Movimiento de proyectiles: alcance, altura máxima y tiempo de vuelo
En una cancha de Ibarra, Mateo patea un balón hacia el arco. El balón sube, avanza y baja, y dibuja una curva en el aire. ¿Cómo puedes saber cuánto tarda en caer, qué tan alto llega y a qué distancia aterriza, usando solo lo que ya sabes de MRU y de MRUV? La clave es que este movimiento «curvo» se puede partir en dos movimientos rectos.
Dos movimientos a la vez
Un proyectil es un cuerpo que, después de ser lanzado, se mueve solo bajo la acción de la gravedad. En esta página despreciamos la resistencia del aire.
Mira el balón desde dos lugares distintos. Si miras su sombra en el piso, ves que avanza con rapidez constante. Si miras su sombra en una pared lateral, ves que sube, se frena, se detiene un instante y cae, como en un lanzamiento vertical.
Esto sucede porque la única fuerza que actúa (el peso) es vertical. Por eso:
-
Eje horizontal (x): no hay aceleración, así que es un MRU. La componente $v_x$ no cambia.
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Eje vertical (y): la aceleración es $a_y=-g$ (con el eje $y$ positivo hacia arriba), así que es un MRUV. La componente $v_y$ cambia $9{,}8\,\text{m/s}$ cada segundo.
En el punto más alto la componente vertical de la velocidad vale cero, pero la horizontal sigue igual. La aceleración no es cero: sigue siendo $g$ hacia abajo, porque el peso nunca deja de actuar.
Un proyectil se lanza en un lugar donde se puede despreciar la resistencia del aire. Cuando llega al punto más alto de su trayectoria, ¿cuánto vale la componente…
Un proyectil se lanza en un lugar donde se puede despreciar la resistencia del aire. Cuando llega al punto más alto de su trayectoria, ¿cuánto vale la componente vertical de su velocidad? ¿Qué ocurre con la componente horizontal? ¿Cuál es la aceleración del proyectil en ese punto? Responde y justifica cada respuesta en una o dos frases.
Componentes de la velocidad inicial
El proyectil sale con una rapidez $v_0$ que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. Para usar MRU y MRUV hay que descomponer ese vector en sus dos componentes, con un triángulo rectángulo:
Por qué: $v_0$ es la hipotenusa; la componente horizontal es el cateto adyacente al ángulo y la vertical es el cateto opuesto. Al revés de lo que parece, un ángulo grande da más $v_{0y}$ (más altura) y menos $v_{0x}$.
En una cancha de Ibarra, Mateo patea un balón con una rapidez inicial de $20\,\text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$ sobre la horizontal. Calcula las componentes…
En una cancha de Ibarra, Mateo patea un balón con una rapidez inicial de $20\,\text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$ sobre la horizontal. Calcula las componentes horizontal $v_{0x}$ y vertical $v_{0y}$ de la velocidad inicial del balón.
Ecuaciones, tiempo de vuelo y altura máxima
Con el origen en el punto de lanzamiento, el eje $x$ horizontal y el eje $y$ hacia arriba, las ecuaciones de cada instante son:
| Eje horizontal (MRU) | Eje vertical (MRUV, $a=-g$) |
|---|---|
| $x=v_{0x}\,t$ | $y=v_{0y}\,t-\tfrac12 g t^2$ |
| $v_x=v_{0x}$ | $v_y=v_{0y}-g\,t$ |
La posición en cada instante es el vector posición $\vec r=(x,\,y)$, que va del origen al proyectil. El vector desplazamiento va de la posición inicial a la actual. Si sales del origen, coinciden. La rapidez en cualquier instante es $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
El tiempo es el mismo para los dos ejes: es lo que los conecta.
Tiempo de vuelo
Si el proyectil sale y cae al mismo nivel, vuelve a $y=0$. De $0=v_{0y}t-\tfrac12gt^2$ sale $t=0$ (el inicio) o:
$$t_{vuelo}=\frac{2\,v_{0y}}{g}$$Por qué: subir y bajar tardan lo mismo. El tiempo de subida es el que tarda $v_y$ en llegar a cero, $t_{sub}=v_{0y}/g$, y el vuelo dura el doble.
Altura máxima
En el punto más alto $v_y=0$. Con $v_y^2=v_{0y}^2-2g\,y$:
$$h_{max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}$$Una pelota se lanza desde el suelo con una componente vertical de velocidad inicial $v_{0y}=14{,}7\,\text{m/s}$ y cae al mismo nivel desde el que salió. Con…
Una pelota se lanza desde el suelo con una componente vertical de velocidad inicial $v_{0y}=14{,}7\,\text{m/s}$ y cae al mismo nivel desde el que salió. Con $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$, calcula el tiempo de vuelo de la pelota.
Camila lanza una pelota desde el suelo con una rapidez de $25\,\text{m/s}$ y un ángulo de $37^\circ$ sobre la horizontal. Usa $\sin 37^\circ\approx 0{,}6$,…
Camila lanza una pelota desde el suelo con una rapidez de $25\,\text{m/s}$ y un ángulo de $37^\circ$ sobre la horizontal. Usa $\sin 37^\circ\approx 0{,}6$, $\cos 37^\circ\approx 0{,}8$ y $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$. Calcula:
- a) las componentes de la velocidad inicial;
- b) la altura máxima alcanzada;
- c) el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.
