u_C = 12\ \text{V}$. a) Rappeler la relation entre la charge $q$, la capacité $C$ et la…
Un condensateur de capacité $C = 470\ \mu\text{F}$ est soumis à une tension $u_C = 12\ \text{V}$.
- a) Rappeler la relation entre la charge $q$, la capacité $C$ et la tension $u_C$.
- b) Calculer la charge $q$ portée par l'armature positive.
- c) Calculer l'énergie emmagasinée $E = \dfrac{1}{2}Cu_C^2$.
Charge à travers une résistance
Un condensateur initialement déchargé est relié à un générateur idéal de tension $E$ par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique $R$. On ferme l'interrupteur à $t = 0$.
À chaque instant, la loi d'additivité des tensions donne $E = u_R + u_C$. Avec la loi d'Ohm $u_R = R\,i$ et $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ (convention récepteur), on obtient :
$$E = RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}\,u_C = \frac{E}{RC}$$C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Avec $u_C(0) = 0$, sa solution est :
$$u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec } \tau = RC$$Pour vérifier : $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}$, donc $\tau\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + E - E\,\mathrm{e}^{-t/\tau} = E$. De plus $u_C(0) = E(1-1) = 0$. ✔
L'intensité vaut $i(t) = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ : maximale à $t=0$, elle tend vers 0.
Un circuit comporte un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2\ \text{k}\Omega$ en série avec un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$. a) Donner…
Un circuit comporte un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2\ \text{k}\Omega$ en série avec un condensateur de capacité $C = 100\ \mu\text{F}$.
- a) Donner l'expression du temps caractéristique $\tau$ du circuit.
- b) Calculer $\tau$ en secondes.
- c) Donner la durée approximative au bout de laquelle le condensateur est considéré comme chargé (environ $5\tau$).
Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers une résistance par un générateur de tension constante $E = 6,0\ \text{V}$. La tension à ses bornes vaut…
Un condensateur initialement déchargé est chargé à travers une résistance par un générateur de tension constante $E = 6,0\ \text{V}$. La tension à ses bornes vaut $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau = 0,50\ \text{s}$.
- a) Calculer $u_C$ à $t = \tau$.
- b) Calculer $u_C$ à $t = 5\tau$.
Un condensateur de capacité $C$ est chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t = 0$, $u_C = 0$. a) Établir…
Un condensateur de capacité $C$ est chargé par un générateur idéal de tension $E$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t = 0$, $u_C = 0$.
- a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
- b) Vérifier que $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ est solution et exprimer $\tau$.
- c) Calculer $\tau$ pour $R = 10\ \text{k}\Omega$ et $C = 47\ \mu\text{F}$.
Décharge du condensateur
Le condensateur, chargé sous $u_C(0) = E$, est maintenant relié seulement à la résistance. La loi des mailles donne $u_C + u_R = 0$. Avec $u_R = R\,i$ et $i = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ (convention récepteur, $i$ étant orienté comme à la charge), on obtient :
$$RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad u_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$$La tension décroît de façon exponentielle. Comme $u_C$ diminue, $i = C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ est négatif : le courant circule en sens inverse de celui de la charge, et $i(t) = -\dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$. Pour trouver l'instant où elle atteint une valeur $u_1$, on isole $t$ avec le logarithme népérien : $t_1 = \tau \ln\dfrac{E}{u_1}$.
Un condensateur de $2,2\ \text{mF}$ chargé sous $9,0\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $R = 1,5\ \text{k}\Omega$. À $t = 0$, $u_C = 9,0\ \text{V}$. a)…
Un condensateur de $2,2\ \text{mF}$ chargé sous $9,0\ \text{V}$ se décharge à travers une résistance $R = 1,5\ \text{k}\Omega$. À $t = 0$, $u_C = 9,0\ \text{V}$.
- a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ pendant la décharge et donner sa solution.
- b) Calculer $\tau$.
- c) Calculer la tension à $t = 5,0\ \text{s}$.
- d) Calculer l'instant où $u_C = 1,0\ \text{V}$.
Le flash d'un appareil photo est alimenté par un condensateur de $C = 150\ \mu\text{F}$ chargé sous $300\ \text{V}$. Le flash décharge le condensateur à travers la lampe…
Le flash d'un appareil photo est alimenté par un condensateur de $C = 150\ \mu\text{F}$ chargé sous $300\ \text{V}$. Le flash décharge le condensateur à travers la lampe en $1,0\ \text{ms}$ environ, assimilée à un conducteur ohmique de résistance $R$, avec $5\tau \approx 1,0\ \text{ms}$.
- a) Calculer l'énergie stockée dans le condensateur.
- b) Estimer la résistance équivalente $R$ de la lampe.
- c) Calculer la puissance moyenne délivrée pendant le flash.
