Incertitudes-types, écriture du résultat et écart normalisé
Au laboratoire, Lucas mesure trois fois la durée de chute d'une bille et obtient trois valeurs différentes. Léa, à côté, mesure la même chose avec un autre chronomètre et trouve encore autre chose. Qui a raison ? Personne n'a « faux » : une mesure n'est jamais exacte. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à quantifier le doute sur une mesure, à écrire un résultat honnêtement et à décider si deux valeurs sont compatibles.
Variabilité de la mesure
Quand on répète une mesure dans les mêmes conditions, on n'obtient pas toujours la même valeur : lecture imprécise, réflexes de l'opérateur, instrument limité, petites variations du protocole. C'est la variabilité de la mesure.
Pour exploiter une série de $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$, on calcule deux grandeurs.
La moyenne est la meilleure estimation de la grandeur. L'écart-type, lui, décrit la dispersion d'une mesure isolée. Sur la calculatrice, c'est la touche notée $\sigma_{n-1}$ ou $s_x$ (pas $\sigma_n$).
On visualise une série avec un histogramme : on range les valeurs par classes et on compte les mesures de chaque classe.
Plus la série est resserrée autour de la moyenne, plus l'écart-type est petit.
Un élève mesure la durée de dix oscillations d'un pendule et répète la mesure 8 fois. Il obtient, en secondes : $15,8$ ; $16,1$ ; $15,9$ ; $16,0$ ; $16,2$ ; $15,9$ ;…
Un élève mesure la durée de dix oscillations d'un pendule et répète la mesure 8 fois. Il obtient, en secondes : $15,8$ ; $16,1$ ; $15,9$ ; $16,0$ ; $16,2$ ; $15,9$ ; $16,0$ ; $16,1$.
- a) Calculer la moyenne $\bar{t}$ de ces mesures.
- b) Expliquer pourquoi la moyenne est une meilleure estimation de la durée que chacune des mesures prise isolément.
Incertitude-type de type A et de type B
Une mesure ne donne pas « la » valeur, mais une valeur accompagnée d'un doute. On le chiffre par l'incertitude-type $u(x)$ : elle exprime la dispersion des valeurs raisonnablement attribuables à la grandeur. Il existe deux façons de l'évaluer.
Type A : par une série de mesures
Si on dispose de $n$ mesures répétées, on utilise la statistique :
Pourquoi diviser par $\sqrt{n}$ ? Parce que la moyenne de $n$ mesures fluctue moins qu'une mesure seule : les écarts positifs et négatifs se compensent en partie. Ainsi, multiplier par 4 le nombre de mesures divise $u$ par 2.
Type B : par une autre approche
Quand on n'a qu'une seule mesure (une lecture sur une règle, un thermomètre, une éprouvette), on estime l'incertitude d'après la notice de l'appareil ou la résolution de la lecture. Si on sait que la valeur est dans un intervalle $[x - \Delta ; x + \Delta]$ avec la même probabilité partout (loi rectangulaire), alors :
Le facteur $\sqrt{3}$ vient du calcul de l'écart-type d'une loi rectangulaire : il est plus petit que $\Delta$, car la valeur a peu de chances d'être tout au bord de l'intervalle.
Une série de $n = 10$ mesures de la masse d'un échantillon donne une moyenne $\bar{m} = 25,43\ \text{g}$ et un écart-type $\sigma_{n-1} = 0,06\ \text{g}$. a) Rappeler…
Une série de $n = 10$ mesures de la masse d'un échantillon donne une moyenne $\bar{m} = 25,43\ \text{g}$ et un écart-type $\sigma_{n-1} = 0,06\ \text{g}$.
- a) Rappeler l'expression de l'incertitude-type de type A, $u(m)$, en fonction de $\sigma_{n-1}$ et de $n$.
- b) Calculer $u(m)$.
- c) Écrire le résultat de la mesure sous la forme $m = \bar{m} \pm u(m)$, avec une incertitude-type à un chiffre significatif.
Une règle graduée en millimètres sert à mesurer la longueur d'une table. On estime que la lecture est possible à une demi-graduation près, soit une demi-étendue…
Une règle graduée en millimètres sert à mesurer la longueur d'une table. On estime que la lecture est possible à une demi-graduation près, soit une demi-étendue $\Delta = 0,5\ \text{mm}$, avec une loi de probabilité rectangulaire.
- a) Donner l'expression de l'incertitude-type de type B : $u = \dfrac{\Delta}{\sqrt{3}}$.
- b) Calculer $u$ en millimètres.