Alcance y ángulo de lanzamiento
El alcance $R$ es la distancia horizontal que recorre hasta volver al nivel de salida. Como en el eje $x$ hay MRU durante todo el tiempo de vuelo:
$$R=v_{0x}\,t_{vuelo}=v_0\cos\theta\cdot\frac{2\,v_0\,\text{sen}\,\theta}{g}$$y con la identidad $2\,\text{sen}\,\theta\cos\theta=\text{sen}\,2\theta$ queda:
Qué dicen estas fórmulas:
-
El alcance es máximo cuando $\text{sen}\,2\theta=1$, es decir, con $\theta=45^\circ$.
-
Dos ángulos complementarios (suman $90^\circ$, como $30^\circ$ y $60^\circ$) dan el mismo alcance, porque $\text{sen}\,2\theta$ vale lo mismo. Pero el ángulo mayor sube más y tarda más.
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Si duplicas $v_0$ con el mismo ángulo, $R$ y $h_{max}$ se multiplican por $4$ (aparece $v_0^2$) y $t_{vuelo}$ se multiplica por $2$.
Dos estudiantes lanzan piedras desde el suelo con la misma rapidez de $20\,\text{m/s}$: Sebastián con un ángulo de $30^\circ$ y Valentina con un ángulo de $60^\circ$.…
Dos estudiantes lanzan piedras desde el suelo con la misma rapidez de $20\,\text{m/s}$: Sebastián con un ángulo de $30^\circ$ y Valentina con un ángulo de $60^\circ$. Con $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$:
- a) calcula el alcance de cada piedra;
- b) calcula la altura máxima de cada una;
- c) explica por qué los alcances coinciden aunque las alturas sean distintas.
El arquero de un equipo de Portoviejo despeja el balón desde el suelo y este cae a $40\,\text{m}$ de distancia, al mismo nivel. El ángulo de salida fue de $45^\circ$.…
El arquero de un equipo de Portoviejo despeja el balón desde el suelo y este cae a $40\,\text{m}$ de distancia, al mismo nivel. El ángulo de salida fue de $45^\circ$. Desprecia la resistencia del aire y usa $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$. Calcula la rapidez inicial del balón y su tiempo de vuelo.
Amaru y Killa lanzan, desde el suelo, proyectiles con la misma rapidez inicial de $24\,\text{m/s}$. Amaru usa un ángulo de $30^\circ$ y Killa uno de $45^\circ$. Con…
Amaru y Killa lanzan, desde el suelo, proyectiles con la misma rapidez inicial de $24\,\text{m/s}$. Amaru usa un ángulo de $30^\circ$ y Killa uno de $45^\circ$. Con $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$:
- a) determina quién logra mayor alcance, quién mayor altura máxima y quién mayor tiempo de vuelo, con los valores numéricos de cada caso;
- b) argumenta qué le ocurriría al alcance, a la altura máxima y al tiempo de vuelo de Killa si duplicara la rapidez inicial manteniendo el ángulo.
Lanzamiento horizontal
Si el proyectil sale horizontalmente desde cierta altura $H$ (una piedra lanzada desde un puente, un objeto que rueda y cae de una mesa), entonces $v_{0y}=0$ y $v_{0x}=v_0$. Las ecuaciones por ejes quedan:
$$x=v_0\,t \qquad y=-\tfrac12 g t^2$$Llega al piso cuando ha caído la altura $H$: $H=\tfrac12gt^2$. De ahí el tiempo de caída y el alcance horizontal:
$$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}\qquad x=v_0\,t$$Por qué el tiempo no depende de $v_0$: en el eje vertical el cuerpo parte con $v_y=0$ y acelera con $g$, igual que si se soltara. Lo que pasa en $x$ no afecta a $y$.
Al llegar, la velocidad tiene dos componentes: $v_x=v_0$ y $v_y=g\,t$ (hacia abajo). Su módulo y su ángulo con la horizontal son:
$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\qquad \tan\varphi=\frac{|v_y|}{v_x}$$Desde un puente de $20\,\text{m}$ de altura sobre un río, Joel lanza una piedra en dirección horizontal con una rapidez de $15\,\text{m/s}$. Usa $g=10\,\text{m/s}^2$ y…
Desde un puente de $20\,\text{m}$ de altura sobre un río, Joel lanza una piedra en dirección horizontal con una rapidez de $15\,\text{m/s}$. Usa $g=10\,\text{m/s}^2$ y desprecia la resistencia del aire. Calcula:
- a) el tiempo que tarda la piedra en llegar al agua;
- b) la distancia horizontal recorrida desde el pie del puente;
- c) la magnitud de la velocidad al llegar al agua y el ángulo que forma con la horizontal.
Explica por qué el tiempo de caída no depende de la rapidez horizontal.
Vuelve al principio: el balón de Mateo sube y baja porque en vertical se comporta como un lanzamiento vertical, y avanza con rapidez constante en horizontal. Con $v_{0y}$ sacas cuánto tarda y qué altura alcanza; con $v_{0x}$ y ese tiempo, a qué distancia cae.