Exploiter une courbe et un bilan d'énergie
Déterminer τ à partir de la courbe. Deux méthodes :
-
à la charge, $u_C(\tau) = 0{,}63\,E$ ; à la décharge, $u_C(\tau) = 0{,}37\,E$ ;
-
la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse $t = \tau$. En effet, la tangente à l'origine de la charge a pour pente $\dfrac{E}{\tau}$ et pour équation $u = \dfrac{E}{\tau}\,t$ ; elle atteint $E$ quand $t = \tau$.
Bilan d'énergie pendant la décharge. L'énergie stockée est $E_C(t) = \dfrac{1}{2}C u_C^2 = \dfrac{1}{2}CE^2\,\mathrm{e}^{-2t/\tau}$. La puissance dissipée par effet Joule est $P = R\,i^2 = \dfrac{u_C^2}{R}$. En intégrant de $0$ à $+\infty$ :
$$W_J = \int_0^{\infty}\frac{E^2}{R}\mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t = \frac{E^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac{1}{2}CE^2$$Toute l'énergie initialement stockée est dissipée dans la résistance.
Capteur capacitif. Si la capacité d'un capteur varie avec une grandeur physique (humidité, position), le temps caractéristique $\tau = RC$ varie aussi : en mesurant une durée (par exemple $t_{90} = \tau\ln 10$ pour atteindre $90\ \%$ de $E$), un microcontrôleur remonte à $C$, puis à la grandeur.
Python. On trace $u_C(t)$ sur $5\tau$ ainsi :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
E, R, C = 10, 100, 1.0e-3
tau = R * C
t = np.linspace(0, 5 * tau, 200)
uC = E * np.exp(-t / tau)
plt.plot(t, uC)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("u_C (V)")
plt.show()
On étudie la charge d'un condensateur par un générateur de $E = 5,0\ \text{V}$ à travers $R = 4,7\ \text{k}\Omega$. On relève $u_C = 3,16\ \text{V}$ à…
On étudie la charge d'un condensateur par un générateur de $E = 5,0\ \text{V}$ à travers $R = 4,7\ \text{k}\Omega$. On relève $u_C = 3,16\ \text{V}$ à $t = 0,10\ \text{s}$.
- a) Établir l'expression de $u_C(t)$ puis celle de $i(t)$.
- b) Déterminer $\tau$ à partir de la mesure, puis la capacité $C$.
- c) Calculer l'intensité du courant à $t = 0,10\ \text{s}$.
- d) Montrer que la tangente à l'origine de $u_C(t)$ coupe l'asymptote $u_C = E$ en $t = \tau$.
Un capteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité varie avec l'humidité : $C = 180\ \text{pF}$ à $30\ \%$ et $C = 220\ \text{pF}$ à…
Un capteur capacitif d'humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité varie avec l'humidité : $C = 180\ \text{pF}$ à $30\ \%$ et $C = 220\ \text{pF}$ à $70\ \%$. Il est monté en série avec $R = 1,0\ \text{M}\Omega$ et alimenté par un échelon de tension de $E = 3,3\ \text{V}$.
- a) Calculer le temps caractéristique pour chaque humidité.
- b) Calculer, pour chacun des deux cas, la durée $t_{90}$ nécessaire pour que $u_C$ atteigne $90\ \%$ de $E$.
- c) Expliquer comment un microcontrôleur peut en déduire l'humidité.
- d) Discuter l'influence de la résistance $R$ sur la précision de la mesure.
Un condensateur de capacité $C = 1,0\ \text{mF}$ est chargé sous $E = 10\ \text{V}$ puis déconnecté du générateur et relié à un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$. a)…
Un condensateur de capacité $C = 1,0\ \text{mF}$ est chargé sous $E = 10\ \text{V}$ puis déconnecté du générateur et relié à un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$.
- a) Établir l'expression de l'énergie $E_C(t)$ stockée dans le condensateur au cours de la décharge.
- b) Montrer que l'énergie dissipée par effet Joule entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est égale à l'énergie initialement stockée.
- c) Calculer la durée au bout de laquelle l'énergie stockée est divisée par $10$.
- d) Écrire un programme Python simple qui trace $u_C(t)$ pour $t$ de $0$ à $5\tau$.
Revenons au flash : on charge lentement le condensateur à travers une grande résistance (τ grand), puis on le décharge dans la lampe de très faible résistance (τ petit).
L'essentiel
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$q = C\,u_C$ et $E_C = \frac{1}{2}Cu_C^2$.
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Charge : $RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$, d'où $u_C = E(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})$ et $i = \dfrac{E}{R}\mathrm{e}^{-t/\tau}$.
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Décharge : $RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0$, d'où $u_C = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$.
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$\tau = RC$ : à $t=\tau$, $63\ \%$ de la charge (ou $37\ \%$ restants) ; régime permanent vers $5\tau$.
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Toute l'énergie stockée est dissipée par effet Joule lors de la décharge.