Au laboratoire d'un lycée de Lyon, on détermine la concentration d'une solution par dosage. Le volume équivalent est mesuré 6 fois : $12,3$ ; $12,5$ ; $12,4$ ; $12,2$ ;…
Au laboratoire d'un lycée de Lyon, on détermine la concentration d'une solution par dosage. Le volume équivalent est mesuré 6 fois : $12,3$ ; $12,5$ ; $12,4$ ; $12,2$ ; $12,4$ ; $12,4$ (en mL).
- a) Calculer la moyenne et l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
- b) En déduire l'incertitude-type $u(V_E)$.
- c) Écrire le résultat de $V_E$ avec son incertitude-type.
Incertitudes-types composées
Souvent, on ne mesure pas directement la grandeur cherchée : on la calcule à partir d'autres mesures, chacune avec son incertitude. Par exemple $\rho = m/V$ ou $R = U/I$. Il faut alors composer les incertitudes.
Au programme, la relation est fournie par l'énoncé. Pour un produit ou un quotient de grandeurs indépendantes, par exemple $G = \dfrac{A}{B}$, elle prend la forme :
Les incertitudes relatives $u(A)/A$ et $u(B)/B$ s'ajoutent « en quadrature » (somme des carrés, puis racine) : c'est moins pessimiste qu'une simple addition, car il est peu probable que les deux erreurs soient maximales et de même sens.
Cette méthode donne aussi un diagnostic : la grandeur dont l'incertitude relative est la plus grande domine le résultat. Dans l'exemple, c'est $I$ ($2\ \%$ contre $1\ \%$). Pour améliorer la mesure, c'est elle qu'il faut mesurer plus précisément.
On détermine une masse volumique $\rho = \dfrac{m}{V}$ pour un liquide. On mesure $m = 45,20\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,05\ \text{g}$ et $V = 50,0\ \text{mL}$ avec…
On détermine une masse volumique $\rho = \dfrac{m}{V}$ pour un liquide. On mesure $m = 45,20\ \text{g}$ avec $u(m) = 0,05\ \text{g}$ et $V = 50,0\ \text{mL}$ avec $u(V) = 0,2\ \text{mL}$.
- a) Calculer $\rho$ en $\text{g}\cdot\text{mL}^{-1}$.
- b) Calculer l'incertitude-type composée $u(\rho)$ à l'aide de la relation $\dfrac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\dfrac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{u(V)}{V}\right)^2}$.
- c) Écrire le résultat $\rho$ avec une incertitude-type à un chiffre significatif.
Pour mesurer la célérité du son dans l'air, un groupe d'élèves mesure la distance $d = 3,000\ \text{m}$ avec $u(d) = 0,005\ \text{m}$ et la durée de propagation…
Pour mesurer la célérité du son dans l'air, un groupe d'élèves mesure la distance $d = 3,000\ \text{m}$ avec $u(d) = 0,005\ \text{m}$ et la durée de propagation $\Delta t = 8,70\ \text{ms}$ avec $u(\Delta t) = 0,15\ \text{ms}$. La valeur de référence à $20\ °\text{C}$ est $343\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
- a) Calculer la célérité $v = \dfrac{d}{\Delta t}$.
- b) Calculer l'incertitude-type $u(v)$ et écrire le résultat.
- c) Calculer l'écart normalisé et conclure.
- d) Indiquer quelle grandeur contribue le plus à l'incertitude et proposer une amélioration du protocole.
Écrire le résultat et calculer l'écart normalisé
Écriture du résultat
Un résultat de mesure s'écrit sous la forme $X = \bar{x} \pm u(X)$ avec l'unité, en respectant des règles de présentation :
-
l'incertitude-type est donnée avec un seul chiffre significatif (parfois deux, si le sujet le précise) ;
-
la valeur est écrite avec le même nombre de décimales que l'incertitude ;
-
l'unité est la même pour les deux.
Ainsi $12,3472 \pm 0,0381\ \text{mL}$ s'écrit $12,35 \pm 0,04\ \text{mL}$.
Comparer à une valeur de référence
On a mesuré $m_{mes}$ avec l'incertitude $u(m)$ et on connaît une valeur de référence $m_{ref}$ (tabulée, donnée par le fabricant). Les deux valeurs sont-elles « les mêmes » aux incertitudes près ? On calcule l'écart normalisé :
Critère usuel : si $z < 2$, la mesure est compatible avec la valeur de référence. Si $z > 2$ (ou $z > 3$ selon le sujet), elle ne l'est pas : il faut chercher une cause d'erreur (instrument, protocole, calcul, valeur de référence mal choisie).
Pour comparer deux mesures entre elles, chacune avec son incertitude, on utilise :
$$z = \dfrac{|x_A - x_B|}{\sqrt{u(x_A)^2 + u(x_B)^2}}$$Les incertitudes se composent en quadrature, et le critère $z < 2$ reste le même.
