Exercices: Loi de décroissance, demi-vie, activité et datation

La décroissance d'un échantillon radioactif est modélisée par $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$.

1. a) Donner la solution de cette équation différentielle avec $N(0) = N_0$.
2. b) Donner l'unité de la constante radioactive $\lambda$.
3. c) Établir la relation entre $\lambda$ et le temps de demi-vie $t_{1/2}$.

L'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie $t_{1/2} = 8,02$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4,0 \times 10^{15}$ noyaux.

1. a) Calculer le nombre de noyaux restants après $8,02$ jours.
2. b) Calculer le nombre de noyaux restants après $24,06$ jours.

Un échantillon contient $N = 2,0 \times 10^{12}$ noyaux d'un radionucléide de constante radioactive $\lambda = 3,0 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$.

1. a) Donner la définition de l'activité $A$ et son unité.
2. b) Calculer l'activité de l'échantillon.

Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale dans un hôpital de Marseille, a une demi-vie de $6,0\ \text{h}$. À $8\,\text{h}$, l'activité d'une dose est $A_0 = 600\ \text{MBq}$.

1. a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$.
2. b) Calculer l'activité de la dose à $14\,\text{h}$, puis à $20\,\text{h}$.
3. c) Déterminer à quelle heure l'activité sera de $75\ \text{MBq}$.

On étudie un échantillon de bois ancien trouvé près de Lascaux. Le rapport entre l'activité en carbone 14 de l'échantillon et celle d'un bois vivant est $\dfrac{A}{A_0} = 0,30$. Le carbone 14 a une demi-vie $t_{1/2} = 5\,730$ ans.

1. a) Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{an}^{-1}$.
2. b) Établir l'expression de l'âge $t$ de l'échantillon en fonction de $\lambda$ et de $A/A_0$.
3. c) Calculer l'âge de l'échantillon.

Le césium 137 a une demi-vie de $30,2$ ans. Après un accident, un sol est contaminé avec une activité surfacique de $200\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.

1. a) Calculer l'activité surfacique après $60,4$ ans.
2. b) Calculer la durée nécessaire pour que cette activité soit inférieure à $10\ \text{kBq}\cdot\text{m}^{-2}$.

On mesure l'activité d'une source radioactive à intervalles réguliers :

$t$ (h)	0	2	4	6	8
$A$ (kBq)	80,0	63,5	50,4	40,0	31,7

1. a) Montrer que ces données sont compatibles avec une décroissance exponentielle $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
2. b) Déterminer $\lambda$ en traçant ou en calculant $\ln(A)$ en fonction de $t$ ; en déduire $t_{1/2}$.
3. c) Calculer le nombre initial de noyaux $N_0$.
4. d) Proposer un programme Python (en quelques lignes) permettant d'obtenir $\lambda$ par régression linéaire sur $\ln A$.

Un échantillon de roche contient de l'uranium 238 (demi-vie $4,47 \times 10^9$ ans) qui se désintègre finalement en plomb 206 stable. On néglige les noyaux intermédiaires. On mesure dans la roche $N_U = 3,0 \times 10^{18}$ noyaux d'uranium et $N_{Pb} = 1,0 \times 10^{18}$ noyaux de plomb. On suppose qu'à l'origine la roche ne contenait pas de plomb.

1. a) Exprimer $N_U(t)$ en fonction de $N_0$, puis $N_{Pb}$ en fonction de $N_0$ et $N_U$.
2. b) Établir l'expression de l'âge $t$ en fonction de $t_{1/2}$ et du rapport $\dfrac{N_{Pb}}{N_U}$.
3. c) Calculer l'âge de la roche.
4. d) Discuter les limites de cette méthode de datation.

Un patient reçoit une injection d'iode 131 ($t_{1/2} = 8,02$ jours). L'organisme élimine aussi l'iode par voie biologique avec une demi-vie biologique $t_B = 20$ jours. Les deux processus sont indépendants et leurs constantes s'additionnent : $\lambda_{eff} = \lambda_{phys} + \lambda_{bio}$.

1. a) Calculer $\lambda_{phys}$ et $\lambda_{bio}$ en $\text{jour}^{-1}$.
2. b) En déduire la demi-vie effective $t_{eff}$.
3. c) L'activité initiale dans l'organisme est de $370\ \text{MBq}$. Calculer l'activité restante au bout de $30$ jours.
4. d) Justifier pourquoi la demi-vie effective est inférieure aux deux demi-vies individuelles.