Movimiento armónico simple
Cuando viajas en el Teleférico de Quito, la cabina se mece suavemente al pasar por las torres, y un columpio en el parque La Carolina va y viene siempre al mismo ritmo. ¿Por qué estos movimientos se repiten con tanta regularidad? ¿Qué determina cuánto tarda cada ida y vuelta? En este apartado lo estudiamos con el sistema más sencillo: una masa unida a un resorte.
Qué es un MAS y cómo se describe
Imagina un bloque sobre una mesa sin fricción, unido a un resorte. Lo estiras hacia la derecha y lo sueltas. El resorte lo jala hacia el equilibrio, el bloque pasa de largo, comprime el resorte, vuelve… y así sucesivamente. Es un movimiento periódico: se repite igual cada cierto tiempo.
Cuando la fuerza que lo provoca es la del resorte, $F=-kx$ (siempre apunta hacia la posición de equilibrio), el movimiento se llama movimiento armónico simple (MAS).
Tres magnitudes lo describen:
| Magnitud | Símbolo | Qué es | Unidad |
|---|---|---|---|
| Amplitud | $A$ | Máxima distancia al equilibrio | m |
| Periodo | $T$ | Tiempo de una oscilación completa | s |
| Frecuencia | $f$ | Oscilaciones por segundo | Hz |
Se relacionan así: $f=\dfrac{1}{T}$. Si hay $N$ oscilaciones en un tiempo $t$, entonces $T=t/N$. La amplitud es la mitad del recorrido total entre los extremos.
Un bloque unido a un resorte realiza $20$ oscilaciones completas en $10\,\text{s}$ y se mueve entre las posiciones $x=-0{,}08\,\text{m}$ y $x=+0{,}08\,\text{m}$. Calcula…
Un bloque unido a un resorte realiza $20$ oscilaciones completas en $10\,\text{s}$ y se mueve entre las posiciones $x=-0{,}08\,\text{m}$ y $x=+0{,}08\,\text{m}$. Calcula la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento.
Velocidad y aceleración durante la oscilación
La fuerza del resorte cambia a lo largo del recorrido, así que la aceleración no es constante (por eso no sirven las fórmulas del MRUV).
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En los extremos ($x=\pm A$): el resorte está lo más estirado o comprimido, la fuerza y la aceleración son máximas. El bloque se detiene un instante para cambiar de sentido: $v=0$.
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En el equilibrio ($x=0$): la fuerza del resorte es cero, luego $a=0$. Pero el bloque viene acelerándose, así que ahí su rapidez es máxima.
Por la segunda ley, $a=\dfrac{F}{m}=-\dfrac{k}{m}x$: la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. Esa es la «firma» de un MAS.
Un bloque oscila con MAS en un resorte horizontal. Indica en qué posiciones del recorrido su rapidez es máxima y en cuáles es nula, y haz lo mismo con la magnitud de su…
Un bloque oscila con MAS en un resorte horizontal. Indica en qué posiciones del recorrido su rapidez es máxima y en cuáles es nula, y haz lo mismo con la magnitud de su aceleración. Justifica tus respuestas con la fuerza elástica.
El periodo del sistema masa-resorte
¿De qué depende el tiempo de una oscilación? Piensa en dos casos: con un resorte más duro (mayor $k$) la fuerza es mayor y el bloque va y viene más rápido; con una masa mayor, la inercia es mayor y cuesta más moverla, así que va más lento. El resultado es:
Que no dependa de la amplitud significa que si estiras más el resorte, la fuerza es mayor pero el recorrido también, y ambos efectos se compensan.
Si el resorte es vertical, en equilibrio el peso se compensa con la fuerza elástica: $mg=k\,\Delta y$, de donde $k=\dfrac{mg}{\Delta y}$. Después oscila alrededor de esa posición de equilibrio con el mismo $T=2\pi\sqrt{m/k}$; la gravedad solo desplaza el centro de la oscilación. La amplitud es lo que separas la masa del equilibrio al soltarla.
Una masa de $0{,}25\,\text{kg}$ está unida a un resorte de constante $k=100\,\text{N/m}$. Calcula el periodo de oscilación con la expresión $T=2\pi\sqrt{m/k}$.
Una masa de $0{,}25\,\text{kg}$ está unida a un resorte de constante $k=100\,\text{N/m}$. Calcula el periodo de oscilación con la expresión $T=2\pi\sqrt{m/k}$.
