Lei da Gravitação Universal e leis de Kepler
Quando uma bola de futebol sobe no Maracanã, ela volta ao gramado. A Lua, porém, não cai sobre nós. Ela está "caindo" ao redor da Terra há bilhões de anos. Será que a mesma força que puxa a bola para o chão também mantém a Lua em órbita? Newton respondeu que sim. Neste apartado você vai ver como essa ideia vira uma lei, quais cálculos ela permite e como ela explica as órbitas descritas por Kepler.
A Lei da Gravitação Universal
Dois corpos quaisquer, como você e o colega ao lado, uma pedra e a Terra, o Sol e um planeta, se atraem. A força é sempre de atração e atua nos dois corpos com o mesmo módulo e sentidos opostos (par ação e reação, 3ª lei de Newton).
Como medir essa atração? Pense em três observações:
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Quanto maior a massa de um dos corpos, maior a força.
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Quanto maior a distância entre os centros, menor a força.
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A força cai mais rápido do que a distância cresce: dobrando a distância, a força não cai pela metade, e sim a um quarto.
Por que $d^2$? A atração "se espalha" pelo espaço em todas as direções, como a luz de uma lâmpada. A uma distância $d$, ela se distribui sobre uma superfície esférica de área proporcional a $d^2$. Por isso a intensidade diminui com o quadrado da distância.
Proporções: quando as grandezas mudam
Muitas questões do ENEM e de vestibulares não pedem o valor da força, e sim como ela muda. Nesse caso, faça um raciocínio de proporção: cada mudança multiplica $F$ por um fator.
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Massa multiplicada por $k$ → $F$ multiplicada por $k$.
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Distância multiplicada por $k$ → $F$ multiplicada por $\dfrac{1}{k^2}$.
Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras. Na sua resposta, diga de quais grandezas a força de atração gravitacional entre dois corpos…
Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras. Na sua resposta, diga de quais grandezas a força de atração gravitacional entre dois corpos depende e escreva a expressão matemática correspondente, indicando o significado de cada símbolo.
Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ estão com os centros separados por uma distância de $2{,}0\ \text{m}$. Considere…
Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ estão com os centros separados por uma distância de $2{,}0\ \text{m}$. Considere $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. Calcule o módulo da força gravitacional com que uma esfera atrai a outra.
Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de módulo $F$. Responda, justificando com a expressão da Lei da Gravitação Universal, qual será o novo valor da força…
Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de módulo $F$. Responda, justificando com a expressão da Lei da Gravitação Universal, qual será o novo valor da força (em função de $F$) nos casos abaixo:
- a) a distância entre os centros dos corpos é triplicada, sem alterar as massas;
- b) a massa de um dos corpos é dobrada e a distância entre os centros é reduzida à metade.
Gravidade na superfície de um astro
O peso de um corpo é a força gravitacional que o astro exerce sobre ele. Na superfície de um astro de massa $M$ e raio $R$, um corpo de massa $m$ está à distância $R$ do centro. Igualando $P = m\,g$ com a lei de Newton:
$$m\,g = G\,\frac{M\,m}{R^2} \quad\Rightarrow\quad g = \frac{G\,M}{R^2}$$A massa $m$ do corpo "some" da equação. Por isso, na ausência de ar, uma bola de boliche e uma pena caem com a mesma aceleração.
Note que $g$ depende só do astro e da distância ao centro dele. Na Terra, $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ (valor usado em aula e no ENEM). Em um astro de massa maior ou raio menor, $g$ é maior.
Um planeta tem massa $M = 8{,}0 \times 10^{23}\ \text{kg}$ e raio $R = 2{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Considere $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.…
Um planeta tem massa $M = 8{,}0 \times 10^{23}\ \text{kg}$ e raio $R = 2{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Considere $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
- a) Calcule a aceleração da gravidade na superfície desse planeta.
- b) Calcule o peso, nessa superfície, de uma astronauta de massa $60\ \text{kg}$ e compare-o com o peso dela na Terra, onde $g = 10\ \text{m/s}^2$.
As leis de Kepler
Antes de Newton, o astrônomo Johannes Kepler analisou anos de observações de Marte feitas por Tycho Brahe e descobriu três regularidades no movimento dos planetas ao redor do Sol. Newton depois mostrou que elas são consequência da gravitação.
A 2ª Lei tem uma consequência importante. Perto do Sol (periélio) a linha planeta-Sol é curta; para varrer a mesma área no mesmo tempo, o planeta precisa se mover mais rápido. Longe do Sol (afélio), ele se move mais devagar. Isso combina com a lei de Newton: onde a atração é mais forte, o planeta é mais veloz.