Un élève mesure l'accélération de la pesanteur à Toulouse avec un pendule et trouve $g_{mes} = 9,76\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ avec…
Un élève mesure l'accélération de la pesanteur à Toulouse avec un pendule et trouve $g_{mes} = 9,76\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ avec $u(g) = 0,05\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. La valeur de référence est $g_{ref} = 9,80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.
- a) Calculer l'écart normalisé $z = \dfrac{|g_{mes} - g_{ref}|}{u(g)}$.
- b) Conclure sur la compatibilité de la mesure avec la valeur de référence, en précisant le critère utilisé (par exemple $z < 2$).
Deux groupes mesurent la concentration d'une même solution de diiode. Le groupe A trouve $c_A = 5,2\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ avec…
Deux groupes mesurent la concentration d'une même solution de diiode. Le groupe A trouve $c_A = 5,2\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ avec $u(c_A) = 0,2\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$. Le groupe B trouve $c_B = 4,7\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ avec $u(c_B) = 0,1\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.
- a) Calculer l'écart normalisé entre les deux mesures, défini par $z = \dfrac{|c_A - c_B|}{\sqrt{u(c_A)^2 + u(c_B)^2}}$.
- b) On considère que deux résultats sont compatibles si $z \le 2$. Les deux résultats sont-ils compatibles ? Justifier.
- c) Le groupe B affirme que sa mesure est « meilleure ». Discuter cette affirmation.
- d) Proposer deux actions pour réduire l'incertitude-type de type A.
Simuler des mesures avec Python
Python permet de simuler une série de mesures et de vérifier les formules de ce chapitre. On tire des valeurs au hasard autour d'une valeur vraie, avec une dispersion donnée.
import numpy as np
mesures = np.random.normal(5.0, 0.1, 20) # 20 mesures, valeur 5 et dispersion 0,1
moy = np.mean(mesures) # moyenne
s = np.std(mesures, ddof=1) # écart-type expérimental σ(n-1)
u = s/np.sqrt(len(mesures)) # incertitude-type de type A
print(moy, s, u)
Observe trois points.
-
np.std(..., ddof=1): sansddof=1, NumPy divise par $n$ (écart-type $\sigma_n$ de la série) ; avecddof=1, il divise par $n-1$, ce qui donne $\sigma_{n-1}$, la bonne estimation de la dispersion à partir d'un échantillon. -
sest de l'ordre de la dispersion utilisée pour générer les valeurs (ici $0,1$), quel que soit $n$ ;uest plus petit, de l'ordre de $s/\sqrt{n}$. -
Si on relance le programme,
moychange à chaque exécution. L'intervalle $[\,moy - 2u\ ;\ moy + 2u\,]$ contient la valeur vraie dans environ $95\ \%$ des cas : c'est le sens du critère $z < 2$.
On souhaite simuler en Python une série de mesures. Le programme suivant est écrit : a) Expliquer le rôle de l'option ddof=1. b) Donner l'ordre de grandeur attendu de s…
On souhaite simuler en Python une série de mesures. Le programme suivant est écrit :
import numpy as np
mesures = np.random.normal(10.0, 0.2, 50)
moy = np.mean(mesures)
s = np.std(mesures, ddof=1)
u = s/np.sqrt(50)
- a) Expliquer le rôle de l'option
ddof=1. - b) Donner l'ordre de grandeur attendu de
set deu. - c) Si l'on passe à 200 mesures, par quel facteur est divisée
u? Justifier. - d) Expliquer pourquoi, sur plusieurs exécutions, l'intervalle $[moy - 2u ; moy + 2u]$ contient la valeur 10,0 dans environ 95 % des cas.
L'essentiel
-
Une mesure répétée varie : on exploite une série avec la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type expérimental $\sigma_{n-1}$.
-
Type A : $u(x) = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}$. Type B (loi rectangulaire) : $u(x) = \dfrac{\Delta}{\sqrt{3}}$.
-
Grandeur calculée : on compose les incertitudes relatives en quadrature, avec la relation fournie par l'énoncé.
-
Écriture : $X = \bar{x} \pm u(X)$, incertitude à un chiffre significatif, même nombre de décimales pour la valeur, unité commune.
-
Écart normalisé : $z = \dfrac{|m_{mes} - m_{ref}|}{u(m)}$ ; compatible si $z < 2$. Pour deux mesures : $z = \dfrac{|x_A - x_B|}{\sqrt{u(x_A)^2 + u(x_B)^2}}$.
-
Vérifie la cohérence de tes résultats : un $z$ grand révèle une cause d'erreur à identifier.
Retour au début : Lucas et Léa ne trouvent pas la même valeur, et personne n'a « tort ». Avec leurs incertitudes-types et leur écart normalisé, ils peuvent décider si leurs résultats sont compatibles.