De un resorte vertical se cuelga una masa de $0{,}5\,\text{kg}$ y, en equilibrio, el resorte se alarga $0{,}10\,\text{m}$. Con $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$: a) calcula la…
De un resorte vertical se cuelga una masa de $0{,}5\,\text{kg}$ y, en equilibrio, el resorte se alarga $0{,}10\,\text{m}$. Con $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$:
- a) calcula la constante elástica del resorte;
- b) si luego se tira de la masa $0{,}05\,\text{m}$ hacia abajo y se suelta, indica la amplitud y calcula el periodo;
- c) calcula la energía elástica asociada a esa amplitud.
Sumak dispone de un resorte de $k=50\,\text{N/m}$ y de dos bloques, uno de $0{,}2\,\text{kg}$ y otro de $0{,}8\,\text{kg}$, que cuelga alternadamente del mismo resorte…
Sumak dispone de un resorte de $k=50\,\text{N/m}$ y de dos bloques, uno de $0{,}2\,\text{kg}$ y otro de $0{,}8\,\text{kg}$, que cuelga alternadamente del mismo resorte para oscilar.
- a) Calcula el periodo de oscilación con cada bloque.
- b) Argumenta qué relación hay entre ambos periodos y por qué, considerando la dependencia de $T$ con la masa.
- c) Si ambos oscilan con la misma amplitud, compara sus energías mecánicas totales y justifica tu respuesta.
El MAS como proyección del MCU
Fíjate en una rueda que gira con MCU y en su sombra sobre una pared cuando la luz llega de lado: la sombra sube y baja exactamente como un MAS.
Las correspondencias son:
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Radio de la circunferencia $R$ ↔ amplitud $A$.
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Velocidad angular $\omega$ ↔ la misma $\omega$ del MAS, con $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$ (rad/s).
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La posición de la sombra es $x=A\cos(\omega t)$ (la deducimos justo debajo).
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La rapidez máxima de la sombra es la rapidez lineal del MCU: $v_{máx}=A\omega$.
Para el sistema masa-resorte, $\omega=\sqrt{k/m}$, que coincide con $T=2\pi\sqrt{m/k}$.
Una partícula describe un movimiento circular uniforme de radio $0{,}20\,\text{m}$ con un periodo de $2\,\text{s}$. Su sombra proyectada sobre un diámetro de la…
Una partícula describe un movimiento circular uniforme de radio $0{,}20\,\text{m}$ con un periodo de $2\,\text{s}$. Su sombra proyectada sobre un diámetro de la circunferencia realiza un MAS. Determina la amplitud, la frecuencia, la velocidad angular y la rapidez máxima de la sombra, y explica la relación entre el MCU y el MAS.
Energía en el MAS
Sin fricción, la energía mecánica se conserva: pasa de elástica a cinética y de vuelta.
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En los extremos ($x=\pm A$): $v=0$, toda la energía es potencial elástica, $E=\tfrac12kA^2$.
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En el equilibrio ($x=0$): el resorte no está deformado, toda es cinética, $E=\tfrac12mv_{máx}^2$.
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En una posición cualquiera: $E=\tfrac12mv^2+\tfrac12kx^2$.
La energía depende de $A^2$: duplicar la amplitud cuadruplica la energía. Y no depende de la masa.
Un bloque de $0{,}4\,\text{kg}$ unido a un resorte horizontal de $k=160\,\text{N/m}$ oscila sin fricción con una amplitud de $0{,}10\,\text{m}$. Calcula: a) la energía…
Un bloque de $0{,}4\,\text{kg}$ unido a un resorte horizontal de $k=160\,\text{N/m}$ oscila sin fricción con una amplitud de $0{,}10\,\text{m}$. Calcula:
- a) la energía mecánica total del sistema;
- b) la rapidez máxima del bloque;
- c) el periodo de oscilación.
Un bloque de $0{,}3\,\text{kg}$ oscila sin fricción unido a un resorte horizontal de $k=120\,\text{N/m}$, con una amplitud de $0{,}10\,\text{m}$. Cuando el bloque pasa…
Un bloque de $0{,}3\,\text{kg}$ oscila sin fricción unido a un resorte horizontal de $k=120\,\text{N/m}$, con una amplitud de $0{,}10\,\text{m}$. Cuando el bloque pasa por $x=0{,}05\,\text{m}$, calcula:
- a) la energía potencial elástica y la energía cinética en ese instante;
- b) la rapidez del bloque;
- c) la magnitud de su aceleración.
Compara la energía cinética con la energía total y explica qué fracción de esta se ha transformado en energía potencial.
Vuelve al principio: el Teleférico y el columpio se repiten con regularidad porque una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento produce un periodo que solo depende de la masa y de la rigidez del sistema, no de qué tan lejos se muevan.