Mexa na excentricidade e observe: os setores de mesma área são percorridos no mesmo tempo, mesmo com formatos diferentes.
A 3ª Lei diz que planetas mais distantes demoram muito mais para dar uma volta. A Terra tem $a = 1\ \text{UA}$ e $T = 1\ \text{ano}$. Para qualquer corpo orbitando o Sol, a constante $T^2/a^3$ tem o mesmo valor. Medindo $a$ em UA e $T$ em anos, ela vale exatamente $1$.
A Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas) descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Enuncie cada uma delas e…
A Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas) descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Enuncie cada uma delas e explique, em uma frase, o que a Segunda Lei diz sobre a velocidade de um planeta no periélio (ponto mais próximo do Sol) em comparação com o afélio (ponto mais distante).
Um asteroide hipotético orbita o Sol com semieixo maior igual a $4$ UA (unidades astronômicas), em que $1$ UA é a distância média entre a Terra e o Sol. O período…
Um asteroide hipotético orbita o Sol com semieixo maior igual a $4$ UA (unidades astronômicas), em que $1$ UA é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de $1$ ano. Usando a Terceira Lei de Kepler, $T^2/a^3 = \text{constante}$, calcule o período de translação desse asteroide em anos e explique por que ele é maior que o da Terra.
Satélites e órbitas circulares
Um satélite em órbita circular está o tempo todo caindo em direção ao astro, mas tem velocidade lateral tão grande que o chão "foge" por baixo dele. A força gravitacional faz o papel de força centrípeta:
$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}$$Aqui $r$ é o raio da órbita (distância ao centro do astro) e $M$ a massa do astro. Cortando $m$ e um $r$:
$$v^2 = \frac{G\,M}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$Como o satélite percorre $2\pi r$ em um período $T$, temos $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Substituindo em $v^2 = GM/r$:
$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\,M}$$Esse é o resultado da 3ª Lei de Kepler, e agora vemos que a "constante" depende só da massa do astro central. Para a mesma $M$, $T^2/r^3$ é igual para todos os satélites.
Um satélite artificial de massa $500\ \text{kg}$ descreve uma órbita circular a uma altura de $6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$ acima da superfície da Terra. Considere o…
Um satélite artificial de massa $500\ \text{kg}$ descreve uma órbita circular a uma altura de $6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$ acima da superfície da Terra. Considere o raio da Terra $R_T = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$, a aceleração da gravidade na superfície $g_0 = 10\ \text{m/s}^2$ e despreze a rotação da Terra.
- a) Determine a aceleração da gravidade na altura da órbita, em função de $g_0$ e calcule seu valor.
- b) Calcule o módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite.
- c) Explique por que os astronautas dentro de um satélite em órbita flutuam, apesar de a gravidade ali não ser nula.
Dois satélites, A e B, giram em órbitas circulares em torno do mesmo planeta. O raio da órbita de A é $r_A = 9{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$ e o de B é…
Dois satélites, A e B, giram em órbitas circulares em torno do mesmo planeta. O raio da órbita de A é $r_A = 9{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$ e o de B é $r_B = 3{,}6 \times 10^{7}\ \text{m}$. O período de A é $T_A = 2{,}0\ \text{h}$.
- a) Usando a Terceira Lei de Kepler, determine o período de B.
- b) Partindo da igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta, mostre que a velocidade orbital de um satélite é $v = \sqrt{GM/r}$ e calcule a razão $v_A/v_B$.
- c) Discuta se a massa de cada satélite influencia o seu período e a sua velocidade orbital, justificando com as expressões obtidas.
Marés: a gravitação na Terra
Quem vai à praia em Fortaleza ou em Recife nota que o mar sobe e desce duas vezes por dia. Isso acontece porque a atração gravitacional da Lua e do Sol sobre a Terra não é igual em todos os pontos: ela é mais forte no lado mais próximo do astro e mais fraca no lado oposto, pois $F$ diminui com $d^2$.
A diferença de atração "estica" a água dos oceanos e forma duas elevações, uma voltada para a Lua e outra do lado oposto. Como a Terra gira, cada lugar passa por duas marés altas e duas marés baixas por dia.
A Lua é muito menos massiva que o Sol, mas está bem mais perto. Por isso ela tem o efeito dominante nas marés. Na lua nova e na lua cheia, Sol, Terra e Lua ficam alinhados, e as marés são mais intensas (marés de sizígia). Nos quartos, elas são mais fracas (marés de quadratura).
Resumo
Voltando ao começo: a mesma força que puxa a bola para o gramado mantém a Lua em órbita. A Lua está em queda livre ao redor da Terra, com velocidade lateral suficiente para nunca chegar ao chão.